山西省大同市浑源县第七中学校2024−2025学年高一下学期第二次月考 数学试题（含解析）

这是一份山西省大同市浑源县第七中学校2024−2025学年高一下学期第二次月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．已知向量，，若，则（ ）
A．1或B．或2C．1或D．或
3．中，角的对边分别为，若，，，则（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
4．已知向量满足，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
6．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，在它们之间的地面上距离约为的点（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度CD约为（ ）
A．B．C．D．
7．在中，内角所对的边分别为，若，则的形状一定为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形
8．在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A．6B．4C．3D．2
二、多选题
9．在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则是钝角三角形
D．（为外接圆的半径）
10．在等腰直角三角形中，，，则下列命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．在中，为上一点，，则（ ）
A．当为角的角平分线时，
B．
C．当为中点时，
D．的外接圆半径为1
三、填空题
12．如图，在四边形中，设，，，则可用表示为 ．
13．设，是平面内不共线的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数 .
14．若，且，那么是 三角形
四、解答题
15．化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
16．已知向量．
(1)求；
(2)设向量的夹角为，求的值．
17．如图，在平行四边形中，点为中点，点在线段上，满足设.
（1）用向量表示向量；
（2）若，求.
18．在中，角的对边分别为满足．
(1)求B的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
19．在锐角中，角的对边分别为，，，已知且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的面积；
(3)求的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为，所以.
故选D
2．【答案】A
【分析】运用向量平行的坐标表示求解即可.
【详解】由，有，解得或．
故选A.
3．【答案】A
【详解】在中，由正弦定理得：
，
而，则在中有，
所以.
故选A.
4．【答案】C
【详解】因为，
所以.
故选C
5．【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
【详解】因为，所以，
所以即，故，
故选D.
6．【答案】C
【分析】在，由边角关系得出，再由正弦定理计算出中的，最后根据算出即可.
【详解】由题意知：，，所以，，
在中，，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，m.
故选C.
7．【答案】A
【分析】利用余弦定理将化为，然后化简可得答案.
【详解】，由余弦定理可得，则，
则，所以为直角三角形.
故选A.
8．【答案】B
【详解】因为，所以，而，
在中，，所以，故，
由余弦定理得，代入,
得，故，
故，故B正确.
故选B.
9．【答案】ABD
【详解】由正弦定理，可得，故A正确；
，故B正确；
因为，只能说明C为锐角，不一定是钝角三角形，故C错误；
由正弦定理得，（为外接圆的半径），所以，
所以，故D正确.
故选ABD
10．【答案】AD
【分析】根据向量的线性运算法则，可判定A正确；由，可判定B不正确； ，可判定C不正确；由，，结合数量积的运算公式，可判定D正确.
【详解】如图所示，等腰直角中，，，
对于A中，由，
所以A正确；
对于B中，由，所以B错误；
对于C中，由，
所以，所以C错误；
对于D中，由，
所以，所以D正确.
故选AD.

11．【答案】AC
【详解】对于A，由，得，解得，A正确；
对于B，在中，，由余弦定理得，B错误；
对于，，则，C正确；
对于D，的外接圆半径，D错误.
故选AC
12．【答案】
【详解】利用向量的加法与减法法则，在图形中寻找回路即可得到答案.
【详解】.
13．【答案】/
【详解】，
，
由，，三点共线，
则有，解得.
14．【答案】等边三角形
【详解】根据余弦定理得到，再根据正弦定理结合余弦定理得到，得到答案.
【详解】由题设可得，故，故，
根据正弦定理得到：，故，即，即，
即该三角形是等边三角形．
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）按照向量的加法、减法法则计算即得.
【详解】（1）；
（2）；
（3）.
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由求出，从而可求出的坐标，进而可求出模；
（2）直接利用向量的夹角公式求解即可.
【详解】（1）由可得，，
即，
所以，
所以；
（2）因为，
所以．
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因点为中点，点在线段上，满足
，，
故；
（2）由题意，则，
，
所以
，
所以.
18．【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）根据题意，由余弦定理得，再由正弦定理得，即可求解；
（2）由三角形的面积公式，求得，根据题意和余弦定理，化简求得的值，即可求解.
【详解】（1）因为，可得，
由余弦定理得，
又由正弦定理得，
因为，所以，所以，所以，
又因为，所以.
（2）由三角形的面积公式，可得，可得，
又由余弦定理得，
因为，所以，解得，
所以的周长为．
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换运算求解；
（2）先利用余弦定理求得，进而可求面积；
（3）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数的有界性运算求解.
【详解】（1）因为，
且，则，可得，
整理得，所以.
（2）由余弦定理，即，
解得或（舍去），
所以的面积.
（3）由正弦定理，可得，
则
，
因为为锐角三角形，且，则，解得，
则，可得，
则，
所以的取值范围为.