山西省大同市浑源县第七中学校2022－2023学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份山西省大同市浑源县第七中学校2022－2023学年高一下学期期末考试数学试题，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（共8小题）
1. (5分)已知复数z满足(2＋i)z＝3＋4i，则z＝( )
A. 2＋iB. 2－iC. 1＋2iD. 1－2i
2. (5分)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则向量c的坐标为( )
A. B. C. D.
3. (5分)已知一组数据：125，121，123，125，127，129，125，128，130，129，126，124，125，127，126.则这组数据的第25百分位数和第80百分位数分别是( )
A. 125 128B. 124 128C. 125 129D. 125 128.5
4. (5分)在△ABC中，已知2sinAcsB＝sinC，那么△ABC一定是( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 正三角形
5. (5分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆的面积为( )
A. B. πC. 2πD. 4π
6. (5分)如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为( )
A. 60° B. 30° C. 45° D. 15°
7. (5分)某几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A. 36＋12πB. 36＋16πC. 40＋12πD. 40＋16π
8. (5分)如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么( )
A. A＋B是必然事件B. ＋是必然事件
C. 与一定互斥D. 与不可能互斥
二、多选题（共4小题）
9. (5分)若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中假命题是( )
A. 若a∥b，b⊂α，则a∥αB. 若a∥α，b∥α，则a∥b
C. 若a∥b，b∥α，则a∥αD. 若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面
10. (5分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC B. 若sin 2A＝sin 2B，则A＝B
C. 若sin A>sinB，则A>B；若A>B，则sinA>sinB D. ＝
11. (5分)已知正三棱锥P-ABC的底面边长为3，侧棱长为2，则下列叙述正确的是( )
A. 正三棱锥的高为3 B. 正三棱锥的斜高为
C. 正三棱锥的体积为 D. 正三棱锥侧面积为
12. (5分)甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是( )
A. 甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件
B. 甲的不同的选法种数为15
C. 已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是
D. 乙、丙两名同学都选物理的概率是
三、填空题（共4小题）
13. (5分)若向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，a⊥(a－b)，则|2a＋b|＝________.
14. (5分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________.
15. (5分)在四面体P-ABC中，PA＝BC＝，PB＝AC＝，PC＝AB＝，则该四面体外接球的半径为________．
16. (5分)甲、乙、丙三人独立破译同一份密码．已知甲、乙、丙各自独立破译出密码的概率分别为，，，且他们是否破译出密码互不影响，则至少有1人破译出密码的概率是________．
四、解答题（共6小题）
17. (10分)已知复数z＝(1＋i)m2－(2＋4i)m－3＋3i(m∈R).
(1)当m为何值时，z为纯虚数？
(2)当m为何值时，z对应的点在y＝2x＋1上？
18. (12分)已知|a|＝1，a·b＝，(a＋b)·(a－b)＝.
(1)求|b|的值；
(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．
19. (12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝.
(1)求sinB的值；
(2)若b＝4，且a＝c，求△ABC的面积．
20. (12分)如图所示，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．
求证：(1)直线EF∥平面ACD；
(2)平面EFC⊥平面BCD.
21. (12分)20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数．
22. (12分)某校高二年级共有800名学生参加2021年全国高中数学联赛初赛,为了解学生成绩,现随机抽取40名学生的成绩(单位:分),并列出频数分布表如下:
(1)试估计该年级成绩不低于90分的学生人数;
(2)成绩在区间[120,150]上的5名学生中有3名男生,2名女生,现从中随机选出2名学生参加访谈,求恰好选中一名男生和一名女生的概率.
数学答案
1. 【答案】A
【解析】z＝＝＝2＋i.
2. 【答案】D
【解析】设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，
对于(c＋a)∥b，有－3(1＋m)＝2(2＋n)．①
又∵c⊥(a＋b)，a＋b＝(3，－1)，
∴3m－n＝0. ②
联立①②，解得m＝－，n＝－.
故向量c的坐标为，故选D.
3. 【答案】D
【解析】把这15个数据按从小到大排序，可得121，123，124，125，125，125，125，126，126，127，127，128，129，129，130，由25%×15＝3.75，80%×15＝12，可知数据的第25百分位数为第4项数据为125，第80百分位数为第12项与第13项数据的平均数，即×(128＋129)＝128.5.
4. 【答案】B
【解析】方法一 (利用边的关系进行判断)因为2sinAcsB＝sinC，所以
由正弦定理及余弦定理，得2a·＝c，
所以a2＋c2－b2＝c2，所以a＝b，故△ABC是等腰三角形．
方法二 (利用角的关系进行判断)
因为2sinAcsB＝sinC＝sin(A＋B)，
所以sinAcsB－csAsinB＝0，
所以sin(A－B)＝0.
因为－π所以△ABC为等腰三角形．
5. 【答案】B
【解析】在△ABC中，A＝75°，B＝45°，所以C＝180°－A－B＝180°－75°－45°＝60°.设△ABC的外接圆的半径为R，则由正弦定理，可得2R＝＝＝＝2，解得R＝1，故△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝π.
6. 【答案】C
【解析】由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC.又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC，得∠PCA＝45°.故选C.
7. 【答案】C
【解析】由几何体的直观图可知该几何体为长方体与半圆柱的组合体，
其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4,2,2，
∴几何体的表面积S＝π×22×2＋×π×4×4＋2×4＋2×4×2＋2×4＋2×2×2＝40＋12π.故选C.
8. 【答案】B
【解析】用图示法解决此类问题较为直观，如图所示，＋是必然事件．
9. 【答案】ABC
【解析】可借助正方体来判断．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
A1B1∥AB，AB⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，故A错误；
A1B1∥平面ABCD，B1C1∥平面ABCD，但A1B1与B1C1相交，故B错误；
AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，故C错误；
因为a∥α，所以a与α无公共点，又b在α内，所以a与b无公共点，所以a∥b或a与b异面．
10. 【答案】ACD
【解析】对于A，由正弦定理＝＝＝2R，可得，a∶b∶c＝2RsinA∶2RsinB∶2RsinC＝sinA∶sinB∶sinC，故A正确；
对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝，故B错误；
对于C，在△ABC中，由正弦定理可得，sinAsinB⇔ab⇔AB，因此AB是sinAsinB的充要条件，故C正确；
对于D，由正弦定理＝＝＝2R，
可得，右边＝＝＝2R＝左边，故D正确．
11. 【答案】AB
【解析】如图，取△ABC的中心为O，连接PO，由题意得PO⊥平面ABC.又△ABC为等边三角形，则AO＝＝，所以正三棱锥的高PO＝＝＝3，S△ABC＝×3×3×sin 60°＝，所以正三棱锥的体积VP­ABC＝S△ABC·PO＝.过点P向AB作垂线，垂足为D，又PA＝PB＝2，AD＝AB＝，则正三棱锥的斜高PD＝＝，所以正三棱锥的侧面积S侧＝3××PD×AB＝3×××3＝.故选AB.
12. 【答案】BD
【解析】甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A错误；
由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选2门即可，有15种选法，故B正确；
由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是＝，故C错误；
乙、丙两名同学各自选物理的概率均为，故乙、丙两名同学都选物理的概率是×＝，故D正确．
13. 【答案】
【解析】因为a⊥(a－b)，
所以a·(a－b)＝0，即a2－a·b＝0，
所以a·b＝a2＝.
又|2a＋b|2＝4a2＋4a·b＋b2＝3＋3＋1＝7，
故|2a＋b|＝.
14. 【答案】或
【解析】因为＝，把A＝，a＝1，b＝代入，
所以sinB＝＝＝.
因为ba，所以BA＝，
结合题意可知B＝或.
15. 【答案】
【解析】由PA＝BC＝，PB＝AC＝，PC＝AB＝，可知该四面体的对棱相等，故可将四面体还原到一个长方体中，体对角线即为其外接球直径，设该长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则即a2＋b2＋c2＝12，所以该四面体外接球的半径为.
16. 【答案】
【解析】依题意，设A表示至少有1个破译出密码，则A的对立事件表示三人都没有破译出密码，则P(A)＝1－P()＝1－××＝.
17. 【答案】解 (1)由已知z＝(m2－2m－3)＋(m2－4m＋3)i，
z为纯虚数，则解得m＝－1.
(2)由(1)z对应点的坐标为(m2－2m－3，m2－4m＋3)，
则m2－4m＋3＝2(m2－2m－3)＋1，解得m＝±2.
18. 【答案】解 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝.
因为|a|＝1，所以1－|b|2＝，
所以|b|＝.
(2)因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝2，
|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝1，
所以|a＋b|＝，|a－b|＝1.
令a＋b与a－b的夹角为θ，
则csθ＝＝＝，
即向量a－b与a＋b夹角的余弦值是.
19. 【答案】解 (1)由正弦定理及＝，有＝，
即sinBcsC＝3sinAcsB－sinCcsB，
所以sin(B＋C)＝3sinAcsB.
又因为A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sinA，
所以sinA＝3sinAcsB.
因为sinA≠0，所以csB＝.
又0(2)在△ABC中，由余弦定理可得a2＋c2－ac＝32，
又a＝c，所以有a2＝32，即a2＝24，
所以△ABC的面积为S＝acsinB＝a2sinB＝×24×＝8.
20. 【答案】证明 (1)∵E，F分别是AB，BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD.
∵EF⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴直线EF∥平面ACD.
(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.
∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD.
又∵EF∩CF＝F，EF，CF⊂平面EFC，∴BD⊥平面EFC.
∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.
21. 【答案】解 (1)根据直方图知组矩为10，
由(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1，解得a＝＝0.005.
(2)成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2.
成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3.
22. 【答案】解 (1)估计该年级成绩不低于90分的学生人数为800×10+540=800×1540=300.
(2)分别记男生为1,2,3号,女生为4,5号,从中随机选出2名学生,对应的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},共有10个样本点,每个样本点发生的可能性相等.
设事件A=“恰好选中一名男生和一名女生”,则事件A包含的样本点有:(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),共6个,所以P(A)=610=35.