山东省济南市商河弘德中学2024−2025学年高一下学期4月月考 数学试题（含解析）

这是一份山东省济南市商河弘德中学2024−2025学年高一下学期4月月考 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若圆锥的表面积为，且其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．已知圆锥的底面半径为1，高为，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上、下两部分，则上、下两部分的体积比为（ ）
A．B．C．D．
3．已知一个半径为的半球，其体积为，一个底面半径和高都等于的圆柱，挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积为，下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．不确定
4．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）.
A．2寸B．3寸C．4寸D．5寸
5．如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形面积是（ ）
A．B．1C．D．
6．若正四面体的棱长为，则该正四面体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．在四面体ABCD中，平面ACD，，，，，该四面体ABCD外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知正四棱锥的底面边长为2，高为，则其内切球半径是（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题
9．已知复数，则下列命题一定成立的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
10．已知三棱锥的底面是直角三角形，平面，，则（ ）
A．三棱锥外接球的表面积为
B．三棱锥外接球的表面积为
C．三棱锥内切球的半径为
D．三棱锥内切球的半径为
11．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则（ ）
A．
B．a的取值范围为
C．的最大值为2
D．的取值范围为
三、填空题
12．已知复数满足，则的取值范围是 .
13．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球的体积为 .
14．已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为 .
四、解答题
15．已知．
（1）求；
（2）当为何值时，与平行？
16．已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中，是实数
（1）求和的值；
（2）若是纯虚数，求实数的值
17．如图，在直角梯形中，，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．
（1）求该几何体的表面积；
（2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离．
18．一倒置圆锥体的母线长为，底面半径为．
（1）求圆锥体的高；
（2）一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间．
19．在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
参考答案
1．【答案】B
【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，由条件结合圆锥表面积公式，弧长公式列方程求，，利用勾股定理可求，再利用体积公式求圆锥的体积.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，
因为圆锥的表面积为，
所以，
因为圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，
所以，
所以，，
所以，
所以圆锥的体积.
故选B.
2．【答案】A
【详解】圆锥的底面半径为1，高为，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上、下两部分，则上、下两部分的体积比为.
故选A.
3．【答案】B
【详解】解：，
，故，
故选B．
4．【答案】B
【详解】试题分析：根据题意可得平地降雨量，故选B.
考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.
5．【答案】C
【详解】在中，，由，得，
因此的面积，
所以原三角形面积是.
故选C
6．【答案】A
【详解】方法一：如图，正四面体中，
作底面的高，由正四面体的性质，点为的中心，设为外接球的球心，外接球的半径为，
由正三角形的性质，，
；
由，得，解得，
该球的表面积为．
故选A．
方法二：如下图
在立方体中，通过连接面对角线可得到正四面体，
可知两者的外接球相同，正四面体的棱长为立方体的一个面的对角线长，则立方体的棱长为.
立方体的体对角线即为外接球的直径.代入计算可得，外接球的半径，
外接球的表面积为.
故选A.
7．【答案】B
【详解】将四面体补形为长方体，
则外接球的直径即为长方体的体对角线长，
即，
因此外接球的半径为，其表面积为
故选B
8．【答案】D
【详解】
设正四棱锥内切球球心为，其在底面的投影为，则三点共线，内切球半径为，取中点，中点，则正四棱锥内切球半径即为的内切圆半径，
因为底面边长为，所以，，
因为高为，即，则，
所以，
在中，即，解得，
故选D.
9．【答案】AC
【详解】设，则.
对于A：，
若，则，
所以，即，故A一定成立；
对于B：，若，则①，
，同理，
若，则需满足且，与①式不同，故B不一定成立；
选项C：，
，
所以，故C一定成立；
选项D：②，
，与②式不同，故D不一定成立.
故选AC
10．【答案】AC
【详解】由题意可知，，两两垂直，
则三棱锥外接球的半径满足，
从而三棱锥外接球的表面积为，
故A正确，B错误.
由题意可得三棱锥的体积，
三棱锥的表面积.
设三棱锥内切球的半径为，
因为，
所以，故C正确，D错误.
故选AC.
11．【答案】AC
【详解】对A：，即，
整理可得：，可得，
在中，，故，
又为锐角三角形，故，A正确；
对B：由A可知，，可得，
由正弦定理，，即，
则，
又，故，则；
由为锐角三角形可得：，
可得，故，则，则，故B错误；
对C：由余弦定理，可得，
等式两边同除可得：，所以，
解得，
当且仅当，即时取得等号，故C正确；
对D：，
故，
故，
由B可知，所以
所以，故，
所以，，
也即的取值范围为，故D错误
故选AC．
12．【答案】
【详解】解：表示在复平面上对应的点是单位圆上的点，
的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离，
最小距离为，最大距离为，
的取值范围为.
13．【答案】
【详解】在中，由，得，则，
所以外接圆半径，设球半径为，依题意，，
即，，所以球的体积.
14．【答案】/
【详解】设圆台的高为，外接球的半径为，作出轴截面（一半）如图：
因为的上､下底面面积分别为，则圆，的半径分别为，，
又，所以，，
所以，解得（负值已舍去），
故所求体积之比为
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，
所以，
则.
（2）由，
，
当与平行时，则，
解得
16．【答案】（1）、
（2）
【详解】（1）因为复数（是虚数单位）是方程的根（，是实数），
所以也为方程的根，
所以，所以；
（2）由（1）可知
，
又是纯虚数，
所以，解得.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）
如图所示，满足题意的直角梯形，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周，
形成一个上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台，
其表面积为.
（2）
将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环，
∵圆台上下底面半径的关系为，∴，∴，
又∵，∴，，
设，则的弧长，∴，
连接，取线段中点，连接，则，
在中，，，∴，
∴蚂蚁从点绕着圆台的侧面爬行一周回到点的最短路径即为线段，
.
∴蚂蚁爬行的最短距离为．
18．【答案】（1）；（2），.
【详解】（1）设圆锥体的高为，底面半径为，母线长为，则．
（2）球放入圆锥体后的轴截面如图所示，设球的半径为，
由得，．
所以，解得．
圆锥体剩余的空间为圆锥体的体积减去球的体积，
即．
19．【答案】（1）（2）
【详解】（1）由得：，即：

（2）

的取值范围为：