山东省济南市商河弘德中学2024-2025学年高一下学期第三次阶段性教学质量检测 数学试题（含解析）

这是一份山东省济南市商河弘德中学2024-2025学年高一下学期第三次阶段性教学质量检测 数学试题（含解析），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多选选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题 共58分）
注意事项：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不涂在答题卡上，只答在本卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
2．如图，斜二测画法的直观图是，的面积为6，那么的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（ ）.
A．B．100mC．D．
4．在中，，且，则的形状是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
5．已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．已知向量满足，，，则（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
7．已知三棱锥P-ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为
A．B．C．D．
8．在中，角的对边分别为，若，，，则此三角形（ ）
A．无解B．有两解C．有一解D．解的个数不确定
二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下述正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，，、则
10．某学校为了调查高一年级学生每天体育活动时间的情况，随机选取了100名学生，绘制了如图所示频率分布直方图，则（ ）
A． B．平均数的估计值为30
C．众数的估计值为35 D．这100名学生中有25名学生每天体育活动时间不低于40分钟
11．已知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c下列命题正确的有（ ）
A．若，则 B．若，，则外接圆半径为10
C．若，则为等腰三角形 D．若，，，则
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
注意事项：第Ⅱ卷所有题目的答案，考生必须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在区域外答题或在试卷上答题均无效。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的分位数为 分．
13．某学校高一男生、女生的人数之比为，现采用比例分配的分层随机抽样方法抽取90人，若样本中男生的平均身高为171，女生的平均身高为160.2，则该校高一学生平均身高的估计值为 （单位：）．
14．某学校体育部有5名学生干部，其中高一2名，高二3名．从这5名学生中随机选2名组织校体育活动，则这2名学生来自不同年级的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知复数．
（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是： ①实数； ②纯虚数；
（Ⅱ）当时，化简．
16．已知向量
(1)求； (2)若，求的值；
(3)若与的夹角为锐角，求的取值范围
(4)求与的夹角的余弦值.
17．受突如其来的新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟2020年的春季开学，某学校“停课不停学”，利用云课平台提供免费线上课程，该学校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了100名学生对该线上课程评分、其频率分布直方图如图.
（1）求图中a的值； （2）求评分的中位数；
（3）以频率当作概率，若采用分层抽样的方法，从样本评分在和内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人中至少一人评分在内的概率.
18．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，
(1)求证：平面； (2)求证：直线平面；
(3)求直线与平面所成角的正切值．
19．的内角的对边分别为，满足
(1)求；
(2)的角平分线与交于点，求的最小值.
数学试题答案
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1．C【详解】,,
故选: C.
2．A【分析】根据斜二测画法还原图形，利用面积公式可得答案.
【详解】由，则，
如图，作出还原后，则，
故，所以.
故选: A.
3．C【分析】先由正弦定理解得，再解直角三角形即可得解.
【详解】由题意，
而，由正弦定理可得，即，解得，
注意到，从而.
故选：C.
4．C
【分析】首先由余弦定理得，再由题干条件结合正弦定理得，故是等边三角形.
【详解】由，得，所以；
又，由正弦定理得，所以是等边三角形.故选：C.
5．A【分析】根据题意，结合向量投影向量公式直接计算即可.
【详解】设与的夹角为，则向量在方向上的投影向量为
. 故选：A.
6．C【分析】根据模长与数量积的关系列出得的方程，解方程组即可.
【详解】因为，且，所以，解得.
故选：
7．C【分析】在底面中，利用余弦定理求出，得到，再由正弦定理得到的外接圆半径，利用勾股定理，得到三棱锥外接球的半径，得到其表面积.
【详解】∵底面中，，， ，
的外接圆半径，
面
三棱锥外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积．
故选C．
【点睛】本题考查球的几何特性，正余弦定理解三角形和求外接圆半径，属于简单题.
8．B
【分析】根据正弦定理，即可判断.
【详解】由正弦定理可知，，即，得，
因为，所以或，
所以此三角形的个数为2个.
故选：B
9．BC
【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可.
【详解】对于A，若，，则与相交、平行或异面，故A错误；
对于B，若，，则，故B正确；
对于C，若，，则,
若，则，故C正确；
对于D，若，则，可能相交，故D错误.
故选:BC.
10．ACD
【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求出，再根据平均数、众数及频率分布直方图一一判断即可.
【详解】依题意可得，解得，故A正确；
平均数的估计值为，故B错误；
由频率分布直方图可知的频率最大，因此众数的估计值为，故C正确；
随机选取这100名学生中体育活动时间不低于40分钟的人数为，故D正确；
故选：ACD
11．ACD
【分析】利用三角形性质和正弦定理可知A正确，利用正弦定理可知B,C的正误，利用三角形面积公式可知D正确.
【详解】因为，所以，由正弦定理，可得，即，A正确；
由正弦定理可知，所以外接圆半径为5，B不正确；
因为，所以，即，
整理可得，即，
因为为三角形的内角，所以，即为等腰三角形，C正确；
因为，，，所以，D正确.
故选：ACD.
12．
【分析】利用给定的频率分布直方图，借助频率估计即可.
【详解】依题意，前四个小矩形的面积之和为，
前五个小矩形的面积之和为，
因此分位数位于内，，
所以估计这50名学生成绩的分位数为分．
故答案为：
13．165
【分析】利用平均数的求法即可得解.
【详解】依题意，设样本中高一男生人数为，则样本中高一女生的人数为，
故，解得，则样本中高一男生人数为，高一女生的人数为，
所以样本中高一学生平均身高为，
故而该校高一学生平均身高的估计值为.
故答案为：165.
14．/
【分析】列出所有的样本空间以及满足题意的情况数，根据古典概型的概率计算公式即可得到答案.
【详解】2名高一学生干部记为：a，b；3名高二学生干部记为：，，，
则样本空间
共含有10个样本点，
设事件表示“这2名学生来自不同年级”，
则包含，即，
所以这2名学生来自不同年级的概率为.
故答案为：.
15．（Ⅰ）①m=1或m=2；②m=﹣（Ⅱ）
【详解】试题分析：（I）利用复数为实数、纯虚数的充要条件即可得出．（II）当m=0时，z=-2+2i，再利用复数的运算法则即可得出
试题解析：（Ⅰ）①当m2﹣3m+2=0时，即m=1或m=2时，复数z为实数．
②当时，解得，
即m=﹣时，复数z为纯虚数．
（Ⅱ）当m=0时，z=﹣2+2i，
∴．
考点：复数的代数表示法及其几何意义
16．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据向量模的运算求得正确答案.
（2）根据向量平行列方程，由此求得.
（3）根据向量夹角为锐角列不等式，由此求得.
（4）根据向量夹角公式求得正确答案.
【详解】（1）已知，，可得.
则.
可得.
（2），，
则.
因为，所以，
即，
，解得.
（3）已知，，
则，
即，解得.
由（2）可知，当与共线时，所以要排除.
综上，的取值范围是.
（4），，则.
，
，
.
所以.
17．（1）；（2）81.25；（3）.
【分析】（1）由频率分布直方图各组频率和为1列方程，即可得解；
（2）由频率分布直方图中中位数两侧的长方形面积和相等列方程，即可得解；
（3）利用列举法求出所有的基本情况数及满足要求的基本情况数，再由古典概型概率公式即可得解.
【详解】（1）由题意，
所以；
（2）由频率分布直方图可得评分的中位数在内，
设评分的中位数为x，
则，解得，
所以评分的中位数为81.25；
（3）由题知评分在和内的频率分别为0.1和0.15，
则抽取的5人中，评分在内的为2人，评分在的有3人，
记评分在内的3位学生为a，b，c，评分在内的2位学生为D，E，
则从5人中任选2人的所有可能结果为：
，，，，，，，，，，共10种；
其中，这2人中至少一人评分在内可能结果为：
，，，，，，，共7种；
所以这2人中至少一人评分在的概率.
【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型概率的求解及运算求解能力，属于基础题.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明；
(2)根据线面垂直的判定定理证明；
(3)根据线面夹角的定理找到线面角，再根据直角三角形中求正切值.
【详解】（1）证明：因为四边形是菱形，所以．
因为平面，平面，所以平面．
（2）证明：因为四边形是菱形，所以．
又因为平面，平面，所以．
又因为，平面，
所以BD⊥平面．
（3）如图，过B作，连接，
因为平面，平面，所以．
又因为
平面，所以平面．
所以是直线与平面所成的角．
因为所以
在中，，，
所以．
所以直线与平面所成角的正切值是．
19．(1)
(2)
【分析】（1）由诱导公式正弦定理倍角公式化简已知等式，即可求解；
（2）由，得，利用基本不等式求的最小值.
【详解】（1）由得：，
由正弦定理得：，倍角公式得，
由，有，所以，
得，所以.
（2）由，得，
即，得，
，
当且仅当即 时等号成立
所以的最小值为.