山东省济南市商河弘德中学2024−2025学年高一下学期第二次月考 数学试题（含解析）

这是一份山东省济南市商河弘德中学2024−2025学年高一下学期第二次月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．复数（是虚数单位）的虚部为（ ）
A．3B．C．D．
2．在中，，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，在中，点在线段上，且，若，则（ ）
A．B．C．2D．
4．在中，已知，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
5．在中，若，则的形状是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
6．的内角的对边分别是，若，，，则
A．B．C．D．
7．已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为的正方形，则原图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（ ）．
A．B．C．D．
二、多选题
9．设复数z满足,i为虚数单位,则下列命题正确的是
A．B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
C．z的共轭复数为D．复数z在复平面内对应的点在直线上
10．已知，，则正确的有（ ）
A．B．是与同向的单位向量
C．D．与平行
11．已知、、是三条不同的直线，、是两个不同的平面，下列选项正确的有（ ）
A．若，，，则
B．若，，，，则
C．若，，，则
D．若与不垂直，则垂直于内无数条直线
三、填空题
12．设平面向量，，若，则 .
13．我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定为：，现已知，则 .
14．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，的面积等于，则外接圆的面积为 ．
四、解答题
15．已知复数，i为虚数单位，．
（1）若，求a的值；
（2）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求a的取值范围．
16．已知，，当为何值时：
（1）与垂直？
（2）与平行？
17．在中，，，__________.（补充条件）
（1）求的面积；
（2）求.
从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并解答.
18．如图，在中已知，，D是BC边上的一点．
若，求CD的长；
若，求面积S的最大值．
19．如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
参考答案
1．【答案】D
【详解】复数的虚部为，
所以的虚部为.
故选D
2．【答案】A
【详解】在中，，，，
由正弦定理可得.
故选A.
3．【答案】B
【详解】由向量的运算法则，
可得,
因为，所以，从而求得，
故选:B．
4．【答案】D
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以.
故选D.
5．【答案】A
【详解】在中，由正弦定理及可得：.
又，，
∴，即，即.
又∵，∴，∴，∴是直角三角形.
故选A.
6．【答案】B
【详解】,
所以，整理得求得或
若，则三角形为等腰三角形，不满足内角和定理，排除.
【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.
当求出后，要及时判断出，便于三角形的初步定型，也为排除提供了依据.如果选择支中同时给出了或，会增大出错率.
7．【答案】D
【详解】由直观图可得如下平面图形：
则，，，
所以.
故选D.
8．【答案】D
【详解】由题意得，扇形的弧长，
所以该圆锥的底面圆的半径，
所以该圆锥的高．
设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示：
则依题意得，
所以，
所以该球的体积V的最大值是．
故选D.
9．【答案】AC
【详解】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.
【详解】,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B不正确;z的共轭复数为,C正确;复数z在复平面内对应的点不在直线上,D不正确.
故选:AC
10．【答案】ABC
【详解】，，∴，故选项A正确；
∵，∴是与同向的单位向量，故选项B正确；
∵，∴，
，，故选项C正确；
∵，∴与不平行，故选项D错误.
故选ABC.
11．【答案】AD
【详解】对于A选项，因为，，，由线面平行的性质定理可得，A对；
对于B选项，因为，，，，由于、不一定相交，则与不一定垂直，B错；
对于C选项，，，，则、的位置关系不确定，C错；
对于D选项，若与不垂直，则平面内与在内的射影垂直的直线，
垂直于直线，这样的直线有无数条，D对.
故选AD.
12．【答案】0或-1
【详解】∵，，，
∴，即，解得x=0或.
13．【答案】
【详解】设，则由
可得，即，
因为，所以
由新定义可知.
14．【答案】4π
【详解】利用三角形面积公式求解,再利用余弦定理求得,进而得到外接圆半径,再求面积即可.
【详解】由，解得．．解得．
，解得．∴△ABC外接圆的面积为4π．
15．【答案】（1）或；（2）．
【详解】（1）根据模的计算公式可得，解方程即可得答案；
（2）根据复数的几何意义可得，解不等式即可得答案；
【详解】（1），解得或．
（2）在复平面内对应的点位于第四象限，
，得．
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1），，
得，，
由题意可得，
即，解得，
则，与垂直；
（2）与平行，
得，解得，
则，与平行.
17．【答案】（1）选择①：；选择②：；选择③：或
（2）
【详解】（1）选择①：
在中，因为，，，
∴由余弦定理得.
因为，所以，，
所以的面积.
选择②：
因为，，所以.
因为，，所以.
选择③：
在中，∵，，∴，∴角为锐角.
∵，∴.
∴由余弦定理可得，
即，解得或，
当时，；
当时，.
（2）选择①：
由（1）知：.
在中，，所以.
选择②：
由（1）知：.
因为，，，
由，得，解得，
由正弦定理可得，
在中，，所以.
选择③：
∵，，，
由正弦定理可得，
在中，，所以.
18．【答案】（1）； （2）.
【详解】在中，，，，，
由余弦定理得：，
所以．
因为且，所以，．
在中，，
由余弦定理得：，
，
即，
，
所以当且仅当时，面积S取得最大值为．
19．【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）构造平行四边形，证明，然后结合线面平行判定定理即可得证；
（2）利用线面平行，得出，从而得解.
【详解】（1）取的中点，连接
为的中点，且，
为的中点，且，
且，四边形为平行四边形，
，
又平面平面平面；
（2），
．
平面点到平面的距离等于点到平面的距离，
，
又平面.