【数学】山东省多校2024-2025学年高二上学期期中考试试题（解析版）

这是一份【数学】山东省多校2024-2025学年高二上学期期中考试试题（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线的倾斜角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由倾斜角为，可得，所以，解得.故选：C
2. 双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】在双曲线中，，，
因此，该双曲线的渐近线方程为. 故选：C.
3. 与向量同向的单位向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设所求的单位向量为，解得，则，
故所求的单位向量为. 故选：A
4. 已知坐标原点不在圆的内部，则的取值可能为（ ）
A. 1B. C. 2D. -2
【答案】A
【解析】依题意，方程表示圆，则，解得.
因为坐标原点不在圆的内部，所以.
综上所述，，结合选项可知A符合题意. 故选：A
5. 若过点的直线与圆交于M，N两点，则弦长的最小值为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】可化为，可得圆心，半径．
当时，最小，此时点到的距离，
所以的最小值为. 故选：C
6. 已知为坐标原点，是椭圆的右焦点，过点且与长轴垂直的直线交于A，B两点.若为直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由椭圆方程可得，将代入方程可求得，所以.因为为直角三角形，所以，则，即，
解得． 故选：D.
7. 已知，若四点共面，则（ ）
A. B. 2C. 4D. 5
【答案】A
【解析】由题可知.
因为四点共面，所以，
即，则
解得. 故选：A
8. 已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于4，则（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】由题得，所以，
因为，所以，
则，所以即，
又，所以即. 故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知曲线，下列结论正确的有（ ）
A. 若，则是椭圆
B. 若，则是焦点在轴上的椭圆
C. 若，则是双曲线
D. 若，则是两条平行于轴的直线
【答案】BCD
【解析】对于A，若，则曲线表示圆，故A错误；
对于B，若，则可化为，此时曲线表示焦点在轴上椭圆，故B正确；
对于C，若，则曲线表示双曲线，故C正确；
对于D，若，则可化为，此时曲线表示两条平行于轴的直线，故D正确． 故选：BCD
10. 如图，已知正方体的棱长为2，O为正方体的中心，点满足，则（ ）

A. 平面B. 平面
C. 在上的投影向量为D. 二面角的余弦值为
【答案】AD
【解析】以为原点，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图，
则，
所以.
设平面的法向量为，
则令，则，.
因为，所以平面，A正确.
，所以EO不与平面平行，B错误.
在上的投影向量为，C错误．
易知平面的一个法向量为，设二面角的大小为，
则，D正确. 故选：AD

11. 已知点在圆上，点，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆与圆的公共弦方程为
B. 满足的点有2个
C. 若圆与圆、直线AB均相切，则圆的半径的最小值为
D. 的最小值是
【答案】ABD
【解析】对于A，和两式作差，可得，故A正确.
对于B，由，可得点的轨迹是以AB为直径，3为半径的圆，
圆心的坐标为，两圆的圆心距为，
半径和与半径差分别为，由，得两圆相交，则满足条件的点有2个，故B正确.
对于C，直线AB的方程为，即，圆心到直线AB的距离为，所以圆的半径的最小值为，故C错误.
对于D，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有．
设，则有，
化简得．因为，所以，
解得，则，所以，故D正确．
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上.
12. 若点和点关于直线对称，则______．
【答案】-2
【解析】因为点和点关于直线对称，
所以是线段的垂直平分线，由，可得，解得.
又AB的中点坐标为，，所以，解得，故.
故答案为：.
13. 已知是抛物线的焦点，是上一点，则的最小值为______，此时点的坐标为______．
【答案】①. 3 ②.
【解析】由题意，抛物线的方程为，所以，焦点．
过点作准线的垂线，垂足为.由题可知.
依题意可知当P，Q，E三点共线且点在中间时，距离之和最小，最小值为3.
如图所示，点的纵坐标为-1，代入抛物线的方程，求得，
所以点的坐标为.故答案为：3，
14. 已知，，是球上三点，球心的坐标为，是球上一动点，则三棱锥的体积的最大值为______.
【答案】
【解析】依题意，，则，
则，的面积为，，则球的半径,
设平面ABC的法向量为，则，令，得，
则点到平面ABC的距离，球面上的点到平面距离最大值为，所以三棱锥的体积的最大值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知是三个顶点．
（1）若直线经过的中点，且与直线平行，求的一般式方程；
（2）求的面积．
解：（1）由题意，，的中点坐标为，
所以的方程为，即的一般式方程为；
（2）由题意，，直线AB的方程为，即，
因为点到直线AB的距离为， 所以的面积为.
16. 在四棱柱中，四边形ABCD为菱形，为AC的中点.
（1）用表示，并求的值；
（2）求的值.
解：（1）由题意可知：，
且，
则；
（2）易知，
所以.
17. 已知圆经过点和，其圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线过点且与圆相切，求的方程.
解：（1）设圆的标准方程为，
所以，解得，
故圆的标准方程为．
（2）由（1）可知圆心为．
①当直线的斜率不存在时，易得直线的方程为，符合题意；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即
由题意，圆心到直线的距离等于半径2，即，解得，
此时直线的方程为．
综上，所求直线的方程为或．
18. 如图，在四棱台中，平面，底面为正方形，，点在线段上运动.
（1）证明：.
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
（3）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
（1）证明：因为平面，平面，
所以，又为正方形，所以两两垂直，
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
所以，则，
所以
解：（2）由（1）可得，
所以， 故异面直线与所成角的余弦值为
（3）设.因为，所以，
则
由（1）可得.
设平面的法向量为，则取
设直线与平面所成的角为，则
.
令，则，所以
当，即时，取得最大值，最大值为1；
当，即时，取得最小值，最小值为.
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
19. 若将任意平面向量绕起点逆时针方向旋转角，得到向量，则称点绕点逆时针方向旋转角得到点.在平面直角坐标系中，已知曲线是椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆.
（1）求椭圆的方程.
（2）已知，是椭圆长轴上两个顶点，，为椭圆上异于，的两点，且关于轴对称，若直线与直线交于点，证明：点在某定曲线上，并求出该曲线的方程.
（3）已知，不过点的动直线与椭圆交于，两点，直线与的斜率之积恒为，证明直线过定点，并求出这个定点的坐标.
（1）解：（方法一）设为椭圆上任意一点，则
即斜椭圆上一点，
则，
化简得，故椭圆的方程为．
（方法二）由得或
由得或
所以椭圆的长轴长为，得，
椭圆的短轴长为，得，
故椭圆的方程为
证明：（2）根据椭圆的对称性，不妨令．设，则.
，由P，M，T三点共线，得；
，由Q，N，T三点共线，得
两式相乘可得
因为，所以，所以，
故点在某定曲线上，该定曲线的方程为
（3）当直线的斜率为0时，设直线的方程为，
则，且，即，
所以，不符合题意．
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为.
由消去得，
则.
直线HA与HB的斜率分别为，
于是
，
整理得，解得或
当时，直线过点，不符合题意，因此.
综上，直线过定点．