数学：湖南省娄底市2024-2025学年高一下学期4月期中试题（解析版）

这是一份数学：湖南省娄底市2024-2025学年高一下学期4月期中试题（解析版），共9页。试卷主要包含了 若，则， 已知，且，则的值为， 已知函数，则下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意知.
故选：C.
2. 若复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】，则的虚部为.
故选：A.
3. 在中，为线段的靠近点的一个三分点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为为线段的靠近点的一个三分点，所以，
所以.
故选：B
4. 若，则（ ）
A. B. 2C. 2023D. 2025
【答案】A
【解析】.
故选：A.
5. 在中，角的对边分别为，则的外接圆面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题设，则，
所以外接圆半径，故圆的面积为.
故选：D
6. 已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，由于，则，
令，则，于是有，整理可得，因为，解得，即，解得.
故选：B.
7. 在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则三角形为锐角三角形
【答案】B
【解析】A：由，错；
B：由，则，又，则，对；
C：对于钝角三角形，若，此时，错；
D：由，则，故，
所以为锐角，但不能说明三角形为锐角三角形，错.
故选：B
8. 已知单位向量、、满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为单位向量、、满足，
则，所以，
所以，，解得，同理可得，
因为
.
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】对于A，令，则，显然无解，则向量不共线，故A不合题意；
对于B，令，则，显然无解，则向量不共线，故B不合题意；
对于C，令，则，解得，则向量共线，故C符合题意；
对于D，令，则，解得，则向量共线，故D符合题意.
故选：CD.
10. 已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 将函数的图象向右平移个单位长度后所得的图象与函数的图象重合
【答案】ABD
【解析】对于A选项，函数的最小正周期为，A对；
对于B选项，因为，故函数的图象关于直线对称，B对；
对于C选项，当时，，
所以，函数在区间上不单调，C错；
对于D选项，将函数的图象向右平移个单位长度后，
得到函数的图象，D对.
故选：ABD.
11. 已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下述正确的是（ ）
A. B.
C. 是奇函数D. 若，则
【答案】ACD
【解析】令，则，故A正确；
令，则，则，故B错误；
令，则，所以，
又令，则，
所以是奇函数，故C正确；
令，则，
所以，故D正确；
故选：ACD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是__________.
【答案】①
【解析】由斜二测画法规则知，斜二测画法保持平行性不变，因此原相交直线，利用斜二测画法得到的仍是相交直线，三角形的直观图一定是三角形，①正确；斜二测画法中只有平行于轴或在轴上的线段，长度保持不变，因此正方形、菱形的相邻两边，利用斜二测画法得到的线段不等，②③错误.
故答案为：①
13. 已知向量，则在上的投影向量为__________.
【答案】
【解析】在上的投影向量为.
故答案为：.
14. 已知，且，则的最小值是__________.
【答案】
【解析】因为，且，
所以，
当且仅当，即，时取等号.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 娄底四中校内有块空地，为美化校园环境，学校决定将空地建成一个小花园，市园林公司中标该项目后须购买一批机器投入施工，据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转的时间（单位：年）的函数关系为.
（1）当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润是多少？
（2）当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？
解：（1）故当时，取得最大值，最大值为45，所以这批机器运转第7年时，可获得最大利润45万元；
（2）记年平均利润为，则14
当且仅当，即时，等号成立.
16. 已知.
（1）若，求的坐标；
（2）若，求与的夹角的余弦值.
解：（1）设，由题意有，解得或.
故的坐标为或；
（2）由化简整理得，
则，解得，
=.
17. 在中，角的对边分别为.
（1）求.
（2）若，求的面积的最大值.
解：（1）因为，
由正弦定理可得，因为0，
所以，，又，所以.
（2）因为，
由余弦定理可得，所以，
，
当且仅当时，取的面积的最大值.
18. 在中，已知分别为上的点，且.
（1）求；
（2）求证：；
（3）若是线段上的动点，满足均为正常数，求的最大值.
解：（1），，，
所以，；
（2），
所以，
所以；
（3）因为，
由三点共线可得，，
所以，所以，当且仅当时取最大值.
19. 已知函数.
（1）解方程；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）若函数在上只有一个零点，求的取值范围.
解：（1）由得，
所以，所以，
令，解得，所以；
（2）定义域为，关于原点对称，
，
所以函数为偶函数；
（3）函数有唯一零点等价于方程有唯一解，
即方程有唯一解，
整理得，
令，即方程有唯一正数根，
①若，此时符合题意；
②若，则
当时，符合题意，
当时，不合题意，舍去，
当时，，方程有两相异实根，符合题意，
当且时，则，
只需，
所以(舍去)，
综上，实数的取值范围是2或.