湖南省娄底市2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题 含解析

这是一份湖南省娄底市2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题 含解析，共12页。试卷主要包含了 若 ，则， 已知 ，且 ，则 的值为等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120 分钟 满分：150 分）
命题人：娄底四中 彭志良 审题人：娄底金海 周琪
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集含义即可得到答案.
【详解】由题意知 .
故选：C.
2. 若复数 （ 为虚数单位），则 的虚部为（ ）
A B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法运算求出 可得答案.
【详解】 ，则 的虚部为 .
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故选：A.
3. 在 中， 为线段 的靠近 点的一个三分点，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为 为线段 的靠近 点的一个三分点，所以 ，
所以 .
故选：B
4. 若 ，则 （ ）
A. B. 2 C. 2023 D. 2025
【答案】A
【解析】
【分析】根据同角三角函数的商式关系，可得答案.
【详解】 .
故选：A.
5. 在 中，角 的对边分别为 ，则 的外接圆面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用余弦定理求得 ，由正弦定理求外接圆半径，进而求圆的面积.
【详解】由题设 ，则 ，
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所以外接圆半径 ，故圆的面积为 .
故选：D
6. 已知 ，且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令 ，可得出 ，结合 求出 的值，再利用对数和指数的互化可求得 的
值.
【详解】因为 ，
由于 ，则 ，令 ，则 ，于是有 ，
整理可得 ，因为 ，解得 ，即 ，解得 .
故选：B.
7. 在 中，角 的对边分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则三角形为锐角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】应用三角形内角和及诱导公式判断 A；由正弦定理判断 B；注意以钝角三角形作 反例判断 C；
由正弦边角关系及余弦定理判断 D.
【详解】A：由 ，错；
B：由 ，则 ，又 ，则 ，对；
C：对于钝角三角形，若 ，此时 ，错；
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D：由 ，则 ，故 ，
所以 为锐角，但不能说明三角形为锐角三角形，错.
故选：B
8. 已知单位向量 、 、 满足 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知等式变形得出 ，利用平面向量数量积的运算性质可求得 的
值，同理可得出 、 的值，再由 结合平面向量数量积的
运算性质可求得 的值.
【详解】因为单位向量 、 、 满足 ，
则 ，所以 ，
所以， ，解得 ，同理可得 ，
因为
.
故选：D
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据平行向量的坐标表示，建立方程组，集合基底的定义，可得答案.
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【详解】对于 A，令 ，则 ，显然无解，则向量不共线，故 A 不合题意；
对于 B，令 ，则 ，显然无解，则向量不共线，故 B 不合题意；
对于 C，令 ，则 ，解得 ，则向量共线，故 C 符合题意；
对于 D，令 ，则 ，解得 ，则向量共线，故 D 符合题意.
故选：CD.
10. 已知函数 ，则下列命题正确的是（ ）
A. 函数 的最小正周期为
B. 函数 的图象关于直线 对称
C. 函数 在区间 上单调递增
D. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后所得的图象与函数 的图象重合
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断 A 选项；利用正弦型函数的对称性可判断 B 选项；利用正弦型
函数的单调性可判断 C 选项；利用三角函数图象变换可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项，函数 的最小正周期为 ，A 对；
对于 B 选项，因为 ，故函数 的图象关于直线 对称，B 对；
对于 C 选项，当 时， ，
所以，函数 在区间 上不单调，C 错；
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对于 D 选项，将函数 的图象向右平移 个单位长度后，
得到函数 的图象，D 对.
故选：ABD.
11. 已知 是定义在 R 上的不恒为零的函数，对于任意 a， 都满足 ，则下
述正确的是（ ）
A. B. C. 是奇函数 D. 若 ，则
【答案】ACD
【解析】
分析】对 取特殊值代入已知表达式即可求解
【详解】令 ，则 ，故 A 正确；
令 ，则 ，则 ，故 B 错误；
令 ，则 ，所以 ，
又令 ，则 ，
所以 奇函数，故 C 正确；
令 ，则 ，
所以 ，故 D 正确；
故选：ACD
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③菱形的直
观图一定是菱形.以上结论正确的是__________.
【答案】①
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【解析】
【分析】利用斜二测画法规则，对各结论逐一判断，即可得到结果.
【详解】由斜二测画法规则知，斜二测画法保持平行性不变，因此原相交直线，利用斜二测画法得到的仍
是相交直线，
三角形的直观图一定是三角形，①正确；
斜二测画法中只有平行于 轴或在 轴上的线段，长度保持不变，
因此正方形、菱形的相邻两边，利用斜二测画法得到的线段不等，②③错误.
故答案为：①
13. 已知向量 ，则 在 上的投影向量为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的计算，结合数量积以及模长的计算，可得答案.
【详解】 在 上的投影向量为 .
故答案为： .
14. 已知 ，且 ，则 的最小值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得 ，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为 ，且 ，
所以
，
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当且仅当 ，即 ， 时取等号.
故答案为：
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 娄底四中校内有块空地，为美化校园环境，学校决定将空地建成一个小花园，市园林公司中标该项目后
须购买一批机器投入施工，据分析，这批机器可获得的利润 （单位：万元）与运转的时间 （单位：年）
的函数关系为 .
（1）当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润是多少？
（2）当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？
【答案】（1）第 7 年时，可获得最大利润 45 万元
（2）
【解析】
【分析】（1）对已知的二次函数配方可求得结果；
（2）设这批机器的年平均利润为 ，则 且然后利用基本不等式可得其
最大值.
【小问 1 详解】
故当 时， 取得最大值，最大值为 45，所以这批机器运转第 7
年时，可获得最大利润 45 万元；
【小问 2 详解】
记年平均利润为 ，则 14
当且仅当 ，即 时，等号成立.
16. 已知 .
（1）若 ，求 的坐标；
（2）若 ，求 与 的夹角的余弦值.
【答案】（1） 的坐标为 或
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（2）
【解析】
【分析】（1）由平行向量的坐标表示，建立方程组，可得答案；
（2）根据数量积的运算律，求得数量积的值，结合数量积的定义式，可得答案.
【小问 1 详解】
设 ，由题意有 ，解得 或 .
故 的坐标为 或 ；
【小问 2 详解】
由 化简整理得 ，
则 ，解得 ，
= .
17. 在 中，角 的对边分别为 .
（1）求 .
（2）若 ，求 的面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理结合辅助角公式计算求解；
（2）应用余弦定理结合基本不等式计算求值.
【小问 1 详解】
因为 ，
由正弦定理可得 ，因为 0，
所以 ， ，又 ，所以 .
【小问 2 详解】
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因为 ，
由余弦定理可得 ，所以 4，
，
当且仅当 时，取 的面积的最大值 .
18. 在 中，已知 分别为 上的点，且
.
（1）求 ；
（2）求证： ；
（3）若 是线段 上的动点，满足 均为正常数，求 的最大值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据数量积运算律及数量积定义，转化法计算得出模长；
（2）根据数量积运算律及数量积定义，得出 ，即可证明；
（3）应用平面向量基本定理结合共线得出 结合基本不等式计算求出最大值.
【小问 1 详解】
， - ，
，
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所以 ， ；
【小问 2 详解】
，所以
，所以 ；
【小问 3 详解】
因为 ，由 三点共线可得 ， ，
所以 ，所以 ，当且仅当 时取最大值 .
19. 已知函数 .
（1）解方程 ；
（2）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（3）若函数 在 上只有一个零点，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）偶函数，理由见解析
（3） 2 或
【解析】
【分析】（1）证明 即可求解；
（2）求出定义域，根据奇偶性的定义判断即可；
（3）把函数零点问题转化为方程根的问题，结合换元法和判别式进行求解.
【小问 1 详解】
由 得 ，
所以 ，所以 ，
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令 ，解得 ，所以 ；
【小问 2 详解】
定义域为 ，关于原点对称，
，
所以函数 为偶函数；
【小问 3 详解】
函数有唯一零点等价于方程 有唯一解，
即方程 有唯一解，
整理得 ，
令 ，即方程 有唯一正数根，
①若 ，此时 符合题意；
②若 ，则
当 时， 符合题意，
当 时， 不合题意，舍去，
当 时， ，方程有两相异实根，符合题意，
当 且 时，则 ，
只需 ，
所以 (舍去)，
综上，实数 的取值范围是 2 或 .
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