湖南省娄底市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷（解析版）

这是一份湖南省娄底市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷（解析版），共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，故D正确.
故选：D.
2. 设命题，则p是q的（ ）条件．
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充分必要D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】当时，必有成立，反之不成立，故p是q的充分不必要条件.
故选：A.
3. 函数零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数的定义域为，且连续.
因为在单增，在单增，
所以在单增.
，，
.
所以函数零点所在区间为.
故选：B.
4. 已知，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】由题意得，由基本不等式得，
当且仅当时取等，此时解得，则的最小值为，故C正确.
故选：C.
5. 下列函数是偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A选项，定义域为R，，故为偶函数，A正确；
B选项，由指数函数图象知，非奇非偶函数，B错误；
C选项，的定义域为，为非奇非偶函数，C错误；
D选项，的定义域为R，且，故为奇函数，D错误.
故选：A.
6. 不等式的解集为（ ）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】B
【解析】由，得，
解得或，则不等式的解集为或.
故选：B.
7. 若函数，则等式（ ）
A. 5B. 6C. 63D. 64
【答案】A
【解析】因为，所以，
则，故A正确.
故选：A.
8. 已知函数是定义R上的偶函数，且，若在区间上是减函数，则（ ）
A. 在区间上是增函数，在区间上是增函数
B. 在区间上是增函数，在区间上是减函数
C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数
D. 在区间上是减函数，在区间上是减函数
【答案】B
【解析】因为，所以函数关于成轴对称，
所以区间与区间，区间与关于对称，
由函数在区间上是减函数，可知函数在上是增函数，
又函数是偶函数，所以函数在上是增函数，
所以函数在上减函数.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BD
【解析】A. 当时，，故错误；
B. 因为，所以，故正确；
C. 当时，，故错误；
D. 若，则，故，所以，故正确.
故选：BD.
10. 若函数（，且）的图象过点，则（ ）
A. B.
C. 函数在上单调递增 D.
【答案】ACD
【解析】由题意函数（，且）的图象过点，得，A正确；
由于在上单调递增，故，B错误；
由于，故函数在上单调递增，则，CD正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若是偶函数，则
B. 若的解集是，则
C. 若，则恒成立
D. ，，在上单调递增
【答案】ABD
【解析】对于A选项，函数的定义域为，若函数为偶函数，
则，
即，即对任意的恒成立，
则，A对；
对于B选项，若不等式的解集为，
则且、为方程的两根，则，解得，故，B对；
对于C选项，若，则，，故不恒成立，C错；
对于D选项，当时，因为，则在上单调递增，
当时，函数的对称轴为直线且，
由二次函数单调性可知，函数在上单调递增，
因此，，在上单调递增，D对.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的定义域为______．
【答案】且
【解析】由题设，可得且，则定义域为且.
13. ______．
【答案】
【解析】.
14. 借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）．根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于_____.
【答案】
【解析】由题意知，
由越来越大时，会无限趋近于，
故越来越大时，会无限趋近于，则会无限趋近，
故会无限趋近于.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，全集．
（1）当时，求
（2）若，求实数a的取值范围．
解：（1）当时，，
或，
故．
（2）因为，所以，解得，
实数a的取值范围为．
16. 已知．
（1）化简求值：；
（2）若是第一象限角，，且，求的值．
解：（1）原式.
（2）由为第一象限角，且，
即，解得，；
又，且，故．
.
17. 已知函数．
（1）求的最小正周期和最大值；
（2）将的函数图象向左平移个单位后得到的函数是偶函数，求的最小值．
解：（1）由题意
，
由此可得：.
（2）由题意可知：，
因为为偶函数，所以，解得，
又因为，所以当时，的最小值为.
18. 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为，矩形广告的总面积为.
（1）将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围；
（2）当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值.
解：（1）单个矩形栏目的长度为，
，.
（2）由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
故当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为.
19. 已知函数，对于任意的，都有，当时，．
（1）求的值；
（2）判断的奇偶性和单调性；
（3）设函数，若方程有2个不同的解，求m的取值范围．
解：（1）令，代入得，所以．
（2）令，代入，可得，
所以，可得函数为奇函数；
任取，且，
，
又因为时，，且，所以，
所以，即，所以函数是R上的减函数．
（3），即，
所以
，
令，即，
因为函数是R上的减函数，所以，即，
令
作出的图象如图，结合图象，可得：当或时，函数有2个零点，
即实数m的取值范围为或．