湖南省长沙市2024_2025学年高一数学下学期4月期中试题含解析

这是一份湖南省长沙市2024_2025学年高一数学下学期4月期中试题含解析，共15页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120 分钟 满分：150 分
得分：______________
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．)
1．在复平面内，(1－i)(4＋3i)对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量 a＝(1，2)，b＝(λ，－1)，c＝(μ，－1)，若(a＋c)∥b，则λ＋μ＝
A．－2 B．－1 C．0 D．1
3．已知 a，b 表示直线，α，β，γ表示平面，则下列结论中正确的是
A．若 a∥α，b∥α，则 a∥b B．若 a∥b，a∥α，则 b∥α
C．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则 a∥b D．若 a∥β，b∥β，a α，b α，则α∥β
4．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a＝2，b＝3，A＝45°，则 B＝
A．60° B. 120° C. 60°或 120° D. 45°或 135°
→ → → →
5．在平行四边形 ABCD 中，AB＝4，AD＝2，∠A＝60°， ＝3 ，则 · ＝
A．3 B．2 C.32 D．1
6．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＋f(4－x)＝2，若函数 g(x)＝xx－2 与 f(x)的图象的交点为(x1，y1)，
(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 y1＋y2＋…＋ym＝
A.m2 B．m C．2m D．4m
7．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 B＝60°，b＝33，若△ABC 为锐角三角形，
则 c 的取值范围为
A．(0，33) B．(0，33] C．(0，6) D．(3，6)
8．已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，E，F 分别是棱 BC，CC1 的中点，动点 P 在正方形 BCC1B1
(包括边界)内运动，若 PA1∥平面 AEF，则线段 PA1 的长度的最小值是
A.2)2 B．2
C. 5 D．3
二、选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．)
9．已知 i 为虚数单位，下列说法正确的有
A．i＋i2＋i3＋i4＝0
－
B．复数 z＝5i－2 的共轭复数 ＝－2＋i
C．复数 z＝3－i 的模为 10
D．已知复数 z 满足|z－1|＝|z＋1|，则 z 在复平面内对应的点的轨迹为直线
10．下列说法正确的是
A．已知向量 a＝(1，1)，b＝(x，2)，且 a⊥b，则 x＝－2
B．向量 a＝(2，3)，b＝(x，2)，则“a，b 的夹角为锐角”是“x>－3”的充要条件
→ → →
C．若 2 ＋ ＋3 ＝0，S△AOC，S△ABC 分别表示 S△AOC，S△ABC 的面积，则 S△AOC∶S△ABC＝1∶6
→ → →
D．在△ABC 中，向量 与 满足(AB→)AB→)＋AC→)AC→))· ＝0，且 BA→)BA→)·BC→)BC→)
＝12，则△ABC 为等边三角形
11．圆锥 SO 的底面半径为 r，母线长为 l，侧面积为 3π， 点 C 是母线 SA 上靠近点 S 的三等分点，M，
N 是底面圆周上两点，MA＝NA 且∠MAN＝π2，则
A．当 3r＝l 时，从点 A 到点 C 绕圆锥侧面一周的最小长度为 13
B．当 r＝32 时，过顶点 S 和两母线的截面三角形的面积最大值为 7)4
C．当 l＝3 时，圆锥 SO 的外接球表面积为 81π8
D．存在点 D 在圆锥 SO 上，使得直线 BD∥平面 MCN
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．)
12．已知水平放置的四边形 ABCD 按斜二测画法画出的直观图 A′B′C′D′如图所示，其中
A′D′∥B′C′，A′D′＝2，B′C′＝4，A′B′＝1，则四边形 ABCD 的面积为__________．
13．若将一个棱长为 6 的正方体铁块磨制成一个球形零件，则制作的球形零件的最大体积是______．
→ → →
14．如图所示，四边形 ABCD 内接于圆 O，AB∥CD，AB＝AD＝6，设 ＝x ＋y ，且 2x＋6y＝3，
则四边形 ABCD 的对角线 BD 的长为____________．
四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
15．(13 分)如图，一个圆台型花盆盆口直径为 20 cm，盆底直径为 10 cm，盆壁长(指圆台的母线长)13
cm.
(1)求这个圆台形花盆的体积；
(2)现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费 10 元，给这批 1 万
个同款花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？(第(2)问中π取 3.14)
16．(15 分)已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acs C＋3asin C－b－2c＝0.
(1)求 A；
(2)若 A 的角平分线 AD 长为 1，且 b＋c＝6，求 sin Bsin C 的值．
17．(15 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为梯形，其中 AD∥BC，且 AD＝2BC，点 E 为棱
PD 的中点．
(1)在图中作出面 PAB 和面 PCD 的交线 l，并证明：l∥平面 ACE；
(2)若 PA＝PB＝PC＝AD＝10，CD＝12，在四棱锥 PABCD 中，求过点 B，E 及棱 AD 的中点的截面周
长．
18.(17 分)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)－1(ω>0，0