广东省江门市新会第一中学2024-2025学年高一下学期第二次月考 数学试题（含解析）

这是一份广东省江门市新会第一中学2024-2025学年高一下学期第二次月考 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数 满足 ，则 （ ）
A．B．C．1D．
2．已知单位向量与单位向量的夹角为45°，则（ ）
A．2B．C．D．1
3．在中，角的对边分别为，若，，，则此三角形（ ）
A．无解B．有两解C．有一解D．解的个数不确定
4．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，这是水平放置的四边形，按照斜二测画法画出的直观图，其中， ，，则四边形的周长是（ ）
A．8 B． C． D．
6．已知圆锥的体积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为（ ）
A．B．1C．D．2
7．函数，的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．和D．和
8．已知平行六面体的体积为4，若将其截去三棱锥，则剩余几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．已知复数z满足，则（ ）
A．z的虚部为-3B．z在复平面内对应的点位于第二象限
C．D．
10．如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和 上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（ ）
A．正四棱锥的高为
B．该几何体的表面积为
C．该几何体的体积为
D．一只小蚂蚁从点爬行到点，所经过的最短路程为
11．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A．在锐角中，不等式恒成立
B．若，，且有两解，则的取值范围是
C．若，且，则是等边三角形
D．已知点是所在平面内一点，满足，则与面积之比是
三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 .
13．已知正三棱台中，，，侧棱，则该棱台的体积为 ．
14．如图，长方体 的体积为,分别是 的中点，则四面体的体积为 .
四、解答题: 本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题13分）已知向量
(1)求向量与夹角的余弦值；
(2)若向量求实数的值.
16．（本小题15分）如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥， 求剩余的几何体的表面积和体积.
17．（本小题15分）已知函数，.
(1)求的单调递增区间.
(2)若的图象向右平移个长度单位后得到图象，求在上的值域.
18．（本小题17分）已知的内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角；
(2)设是边上一点，平分，，求的值；
19．（本小题17分）正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点构成一个如图所示多面体．
(1)求该多面体的表面积和体积．
(2)若将该多面体内接于球内，求该球体的表面积与体积． 12. 13. 14．

1．B
【分析】利用复数的除法运算化简复数，再根据复数模公式计算.
【详解】由，则.
故选：B.
2．D
【分析】根据模长公式即可求解.
【详解】,
故选：D
3．B
【分析】根据正弦定理，即可判断.
【详解】由正弦定理可知，，即，得，
因为，所以或，
所以此三角形的个数为2个.
故选：B
4．B
【分析】利用二倍角公式和弦化切思想即可求解.
【详解】由，
因为，所以上式，
故选：B.
5．C
【分析】根据直观图恢复至原图求各边长再求原四边形的周长即可.
【详解】
由直观图画出原图，得且即，则四边形是一个直角梯形.
过点作的垂线交于点，则，得.
所以四边形的周长为.
故选：C.
6.【答案】B
【分析】设母线长为，底面半径为，圆锥的高为，则有即可得，再求高，进而得圆锥的体积即可求解.
【详解】设母线长为，底面半径为，圆锥的高为，则有，
又，所以，
故选：B.
7．C
【分析】利用正弦型函数的图象及性质求得已知函数的单调递增区间，即可求得.
【详解】，
令，
函数的单调递减区间为.
由，
得，
而，根据复合函数的单调性可知，所求单调递增区间是和.
故选：C.
8．C
【分析】根据锥体和柱体的面积公式，结合平行六面体的性质进行求解即可.
【详解】设点到平面的距离为，四边形的面积为，
显然有，所以，
因此剩余部分几何体的体积为，
故选：C
9．BC
【分析】利用复数的乘除运算求解复数，根据复数的性质判断各项正误.
【详解】解：由可得，故z的虚部为3，A错误；
z在复平面内对应的点为，位于第二象限，B正确；
，C正确；
，故D错误.
故选：BC.
10．ACD
【分析】求出四棱锥的高判断A；求出表面积判断B；求出体积判断C；将长方形及正置于同一平面，求出判断D.
【详解】对于A，正四棱锥底面半径，高，故A正确；
对于B，几何体的表面积为，B错误；
对于C，该几何体的体积为，C正确；
对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或，
由对称性，不妨取长方形及正，将它们置于同一平面内，连接，如图，
取中点，连接，则，而，
所以最短路程为，D正确.
故选：ACD
11．ACD
【分析】对于A，在为锐角三角形的前提下，得到的关系，再借助正弦函数在单调性及诱导公式，即可判断；对于B，由有两解必须满足，从而求出的范围即可判断；对于C，借助向量数量积的定义化简条件中的两个式子即可判断；对于D，设的中点为，借助向量加减法的三角形法则及向量共线定理化简，得到，从而确定点位置，即可判断与面积即之比.
【详解】对于选项A，若为锐角三角形，所以，所以，
由正弦函数在单调递增，则，故A正确；
对于选项B，如图，若有两解，则，
所以，即b的取值范围是，故B错误；
对于选项C，，由，
所以，因为，可得，
又由，可得，
所以是等边三角形，故C正确；
对于选项D，
由可得，
即，化简得，
即，即，
设的中点为，则有，
所以点在的中位线所在直线上，则点和点到直线的距离之比为，
所以，故选项D正确.
故选：ACD
12．
【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求出最小值.
【详解】在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1，
因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
表示点到原点的距离，所以的最小值为.
故答案为：
13．
【分析】将其补成正三棱锥，利用相似比可得，则正三棱锥为正方体的一角，再将三棱锥的体积转化为求正方体的体积，求出两个正三棱锥体积再作差即可.
【详解】补成正三棱锥，
因，，则为三棱锥侧棱的中点，
又，则，
则由勾股定理可知两两垂直，故该图形为正方体的一角，
所以，
同理，得，
所以正三棱台的体积．

故答案为：
14．
【分析】逐步分割长方体，即可得四面体的体积.
【详解】如图，因为长方体的体积，即，
所以三棱柱的体积为，
四棱锥的体积为，
所以四棱锥和四棱锥的体积，
所以四面体的体积
故答案为：.
15．（1），
所以，，分
所以分
（2），，∴，分
由与平行，所以，解得分
16．由正方体的性质可知是边长为的等边三角形，分
所以的面积分
所以所求几何体的表面积分
几何体的体积分
17．（1）
分
由，得
所以的单调递增区间为分
（2）依题意，分
由，得，则分
所以的值域为分
18．（1）由及正弦定理得，
即，分
利用余弦定理可知分
因为，所以分
（2）在中，，，所以，分
即，分
因为为角平分线，所以，所以，分
由余弦定理，得，则分
因此分
19．（1）由题意知，该多面体是由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥完全一致.
每个四棱锥的侧面是四个边长为的等边三角形，设三角形的面积为，
则该多面体的表面积，分
四棱锥的底面是边长为的正方形，故四棱锥的底面积，
四棱锥的高为1，故四棱锥的体积，
则该多面体的体积分
（2）将该多面体内接于球内，
则球的直径为，球的半径为1，分
故该球体的表面积为分
该球体的体积为分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
B
C
B
C
C
BC
ACD
题号
11









答案
ACD