福建省福州市鼓山中学2023−2024学年高一下学期期末 数学试卷（含解析）

这是一份福建省福州市鼓山中学2023−2024学年高一下学期期末 数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．在复平面内，复数满足方程，则所对应的向量的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
2．在中，为边的延长线上一点，且，记，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知向量与的夹角为，且满足，，则在上的投影向量为（ ）
A．1B．C．D．
4．在中，角的对边分别是，若，则是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
5．三个内角的对边分别为，已知，且，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
6．从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，，，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面
B．若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面
C．和两条异面直线都相交的两直线是异面直线
D．若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面
8．在中，角的对边分别是，，点在上，，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．4D．6
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知复数，，则（ ）
A．是纯虚数B．在复平面内对应的点位于第二象限
C．复数的共轭复数为D．
10．已知事件A，B满足，，则（ ）
A．事件A与B可能为对立事件
B．若A与B相互独立，则
C．若A与B互斥，则
D．若A与B互斥，则
11．如图所示，在棱长为的正方体中，,分别为棱,的中点．则下列结论正确的是（ ）

A．直线与是平行直线
B．直线与所成的角为
C．平面与平面所成二面角的平面角为
D．平面截正方体所得的截面面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，若，则 .
13．在中，角的对边分别是，已知，则 ．
14．甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约.甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定；两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设甲面试合格的概率为，乙、丙每人面试合格的概率都是，且三人面试是否合格互不影响.则恰有一人面试合格的概率 ；至少一人签约的概率 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到频率分布直方图如图所示.
(1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；
(2)估计测评成绩的第分位数；
(3)已知样本中分数小于40的学生有5人，其中3名男生；分数小于30的学生有2人，其中1名男生.从样本中分数小于40的学生中随机抽取一人，则“抽到的学生分数小于30”与“抽到的学生是男生”这两个事件是否独立?请证明你的结论.
16．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD，并修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），其中千米，千米，是以D为直角顶点的等腰直角三角形．设，．
(1)当时，求：①小路AC的长度；②草坪ABCD的面积；
(2)当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．
17．如图①，在棱长为2的正方体木块中，是的中点.

(1)要经过点将该木块锯开，使截面平行于平面，在该木块的表面应该怎样画线？请在图①中作图，写出画法，并证明；
(2)求四棱锥的体积.
18．为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数；
(2)用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率；
(3)学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由．
19．如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，，高，，将它沿对称轴折叠，使二面角为直二面角．
(1)证明：；
(2)求二面角的正弦值．
参考答案
1．【答案】B
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，从而得到所对应的向量的坐标.
【详解】因为，所以，则，
所以复数所对应的向量的坐标为.
故选B.
2．【答案】A
【分析】根据题意，利用的向量的线性运算可得，即可得解.
【详解】，
故选A.
3．【答案】D
【分析】利用向量投影的公式求解.
【详解】向量在上的投影为，向量在上的投影向量为.
故选D.
4．【答案】C
【分析】由倍角公式结合余弦定理得出三角形的形状.
【详解】由题意，可得，即，
因为，所以，即，故是直角三角形.
故选C.
5．【答案】A
【分析】由结合正弦定理可得，利用余弦定理求得，再根据三角形面积公式求得答案.
【详解】由，可得，
故，解得，
故.
故选A.
6．【答案】C
【分析】满足题意时，取到2红1白或者2白1红，据此可得.
【详解】依题意，取到2红1白或者2白1红满足要求，故记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为.
故选C.
7．【答案】D
【分析】对于A，空间中两直线的位置关系有三种：平行、相交和异面；对于B，这两直线异面或平行；对于C，和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线；对于D，以长方体为载体进行判断求解.
【详解】对于A：空间中两直线的位置关系有三种：平行、相交和异面，故A错误；
对于B：若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面或平行，故B错误；
对于C：和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线，故C错误；
对于D：如图，在长方体中，
当所在直线为所在直线为时，与相交，
当所在直线为所在直线为时，与异面，
若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面，故D正确.
故选D.
8．【答案】A
【分析】由正弦定理,三角函数恒等变换可得,可求,设,则,根据,利用余弦定理可得，根据基本不等式可得，进而可求解．
【详解】在中，，
由正弦定理可得，
可得，
即，
因为，
所以，由，可得，
设,则,
在中分别利用余弦定理，可得， ， ，
因为，所以，
因为，所以，
所以，根据基本不等式可得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的面积.
故选A.
9．【答案】AC
【分析】对于A，根据纯虚数的定义即可判断；对于B，先计算，再根据复数的几何意义即可判断；对于C，根据复数的共轭复数的定义即可判断；对于D，根据乘法法则计算后即可判断.
【详解】对于A：是纯虚数，故A正确；
对于B：，对应的点的坐标为，位于第四象限，故B错误；
对于C：复数的共轭复数为，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选AC.
10．【答案】BC
【分析】根据对立事件的定义判断A；若相互独立，则相互独立，可以判断B；互斥，判断CD.
【详解】对于A：由,则,故A错误；
对于B：与相互独立，则与相互独立，
故，故B正确；
对于CD：互斥，则,,故C正确，D错误.
故选BC.
11．【答案】BC
【分析】根据图形可直接判断A；利用异面直线所成角的定义可判断B；利用二面角的定义可判断C；计算出梯形的面积，可判断D.
【详解】对于A：由图形可知，直线，异面，故A错误；
对于B：连接，因为，则直线与所成角为或其补角，
易知为等边三角形，故，
所以直线与所成的角为，故B正确；
对于C：分别取，的中点，，连接，，，
因为四边形为正方形，，分别为，的中点，
所以且，又因为，则四边形为矩形，
所以，且，同理可证，且，
因为平面，则平面，
因为平面，则，
因为，,平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以平面与平面所成二面角的平面角为，
因为平面，平面，所以，
又因为，所以为等腰直角三角形，所以，
所以平面与平面所成二面角的平面角为，故C正确；
对于D：易知，同理可得，
又因为且，则四边形为等腰梯形，
分别过点,在平面内作,，垂足分别为,，

因为，，，
所以，所以，
因为，，，则四边形为矩形，
所以，所以，
所以，
由A可知，平面截正方体所得的截面为梯形，
故截面面积为，故D错误.
故选BC.
12．【答案】2
【分析】根据向量的坐标运算与垂直关系的坐标表示求解即可.
【详解】.
13．【答案】
【分析】先由正弦定理得，再结合题中条件得，最后利用余弦定理可求得，结合可得.
【详解】在中，由正弦定理可得，
又由题知，所以，
整理得，
在中，由余弦定理得，
所以，又，所以.
14．【答案】
【分析】利用互斥事件的概率加法和相互独立事件的概率乘法公式，求得恰有一人面试合格的概率，再分别求得甲签约，乙、丙没有签约、甲未签约，乙、丙都签约和甲乙丙三人都签约的概率，即可求得至少一人签约的概率.
【详解】由题意，恰有一个人面试合格的概率为
，
甲签约，乙、丙没有签约的概率为；
甲未签约，乙、丙都签约的概率为；
甲乙丙三人都签约的概率为.
所以至少一人签约的概率为.
15．【答案】(1)
(2)
(3)不相互独立，证明见详解
【分析】（1）由对立事件结合频率分布直方图先得出分数不小于60的频率，即可得出分数小于60的频率，从而得解；
（2）先判断测评成绩的第分位数所在区间，再利用百分位数的计算方法求解即可；
（3）依题意分别求得这两事件的和事件，积事件的概率，再利用独立事件的概率公式判断即可.
【详解】（1）由频率分布直方图可得分数不小于60的频率为：，
则分数小于60的频率为：，
故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为；
（2）由频率分布直方图易得分数小于70的频率为，分数小于80的频率为，
则测评成绩的第分位数落在区间上，
所以测评成绩的第分位数为；
（3）依题意，记事件 “抽到的学生分数小于30”，事件 “抽到的学生是男生”，
因为分数小于40的学生有5人，其中3名男生；
所以“抽到的学生是男生”的概率为，
因为分数小于30的学生有2人，其中1名男生，
所以“抽到的学生分数小于30” 的概率为，
因为事件表示“抽到的学生分数小于30且为男生”，满足条件的只有1名男生，
所以，
因为，
所以这两个事件不相互独立.
16．【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）借助余弦定理与正弦定理，结合面积公式计算即可得；
（2）借助表示出及后，结合辅助角公式与余弦定理计算即可得.
【详解】（1）由，，故，
由余弦定理可得，
即，由正弦定理可得，
即，
则，
故有，
故，
；
（2），
，
故，
则，
其中，，则当，
即时，草坪ABCD的面积最大，
此时，
即此时小路BD的长度为.
17．【答案】(1)答案见详解
(2)
【分析】（1）取棱的中点，连接，，，证明平面平面即可作答；
（2）证明四边形为平行四边形，将四棱锥的体积转化为三棱锥的体积求解作答.
【详解】（1）取棱的中点，连接，，，则就是所求作的线，如图：

在正方体中，连，
因为是的中点，为的中点，所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又，，即四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，所以平面，
而，平面，从而得平面平面，
所以就是所求作的线；
（2）在正方体中，连接，如图，
且，则四边形为平行四边形，有，

三棱锥的体积，
所以四棱锥的体积.
18．【答案】(1)分
(2)
(3)甲最终获胜的可能性大，理由见详解
【分析】（1）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解；
（2）根据分层抽样的分法，得到从抽取人，记为，从中抽取人，记为，利用列举法求得基本事件的总数和所有事件中包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（3）根据题意求得，分别求得甲乙得到2分和3分的概率，即可得到答案.
【详解】（1）由频率分布直方图，根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数：
分；
（2）由频率分布直方图，可得的频率为，的频率为，
所以用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生，
可得从抽取人，记为，从中抽取人，记为，
从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，有 ，共有12个基本事件；
其中第二个交流分享的学生成绩在区间的有，共有3个，
所以概率为；
（3）甲最终获胜的可能性大.理由如下：
由题意，甲至少得1分的概率是，
可得，其中，解得，
则甲的2分或3分的概率为，
所以乙得分为2分或3分的概率为，
因为，所以甲最终获胜的可能性更大.
19．【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）由题意可知是所折成的直二面角的平面角，则平面，得OC是AC在平面内的射影，然后由已知的数据可求出，，所以，从而可得结论；
（2）设，过点E作于点F，连接，可得是二面角的平面角，然后结合已知数据在中求解即可.
【详解】（1）由题知，，
所以是所折成的直二面角的平面角，即．
因为，平面，
所以平面，
所以OC是AC在平面内的射影，
在等腰梯形中，因为，高，，
所以，，，
在和中，
，，
所以，，
所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以；
（2）由（1）知，，所以平面，
设，过点E作于点F，连接，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
所以是二面角的平面角．
由（1）知，因为，高，，
所以，．
所以，，，
所以，
所以，
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，因为平面，所以，
所以，
所以．因为平面，平面，所以，
因为，所以．
所以二面角的正弦值为．