福建福州鼓山中学2024~2025学年高一下册期末考试数学试题[含解析]

这是一份福建福州鼓山中学2024~2025学年高一下册期末考试数学试题[含解析]，共17页。试卷主要包含了 设，5B， 平面与平面平行的条件可以是， 下列命题中错误的是等内容，欢迎下载使用。
一，单项选择题：（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设（是虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用分数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.
详解】由已知可得，因此，.
故选：A.
2. 已知单位向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的有关概念及单位向量的定义依次判断即得.
【详解】对于A，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同，A错误；
对于B，向量，为单位向量，但向量， 不一定为相反向量，B错误；
对于C，向量，为单位向量，则，C正确；
对于D，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同或相反，即与不一定平行，D错误.
故选：C.
3. 如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三视图得原图形的形状，结构，得边长后可得周长．
【详解】由三视图知原图形是平行四边形，如图，，，，，
所以平行四边形的周长是8．
故选：A．
4. 2021年2月20日，在党史学习教育动员大会上，习近平总书记强调这次学习教育“总的来说就是要做到学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育引导全党同志学党史､悟思想､办实事､开新局”.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：
则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是（ ）
A. 8，8.5B. 8，8C. 9，8D. 8，9
【答案】A
【解析】
【分析】利用众数，百分位数的定义即可求解.
【详解】由统计数表可知，学习7小时的有6人，学习8小时的有10人，学习9小时的有9人，学习10小时的有8人，学习11小时的有7人，共有40人.
学习8小时的人数最多，故学习党史时间的众数是8；
由，故第40百分位数为数据从小到大排序第16项与第17项数据的平均数，
即，故学习党史时间的第40百分位数是8.5；
故选：A
5. 平面与平面平行的条件可以是（ ）
A. 内有无穷多条直线与平行B. 直线，
C. 直线，直线，且，D. 内的任何直线都与平行
【答案】D
【解析】
【分析】由题意利用平面与平面平行的判定和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】解：当内有无穷多条直线与平行时，与可能平行，也可能相交，故A错误．
当直线，时，与可能平行也可能相交，故B错误．
当直线，直线，且，，如果，都平行，的交线时满足条件，但是与相交，故C错误．
当内的任何直线都与 平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行，故D正确；
故选：D．
6. 已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量共线的充要条件建立方程直接求解.
【详解】因为与共线，所以，，
所以，
因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得，
故选：C．
7. 抛掷一颗均匀骰子两次，E表示事件“第一次是奇数点”，F表示事件“第二次是3点”，G表示事件“两次点数之和是9”，H表示事件“两次点数之和是10”，则（ ）
A. E与G相互独立B. E与H相互独立
C. F与G相互独立D. G与H相互独立
【答案】A
【解析】
【分析】先根据古典概型的概率公式分别求出四个事件的概率，再利用独立事件的定义判断个选项的正误.
【详解】解：由题意得：
，，，
对于选项A：，，，所以和互相独立，故A正确；
对于选项B：，，，所以和不互相独立，故B错误；
对于选项C：，，，所以和不互相独立，故C错误；
对于选项D：，，，所以和不互相独立，故D错误；
故选：A
8. 北京大兴国际机场（如图所示）位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为级国际机场、世界级航空枢纽、如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16.28°方向上，在天安门北偏东47.43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为（ ）
（参考数据：，，）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得，，，然后在中利用正弦定理求解即可
【详解】如图所示，由题意可得，，，
由正弦定理可得，即，
解得．
故选：A
二，多项选择题：（本题共4个小题，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错或不答的得0分.）
9. 已知是虚数单位，，则下列说法正确的是（ ）
A. 复数对应的点位于第二象限B.
C. 复数的共轭复数是D. 复数的虚部是
【答案】AB
【解析】
【分析】由已知化简出复数的关系式，然后根据复数的模，共轭复数以及虚部的定义对应各个选项逐个判断即可．
【详解】解：因为，
所以复数对应的点为，在第二象限，故A正确，
且，故B正确，
复数的共轭复数为，故C错误，
复数的虚部为1，故D错误，
故选：AB．
10. 下列命题中错误的是（ ）
A. 的充要条件是且B. 若则
C. 若则或D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】直接利用向量共线的充要条件,三角形法则的应用判断A、B、C、D的结论：
对于A: 利用的充要条件判断；
对于B: 取特殊向量，进行否定；
对于C: 取特殊位置，进行否定；
对于D:根据向量加、减法的三角形法则进行判断.
【详解】对于A: 的充要条件是且方向相同，故A错误；
对于B: 若， 则，若，则不一定平行.故B错误；
对于C: 若， 也可能为，故C错误；
对于D:根据向量加、减法的三角形法则: 成立,故D正确.
故选:ABC
11. 若m，n是两条不同直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理依次判断各个选项，即可求得答案.
【详解】对于A，由面面平行性质：两平面平行，在一平面内的任意直线与另一平面平行.而，，故，A正确；
对于B，，此时m有可能在平面内，故不能得到，B错误；
对于C，由于，则可经平移到与重合位置而平移不改变直线与平面是否直，，故，C正确；
对于D，当，，过上一点作直线，此时，不能得到，D错误.
综上，AC正确.
故选：AC.
12. 从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A. 恰有1个红球与恰有2个红球B. 至少有1个白球与都是红球
C. 恰有2个红球与恰有2个白球D. 至少有1个红球与至少有1个白球
【答案】AC
【解析】
【分析】由题意知所有的实验结果为：“都是白球”，“1个白球，1个红球”，“都是红球”，再根据互斥事件以及对立事件的定义判断，即可得答案．
【详解】A、“恰有1个红球”和“恰有2个红球，这两事件不会同时发生，但也可能都不发生，故二者是互斥而不对立的事件，故A对；
B、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，与“都是红球”是对立事件，故B不对；
C、“恰有2个红球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，二者互斥，但在一次实验中还可能二者都不发生，即不可能必有一个发生，故二者不是对立事件，故C对；
D、“至少有1个红球”和“至少有1个白球”都包含“1个白球，1个红球”的情况，二者不是互斥事件，故D不对；
故选：AC．
三，填空题（本题共4题，纸小题5分.共20分）
13. 在中，，M为BC的中点，则_______．（用表示）
【答案】
【解析】
【详解】解：，，所以。
14. 已知甲同学投篮的命中率为0.6，若甲投篮两次（两次投篮命中与否互不影响），则两次投篮至少投中一次的概率为______．
【答案】0.84
【解析】
【分析】求出两次投篮都不中的概率，再利用对立事件的概率公式计算作答.
【详解】甲同学投篮的命中率为0.6，投篮两次都不中的概率为，
所以两次投篮至少投中一次的概率为.
故答案为：0.84
15. 已知向量，，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】利用平面向量垂直的坐标表示求出的值，再利用平面向量的模长公式可求得结果.
【详解】因为，所以，得，故．
故答案为：.
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】先利用余弦定理求出，再利用面积公式可求得结果
【详解】由余弦定理得，，即，
化简得，解得，
所以，
故答案为：
四，解答题（共6小题.共70分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知复数，，其中a是正实数．
（1）若，求实数a的值；
（2）若是纯虚数，求a的值．
【答案】（1）2 （2）2
【解析】
【分析】（1）根据复数的定义及复数的运算法则构建关于的方程组，求解的值；
（2）根据复数的除法运算求解，利用复数的定义，构建关于的方程组，求解的值；
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，从而，解得，
所以实数a的值为2．
【小问2详解】
依题意得：，
因为是纯虚数，所以：，解得：或；
又因为a是正实数，所以a＝2．
18. 某中学从高一学生中抽取n名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及根据各组数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间[40，100），且成绩在区间[70，90）的学生人数是27人.
（1）求x，n的值；
（2）估计这次数学竞赛成绩的中位数和平均分（结果保留一位小数）.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）由各组的频率和为1，列方程可求出的值，再由[70，90）的数据利用频率等于频数除以总数求解的值，
（2）由于前3组的频率和小于，前4组的频率和大于，所以可判断中位数在第4组，然后列方程求解，直接利用平均数的公式求解
【小问1详解】
由题意可得：
解得：
所以；
【小问2详解】
成绩位于[40，70）的频率为（0
成绩位于[40，80）的频率为
所以中位数位于[70.80），设中位数为a，则，
解得
平均数为.
19. 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，且是锐角三角形，求c的值．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后可解；
（2）利用余弦定理求出c，然后检验可得.
【小问1详解】
，即
或
【小问2详解】
因为是锐角三角形，所以
因为
所以由余弦定理得：
即，解得或
若，则，所以，不满足题意；
若，因为，且，所以，此时是锐角三角形.
所以.
20. 从编号为A、B、C、D的4名男生和编号为m、n的2名女生中任选3人参加演讲比赛．
（1）把选中3人的所有可能情况一一列举出来；
（2）求所选3人中恰有一名女生的概率；
（3）求所选3人中至少有一名女生的概率
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）列举法写出基本事件；
（2）结合古典概型概率公式即可求出结果；
（3）结合古典概型概率公式即可求出结果.
【小问1详解】
设4名男生分别为A，B，C，D，两名女生分别为m，n，则从6名学生中任3人的所有情况有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种，
【小问2详解】
由（1）可知共有20种情况，其中所选3人中恰有一名女生的有12种，
所以所求概率为，
【小问3详解】
由（1）可知共有20种情况，所选3人中至少有一名女生的有16种，
所以所求概率为
21. 如图，已知平面，，，，，，点和分别为和的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求直线与平面所成角的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）连接，推导出，由此能证明平面．
（2）推导出，从而平面，进而，由此能证明平面．
（3）取中点和中点，连接，，，推导出四边形是平行四边形，从而且，进而平面，即为直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的大小．
【小问1详解】
证明：连接，在中，
和分别是和的中点，，
又平面，平面，
平面．
小问2详解】
证明：，为中点，，
平面，，平面，
，又，平面，平面，
【小问3详解】
解：取中点和中点，连接，，，
和分别为和的中点，且，
且，四边形平行四边形，
且，
又平面，平面，
即为直线与平面所成角，
在中，可得，，
，，且，
又由，，
在中，，
在中，，
，即直线与平面所成角的大小为．
22. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，.
（1）求证：平面PAC；
（2）已知点M是线段PD上的一点，且，当三棱锥的体积为1时，求实数的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）3
【解析】
【分析】（1）证明出，且，从而证明出线面垂直；（2）先用椎体体积公式求出，利用体积之比得到线段之比，从而得到的值.
【小问1详解】
证明：∵平面ABCD，且平面ABCD，∴.
又因为，且，∴四边形ABCD为直角梯形.
又因为，，易得，，
∴，∴.又因为AC，PA是平面PAC的两条相交直线，
∴平面PAC.
【小问2详解】
由（1）知且，
∴.
又∵平面ABCD，.
又∵，∴，
∴点M到平面ABC的距离为，
∴，∴.党史学习时间（小时）
7
8
9
10
11
党员人数
6
10
9
8
7