湖南省县市级高中教育教学联盟2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省县市级高中教育教学联盟2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了 的展开式中 的系数为，已知函数 ，则下列说法正确的有，已 知 抛 物 线 等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A= ，B= ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知 ，则 z 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3.若向量 ， ，且 ，则 （ ）
A.1 B.0 C. D.
4. 的展开式中 的系数为（ ）
A.20 B.40 C. D.120
5.已知焦点在 轴上的椭圆，上顶点为 ，左、右焦点分别为 ， ，经过点 的直线垂直平分线段 ，
且交椭圆于 ， 两点， 的周长为 8，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
6.已知等比数列 的公比是 ，前 项和为 ， ，设甲： ，乙：数列 是递增数列，则
甲是乙的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知函数 ，则下列说法正确的有（ ）
① 的图象关于点 中心对称；
② 的最小值为 ；
③当 时， 的所有极值点按从小到大依次记为 ， ，…， ，则极值 的和为
.
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
8.已 知 函 数 ， ， 表 示 ， 的 最 小 值 ， 设 函 数
，若 有 2 个零点，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对
的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.已 知 抛 物 线 ： 的 准 线 为 ， 焦 点 为 ， 为 抛 物 线 上 的 动 点 ， 过 点 作 ：
的一条切线， 为切点，过点 作 的垂线，垂足为 ，则（ ）
A.准线 与圆 相切
B.过点 ， 的直线与抛物线 相交的弦长为 5
C.当 ， ， 三点共线时，
D.满足 的点 有且仅有 2 个
10.已知 且 ， 满足 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11.如图，在正四棱柱 中， ， ， ， 分别为 ， 的中点， 是
侧面 上一动点（含边界），则下列结论正确的是（ ）
A.若满足 ，则点 的轨迹为圆的一部分
B.若 ，则点 的轨迹为抛物线的一部分
C.以点 为圆心， 为半径的球与正四棱柱的侧面 的交线长度为
D.以 为直径的球面与正四棱柱的侧面 的交线长度为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.已知数列 的前 项和 ，则 _________.
13.在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于直线 对称，若 ，
则 ________.
14.一般地，如果 是区间 上的连续函数，并且 ，那么
.这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿-莱布尼茨公式.从几何上看，
如果在区间 上函数 连续且恒有 ，那么定积分 表示由直线 ，
， 和曲线 所围成的曲边梯形的面积.抛物线 与 轴围成的封闭图形
的面积为________；已知数列 满足 ， 的前 项和为 ，则 ________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（ 13 分 ） 在 中 ， 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 其 中 ， 且
.
（1）求角 的大小；
（2）若 ， 外接圆的半径为 ，求 的面积.
16.（15 分）为了丰富学生的课余生活，增强团队协作能力和沟通能力，促进身心健康发展，某校将举行一次
篮球赛.某班准备组建一支 5 人的篮球队参加比赛，其中甲、乙 2 人已入选，现要从含丙、丁、戊的另外 5 人
中再选 3 人参赛.
（1）求丙、丁、戊 3 人中入选的人数 的分布列及期望；
（2）现甲、乙、丙、丁、戊 5 人进行传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球
传给另外 4 个人中的任何 1 人，求 次传球后球在甲手中的概率.
17.（15 分）在矩形 中， ， ， ， 分别为 ， 的中点，如图 1.将 沿
折起，使得点 到达点 的位置，如图 2，此时二面角 的大小为 .
（1）证明： .
（2）已知 为 的中点， 为平面 内的一个动点，满足 且 ， 两点在直线 的异侧，
求直线 与直线 所成角的余弦值的最大值.
18.（17 分）已知函数 ， .
（1）设函数 ，试讨论 的单调性；
（2）若 ， 的图象存在公切线（与 ， 的图象均相切的直线），求实数 的取值范围；
（3）若存在不相等的 ， ，使 ， ，证明： .
19.（17 分）已知双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，过右焦点
的直线 交 的右支于 ， 两点，且弦 的长度最短为 .
（1）求 的标准方程.
（2）若 ， 分别为 ， 内切圆的半径，试问 是否为定值?若是，求出该定值；若不是，
请说明理由.
（3）若 与 的左支交于点 ，求 的范围.
高二数学试卷参考答案
1．C ，则 ，故C正确．
2．B 由 知 ，则z的虚部为 ，故B正确．
3．A 由 ，得 ． ，即
，故A正确．
4．B ，故B正确．
5．D 由垂直平分线的性质知 ，即 ，又 的周长等于 的周长，即
，所以椭圆的标准方程为 ，故D正确．
6．C 数列 是递增数列，则 ，因为 ，所以
，即 ，反之亦成立，故甲是乙的充要条件，C正确．
7．C ．
对于①， 为奇函数，所以 的图象关于点 中心对称，正确；
对于②，令 ，得 或 ，分别代入 ，求得 的最小值为 ，错误；
对于③，当 时，令 ，若 ，则 无极值点，若 ，则 有2个极
值点，
所以当 时， 共有4个极值点，又 的所有极值点按从小到大依次记为 ，所
以由对称性得极值 的和为 ，正确．
8．D 显然当 时， ，此时 无零点；当 时， ，得
有1个零点；当 时， ，下面只需考虑 的零点个
数的情况：①当 且极小值 时，解得 ；②当极小值 时，由图可得
满足题意．所以当 有2个零点时， 或 ．故D正确．
9．BD 对于A，准线l与圆A相离，A错误；
对于B，直线 的方程为 ，代入 得 ，弦长为
，B正确；
对于C．当 时， ，C错误；
对于D，由抛物线的定义得 ，直线 的垂直平分线方程为 ，代入 得
，点P有且仅有2个，D正确．
10．ACD 由已知得 ，令 ，易知 在R上单调
递减，所以 ，即 ，A正确，B错误；
单调递增， ，则 ，C正确；
，D正确．
11．AD 由阿氏圆知点M的轨迹是一个圆的一部分，故A正确；
因为 是一个定值，所以 也等于一个定值，所以 一定是以 为轴的一个圆锥的母线，
这样的圆锥被过顶点 的平面 所截，所得的是两条母线，故B错误；
以点D为圆心， 为半径的球与正四棱柱的侧面 的交线是圆的一部分，该圆以C为圆心， 为半径，
所求的交线是该圆在侧面 的部分，显然该部分少于四分之一个圆，故C错误；
由正四棱柱的中心对称性可知，以 为直径的球的球心O一定是在正四棱柱的中心，根据 ，
可知 ，所以可知球心O到上、下两底面各棱的中点的距离都等于该球的半径，又因为球心O到各侧棱
的距离是 ，到各顶点的距离是1，所以由上面推理易知，以 为直径的球与上、下两底面的交线是两个
完整的内切圆，此时一个圆的周长是 ，而根据该球心O到一个侧面 的射影是
，可解得 ，所在侧面截得的交线如图所示，
由 ，可得 ，即 ，所以在该侧面内留下的交线长为
，故D正确．
12． 由已知易得 ，所以
．
13． 由已知得 ，即 ，
所以 ．
14． ．
因为 ，所以 ，
所以 ．
15．解：（1） ，因为 ，所以 ，所以 ．……
3分
由 ，得 ，
得 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ．……6分
（2）由 外接圆的半径为 及正弦定理，得 …8分
由余弦定理得 ，所以 ，由 ，得 ，
所以 ．…13分
16．解：（1）由题意可知X的所有可能取值为 ，……1分
则 ，…4分
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
故 ．……7分
（2）设n次传球后球在甲手中的概率为 ，则 ．……8分
由题意可知 ，……10分
变形可得 ，则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以
，所以 ．……15分
17．（1）证明：取 的中点M，连接 ． ．…1分
又 ．连接 ．又 ．又 ，
．又F为 的中点， ．……4分
又 平面 ．…5分
（也可这样证明：在图1中，连接 交 于点M，得到 ，在图2中可得 平面
）
（2）解：过点P作 ，垂足为O．由（1）得 平面 ，又 平面 平面
平面 ．又平面 平面 平面 ．…6分
为二面角 的平面角， ．
又 ，又 ．……8分
在平面 内， 在以O为圆心， 为半径的圆上．
两点在直线 的异侧，∴点G在弦 所对的优弧上．…10分
以 的方向分别为z轴、x轴的正方向，过点O作 的平行线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设 ，
则 ，
，…11分
（其中
）． ．
，又 ，又 当 或 时，
直线 与直线 所成角的余弦值取得最大 值．…15分
18．（1）解： ．…1分
当 时， 在 上单调递减；…2分
当 时， ，……3分
在 上单调递减，在 上单调递增．…4分
（2）解：设 的图象与它们公切线的切点坐标分别为 ．
由 ，知 ，……5分
则 的图象在点 处的切线方程为 ， 的图象在点 处的
切线方程为 ．…6分
这条直线相同，∴它们具有相同的斜率和纵截距，
②．
结合①②，有 且 ．…7分
设 ，
则 ．
令 ，得 ；令 ，得 ．
在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ．……8分
作出 的大致图象，如图1所示．
的图象与直线 有交点，
，解得 或 ，
实数m的取值范围为 ．…10分
（3）证明：不妨设 ．
（方法一） 存在 ，使 ，
①， ②，
．……11分
设 ，则 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
且 的大致图象如图2所示．…12分
记 ，
则 ，
在 上单调递增， ，
．…15分
又 在 上单调递减，
，即 ．…17分
（方法二） 存在 ，使 ，
①， ②，
两式相减得 ，即 ③，
两式相加得 ④．……12分
将③代入④，得
．…13分
记 ，则 ．
要证 ，只需证 ，
即证 ，即证 ，
即证 ，即证 ．…15分
设 ，
在 上单调递增，
，
，即 ．…17分
（方法三） 存在 ，使 ，
①， ②，
，…12分
则 ，……13分
．……14分
下同方法二．
19．解：（1）由已知得 ，……2分
，又 ，……3分
的标准方程为 ．……4分
（2）（方法一）如图所示，设 内切圆的圆心为 内切圆的圆心为 ，圆 与x轴相切于点M
．
由（1）易知 ，…6分
∴点M的横坐标即 的横坐标 ，同理 的横坐标也为 ，……7分
三点共线且垂直于x轴，
平分 平分 ，
在 中， ，
．……10分
（方法二）设 内切圆的圆心为 内切圆的圆心为 ，
圆 与x轴相切于点M．
由（1）易知 ，…6分
∴点M的横坐标即 的横坐标 ，同理 的横坐标也为 ，
三点共线且垂直于x轴， ．…7分
设直线 ．
圆 与直线 相切， ，即 ，……8分
同理 ，即 ，
是方程 的两根，
，即 ．…10分
（3）已知 ，设 ．
直线l交双曲线E的右支于 两点，
，……11分
则 即 ……12分
又
由 ，得 ，
将①②代入，化简得 ⑤，……13分
再将①⑤联立得 ，
．……14分
同理可得 ．
由题意 ，…15分
，
．……16分
又 ，
．…17分