湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题（Word版附解析）

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时量：120 分钟 满分：150 分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数 对应 点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 若 为实数，且 ，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
4. 向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 设函数 ，则 （）
A. 图象关于 对称，且在 上是增函数
B. 图象关于 对称，且在 上是减函数
C. 图象关于 对称，且在 上是增函数
D. 图象关于 对称，且在 上是减函数
6. 若函数 在 内有且只有 2 个极值点，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知点 是圆 上 动点，且 ，点 D 为 的
中点，则 的最大值为（ ）
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A. B. 1 C. D.
8. 已知 是无穷等比数列，其前 n 项和为 ．若对任意正整数 ，都有 ，
则实数 A 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列命题正确的是（ ）
A 已知 ，若 ，则
B. 数据 的第 75 百分位数为 47
C. 若样本数据 标准差为 1，则数据 的标准差为 2
D. 数据 的均值为 4，标准差为 1，则这组数据中没有大于 5 的数
10. 如图，在长方体 中， 是线段 上的一动点，则以下命题
正确的是（ ）
A. 平面
B. 的最小值为
C. 直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
D. B 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线长为
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11. 已知函数 的定义域均为 是偶函数，
，则（ ）
A. B. 是奇函数
C. D. 是 的对称轴
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 某实验室需将五份不同样本（编号为 ）存放于特定 五个实验柜中，这些实验柜都分布在 A
区，柜子编号分别为 ．若要求存放方案中恰有两份样本的存放柜编号与自身编号一致（编
号为 i 的样本存放于编号为 的柜子中时表示编号一致），那么符合条件的存放方案共有________种．
13. 已知函数 是偶函数，则 ___________．
14. 已知点 为椭圆 上两点，且点 A 在第一象限，点 B 在第二象限， ，射线
的斜率分别为 ，则 的最小值为________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 锐角 的内角 的对边分别为 ，已知 且 ．
（1）求角 C 的大小；
（2）求 的取值范围．
16. 蒙古包可以近似的看成是由一个圆柱跟一个圆锥拼接而成．如图， 为某一个蒙古包的轴截
面， ，现沿直线 将 向上折起得到 ，得到四棱锥
，且 P 点在平面 上的射影在 上，E 为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
17. 已知函数 ．
（1）判断 在区间 的单调性；
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（2）求 的最小值；
（3）证明：当 时， ．
18. 已知双曲线 E 的渐近线方程为 ，且过点 ．
（1）求双曲线 E 的标准方程；
（2）点 Q 为双曲线 E 上一点，证明点 Q 到两渐近线的距离之积为定值，并求出该定值；
（3）双曲线 E 的两个顶点分别为 ，点 M 在直线 上，直线 与双曲线 E 分别交于 （异
于 ）两点，且直线 与 x 轴垂直，求点 M 的坐标及直线 的方程．
19. 某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入．该公司第 i 年的年广告费 （单位：百万
元）满足递推关系 ，且 ，年销售量 （单位：百万辆）与年
广告费相关．令 ，经过数据处理得到如下统计量的值：
44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06
现有模型 作为年销售量 y 关于年广告费 x 的回归分析模型，其中 均为常数．
（1）求 ；
（2）求出 y 关于 x 的回归方程，并预测年广告费为 6（百万元）时，产品的年销售量是多少？
（3）该公司生产的电动车毛利润为每辆 200 元（不含广告费、研发经费）．该公司在加大广告投入的同时
也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的 199 倍．电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影
响外还受随机变量 影响，设随机变量 服从正态分布 ，且满足 ，求该公司
年净利润的最大值大于 1000（百万元）的概率．（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变
量）
附：①回归直线
②参考数据： ， ．
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