山东省烟台市2024-2025学年高一下学期期中学业水平诊断数学试题（Word版附解析）

这是一份山东省烟台市2024-2025学年高一下学期期中学业水平诊断数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了使用答题纸时，必须使用0， 斜拉桥， 若，则， 下列说法正确的有， 函数的部分图象如图所示，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】设，
由，得，
所以，即，解得
所以，所以复数的虚部为.
故选：B.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由，
因为，所以上式，
故选：B.
3. 在平面直角坐标系中，已知，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】由已知得：
根据在投影向量公式可得：，
故选：C.
4. 在中，，M是AN上一点，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为三点共线，设，
又因为，
可得
，
因为，可得，可得.
故选：D.
5. 斜拉桥（如图1）是我国常见的桥型之一，是由许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁.已知主塔AB垂直于桥面，斜拉索AD，AC与桥面所成角（如图2），主塔AB的高度为h，则间的距离为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】在中，，
在中，，
所以
，
故选：A．
6. 若函数在上的最小值为，则t的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由，可得，
因为，
要使得上最小值为，则满足，
解得，所以，所以的最大值为.
故选：D.
7. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由题得，
所以，
整理得，解得或（舍），
所以，
故选：C．
8. 的内角的对边分别为，已知，且，边上的中线相交于点P，且，则四边形的面积为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【详解】由，结合正弦定理边化角得：，
因为，所以上式化为，再由内角和为可化为，
利用三角恒等变形得：，因为，所以，
即上式变形为，又因为，所以，
再由余弦定理得：
即，解得，
可得或，因为，所以，
则的面积为，
因为边上的中线相交于点P，所以点P是的重心，
即，，
由，所以，
即四边形的面积为，
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 若向量满足且，则
B. 对于任意向量，都有
C. 对于任意向量，都有
D. 若向量共线，则存在实数，使得
【答案】BC
【详解】对于A，若，则，
若，则，显然，故A错误；
对于B，，因为，所以，
所以，故B正确；
对于C，根据向量三角不等式，，故C正确；
对于D，若，则不存在实数，使得，故D错误；
故选：BC．
10. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 函数图象关于点对称
B. 函数在上单调递减
C. 函数在上恰有6个零点
D. 若，在上有n个不同的解，则
【答案】ABD
【详解】
由图象可得：，
因为，由，可得，
所以，再代入最高点可得：
，即
因为，所以，即，
对于A，当时，，故A正确；
对于B，当，则，满足正弦函数的递减区间，故B正确；
对于C，当，则，根据正弦函数在该区间内有个零点，故C错误；
对于D，当，作图分析可知;
方程在上存在四个解，可知它们分别关于直线对称，
即有所以有
即故D正确；
故选：ABD.
11. 已知的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的有（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则D. 的最小值为
【答案】ACD
【详解】对于A中，由余弦定理得，
因为，可得和，可得，
又由正弦定理，可得，即，
所以，所以A正确；
对于B中，由，
可得，解得，
因为，所以或，所以B不正确；
对于C中，由，且，可得，所以，
因为，由正弦定理，可得，
又由，
所以的面积为，所以C正确；
对于D中，由，可得
可得，
则，
当且仅当时，即时，即，等号成立，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，且，则_________．
【答案】
【详解】因为，所以，解得，
所以，则，
故答案为：．
13. 已知，则_________.
【答案】
【详解】由，可得，
因，可得，
又由
.
故答案为：.
14. 如图，在四边形ABCD中，，，设.①当时，BF的长为______，②四边形BFDE面积的最大值为__________.
【答案】 ①. ②.
【详解】解：由，且，
所以为的中点，且为的平分线，
因为，可得，
所以，
则，
所以.
由，可得，且，
所以，，
因为为的中点，可得，
所以，
因为，可得，则，
当时，即时，可得的最大值为.
四、解答题.本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数.
（1）若为纯虚数，求复数的值；
（2）若为虚数且在复平面内对应的点在直线上，求的值.
【答案】（1）;
（2）.
【小问1详解】
由为纯虚数，
可得，解得，此时，
则.
【小问2详解】
由为虚数且在复平面内对应的点在直线上，
则，解得或，
由于为虚数，所以舍去，故则，
则.
16. 一条东西方向河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东.河南岸有一码头A，码头A正对面有一货站B（AB与河的方向垂直），B的正西方向且与B相距600m另有货站C，已知一货船匀速航行，当货船自码头A航行到货站C航程最短时，合速度为.
（1）求货船航行速度的大小；
（2）若货船从A出发垂直到达正对岸的货站B处，求货船到达B处所需时间.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
以为坐标原点，以东向方向为轴，以垂直对岸的方向为轴建立直角坐标系如图所示.
货船从码头航行到货站的最短路径要求合速度方向由指向.
设货船在静水中的速度为 ，水流速度为4 km/h向东，即,
合速度为水流速度与船速的矢量和：
由题意，合速度方向与向量同向，且大小为.
设合速度为，则：
因此，合速度为 .
联立方程：
货船速度大小为：
【小问2详解】
货船要垂直到达正对岸，需使合速度的东向分量为0.
设船速为，则：
由（1）知船速大小为 ，故：
合速度的北向分量为 ，河宽，所需时间为：
17. 已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为.
（1）求的值及函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）;
（2）
【小问1详解】
由，
由其图象的相邻两条对称轴间的距离为，可知最小正周期为，
因为，所以，即，
由，，解得，，
所以函数的单调递增区间为，.
【小问2详解】
将函数的图象向右平移个单位长度可得，，
再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，
即，
对任意的，有，此时，
此时有，
要使得不等式恒成立，则只需要满足，解得或，
故实数的取值范围这.
18. 在中，内角所对的边分别为a，b，c.从下面两个条件中任选一个作答，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.①；②.
（1）求角B；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【小问1详解】
选①：
由，利用正弦定理边化角得：，
因为，所以有，
可得，
因为，所以；
选②：
由，利用正弦定理边化角得：，
因为，所以有，
可得：因，所以，且；
【小问2详解】
若，求的取值范围.
用正弦定理边化角可得：
，
因为，所以，即，
则，所以，即，
则.
19. 在中，.
（1）求；
（2）若的面积为18，的平分线与边BC交于点D，求AD的长.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
解：在中，可得，
所以，
且，
因为，可得，
所以，
又因为，所以，
因为，可得，解得，
又因为，可得，所以.
【小问2详解】
解：由的面积为18，可得，所以，
因为，且，可得为锐角，所以，
又由，
所以，
由正弦定理，可得，即，
联立方程组，可得，
因为，可得，
又因为的平分线与边BC交于点D，设，
因为，所以，
即.