山东省烟台市2024-2025学年高一上学期期中学业水平诊断数学试题

这是一份山东省烟台市2024-2025学年高一上学期期中学业水平诊断数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定为( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
4.下列各组函数中是同一个函数的是( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
5.已知，则的最小值为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
6.已知函数与在同一坐标系下的大致图象如图所示，则函数的图象可能为( )
A. B.
C. D.
7.已知是定义在R上的偶函数，，且对，，都有，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.若集合U的三个子集A、B、C满足，则称为集合U的一组“亲密子集”.已知集合，则U的所有“亲密子集”的组数为( )
A. 9B. 12C. 15D. 18
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知a，b，c，d均为实数，下列命题正确的有( )
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，则D. 若，则
10.已知函数，则( )
A. 在上单调递减B. 的值域为
C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点对称
11.已知函数的定义域为D，区间，若存在非零常数t，使得对任意，，都有，则称函数是区间I上的“衰减函数”.下列说法正确的有( )
A. 函数是上的“衰减函数”
B. 若函数是上的“衰减函数”，则t的最大值为1
C. 已知函数为偶函数，且当时，，若是上的“衰减函数”，则a的最大值为
D. 已知函数为奇函数，且当时，，若是上的“衰减函数”，则a的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数为奇函数，则实数a的值为__________.
13.若函数的最小值为，则实数m的取值范围为__________.
14.已知函数在上的最大值为5，则a的值为__________;令，，若用且将区间分成4个小区间，且恒成立，则实数M的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
设集合，
若，求
若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
16.本小题15分
已知函数
若函数在上单调递增，求实数a的取值范围;
求函数在区间上的最小值.
17.本小题15分
已知某工厂生产一种电子元件，每年需投入固定成本5万元，当年产量为单位：万件时，需额外投入可变成本单位：万元根据市场调研，每个元件售价为7元;在年产量x不超过8万件时，在年产量x超过8万件时，假设该元件的年销量等于年产量.
注：年利润=年销售收入-固定成本-可变成本
求年利润关于年产量x的函数解析式;
当x为何值时，年利润最大?最大年利润是多少?
18.本小题17分
若定义在R上的函数满足
求函数的解析式;
用定义法证明：在区间上单调递减;
已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.利用上述结论，求函数图象的对称中心注：
19.本小题17分
已知函数的定义域为，且对定义域内任意x，y都有
设，证明：函数为偶函数;
若满足：当时，
ⅰ求不等式的解集;
ⅱ若，使得对，都有，求实数t的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查交集运算，属于基础题.
化简B，由交集运算即可求解.
【解答】
解：，
则
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查存在量词命题的否定，属于基础题.
利用存在量词命题的否定为全称量词命题即可解答.
【解答】
解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
则命题“，”的否定为，
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域，属于基础题.
由题意得，解不等式组即可.
【解答】
解：因为函数，
则，解得，
故定义域为
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查判断两个函数是否为同一个函数，属于基础题.
对选项逐个判断即可.
【解答】
解：对于A、与的对应法则不同，不是同一个函数；
对于B、的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数；
对于C、，故和的定义域和对应法则都相同，是同一个函数；
对于D、的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数.
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查基本不等式求最值，属于基础题.
利用基本不等式即可求解.
【解答】
解：由题意，得，
当且仅当，即时，取等号，
故的最小值为
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数图像的识别，属于基础题.
由题意得，，，，利用二次函数的图像和性质，结合选项即可判断.
【解答】
解：由题意得，，，，
故函数的开口向下，对称轴方程为，且过，
由选项可知，只有D满足题意，
故选D
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用函数的性质解不等式，属于一般题.
求出的单调性，且，由不等式得或，解不等式即可.
【解答】
解：因为对，，都有，
则在递增，
又是定义在R上的偶函数，，
则在递减，且，
由不等式，即，
则或，解得或，
故解集为
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查集合的新定义问题，属于中档题.
结合新定义对集合C分类计算即可.
【解答】
解：当集合时，
①当集合B中有两个元素时，集合或或，集合B取任意一种情况，集合A均有3种可能，此时有9组，
②当集合B中有一个元素时，即或或，
集合A均为，此时有3组，
当集合C中有两个元素，即集合或或时，
集合C取任意一种情况，集合B均有两种可能，且集合A均为，此时有6组，
综上，集合的所有“亲密子集”的组数为组.
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质，属于基础题.
对选项逐个判断即可.
【解答】
解：对于A、由，得，又，则，故A正确；
对于B、取，，，，则，故B错误；
对于C、若，则，则，故C正确；
对于D、若，则，
则，故D正确
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性、值域和对称性，属于基础题.
化，然后对选项逐个判断即可.
【解答】
解：，
对于A、在和上单调递减，故A错误；
对于B、因为，则的值域为，故B正确；
对于C、的图象不关于直线对称，故C错误;
对于D、的图象关于点对称，故D正确.
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了利用函数的奇偶性求解析式、利用函数的单调性求最值、由函数最值求参，属于较难题．
对于根据题意分析说明，时满足；
对于B，由函数是上的“衰减函数，，可得，即，
对于C，D，求出当时的解析式，结合定义列不等式求解即可.
【解答】
解：对于由题意可得，函数的定义域为，
，则，
，，，
在上单调递减.
，故为区间上的衰减函数，故A正确.
对于函数的定义域为R，对，则，
若是区间上的衰减函数，则，
即，
可得对恒成立，
所以，解得，
当时，不符合，所以
所以t的最大值为故B错误.
对于由题意可得：当时，，
函数为偶函数，，
则当时，，
若是上的"衰减函数"，则对任意，，
，即，即在上恒成立.
所以，解得，
所以a的最大值为，故C正确;
对于D，由题意，函数为奇函数，且当时，，
则当时，，
若是上的“衰减函数”，
则对任意，，，
即，得在上恒成立，
所以，解得，
故a的最小值为，故D正确.
故选：
12.【答案】0
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性，属于基础题.
利用即可求解.
【解答】
解：若函数为奇函数，
则恒成立，即恒成立，
解得
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分段函数的最值，基本不等式，属于一般题.
对x进行分类讨论，利用二次函数和基本不等式即可求解.
【解答】
解：当时，，
又，
所以对称轴方程，即
当时，，当且仅当，即时取等号，
所以，解得，
综上，实数m的取值范围为
14.【答案】1 ； 5
【解析】【分析】
本题考查二次函数的最值，一元二次函数的图象与性质，属于较难题.
结合二次函数的最值直接求解a的值，结合绝对值不等式的意义，将代数式转化即可求解.
【解答】
解：函数的图象开口向上，且对称轴为，
所以在上的最大值为，
解得；
所以，，，，即，，
且，
的几何意义即为相邻两自变量对应函数值差的绝对值的累计和，若要累计和达到最大值，则，，中必有一个自变量取1，
则
所以，M的最小值为
15.【答案】解：由得，，所以
当时，，
，
所以或
因为“”是“”的充分不必要条件，所以，.
令，得，
因为，解得，所以
所以，且，解得
【解析】本题主要考查交并补混合运算以及充分不必要条件的应用，属于基础题
求出集合A，B，求出，再根据集合补集的运算求解即可
由题意得，列不等式组求解即可.
16.【答案】解：当时，，单调递增;
当时，，
函数在上单调递增，
若函数为R上的增函数，只需，解得
当时，函数，对称轴为
所以，当，即时，函数在上单调递增，
所以
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以
综上，当时，的最小值为
当时，的最小值为
【解析】本题考查了分段函数的单调性以及利用函数的单调性求最值，是中档题.
需要两段函数均为增函数，且，取交集求出参数的取值范围；
分和两种情况研究函数的最小值即可.
17.【答案】解：当时，
当时，
所以
当时，，
当时，单调递增，当时，单调递减.所以，
当时，，
当且仅当，即时取“=”.
因为，
当该电子元件的年产量为6万件时，最大年利润为13万元.
【解析】本题主要考查利用分段函数模型解决实际问题，属于中档题
由题意列出解析式，再写成分段函数的结构;
分别求出每一段的最大值，即可得到利润的最大值，及取最大值时的产量.
18.【答案】解：因为，①
将上式中的x用替代，得，②
②①得：，所以
任取，且，
则
，
因为，所以，，，，，
所以，所以函数在区间上单调递减；
设函数图象的对称中心为，则函数为奇函数，
，
因为，代入整理得，对任意恒成立.所以，且，
解得，
所以，函数图象的对称中心为
【解析】本题主要考查求函数解析式，证明函数的单调性以及利用函数的奇偶性解决参数问题，属于中档题.
根据题意x用替代得到方程，然后作差求解即可；
利用函数的单调性的定义即可证明；
设函数图象的对称中心为，利用函数的奇偶性得到，对任意恒成立，再求解得到a，b值，即可求解.
19.【答案】解：由，得，
令，得，所以
令，得，所以
令，得
又的定义域关于原点对称，
所以是上的偶函数.
由知，
，且，
，
因为，当时，，所以，
又，所以，即
所以，在上单调递减.
因为，
所以，即
因为为偶函数，在上单调递减，且，
所以，
又，，解得或所以，
不等式的解集为
由，得，
即，对恒成立，
所以
因为在上单调递减，，所以
所以，使得成立，即成立，
令，，则或
即，解得或
由，解得或
所以或，即t的取值范围是
【解析】本题考查函数单调性、奇偶性的综合应用，考查恒成立和存在性问题，属于较难题.
利用赋值法和奇偶性的定义即可求证;
利用单调性的定义求出在上单调递减，结合奇偶性得，解不等式即可;
求出，由单调性得，得，使得成立，令，，由或即可求解.