山东省烟台市2024-2025学年高一上学期期中学业水平诊断 数学试卷（解析版）

这是一份山东省烟台市2024-2025学年高一上学期期中学业水平诊断 数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，四象限，则，，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，
所以.
故选：C.
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】根据特称命题的否定为全称命题知：
命题“，”的否定为“，”
故选：B.
3. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，解得，则其定义域为.
故选：A.
4. 下列各组函数中是同一个函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】C
【解析】A：，定义域相同但对应关系不同，故不是同一个函数；
B：的定义域为R，的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；
C：，定义域均为R，对应关系也相同，故是同一个函数；
D：中，所以定义域为，
中，其定义域为，
所以定义域不同，故不是同一个函数；
故选：C.
5. 已知，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】因为，所以，
当且仅当，即时，取到最小值.
故选：D.
6. 已知函数与在同一坐标系下的大致图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】从题图的图象可知，函数的图象分布在第二、四象限，则，
一次函数在上单调递增，且与轴的交点位于正半轴上，则，，
所以，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，且，
二次函数的图象与轴的交点位于正半轴上，D选项中的图象合乎题意.
故选：D.
7. 已知是定义在上的偶函数，，且对，都有，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为对，都有，
所以在上单调递增，
又是定义在上的偶函数，所以在上单调递减，
又，所以，
则不等式可转换为，
所以或，解得或，
则不等式的解集为.
故选：B
8. 若集合的三个子集满足，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为（ ）
A. 9B. 12C. 15D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】先确定出的子集，然后根据集合中元素个数分类讨论，由此可求结果.
【详解】的所有子集有：；
（1）若，为单元素集合，为双元素集合，符合要求的有：
，，，，
，，共组；
（2）若，为单元素集合，为三元素集合，符合要求的有：
，，，共组；
（3）若，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有：
，，，共组；
（4）若为单元素集合，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有：
，，，
，，，共组；
综上所述，满足要求的“亲密子集”一共有组.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知均为实数，下列命题正确有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ACD
【解析】对于选项A：因为，所以，又，所以，所以选项A正确；
对于选项B：因为不一定为正数，例如：，但，所以选项B错误；
对于选项C：因为，易知，根据不等式性质，可知，所以选项C正确；
对于选项D：因为，
又，所以，所以，所以，所以选项D正确.
故选：ACD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 在上单调递减B. 的值域为
C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点对称
【答案】BD
【解析】根据题意可知，
易知将奇函数向右平移1个单位，再向上平移2个单位可得，
画出函数的图象如下图所示：
可得在和1,+∞上是分别单调递减的，不能用并集表示，即A错误；
由图可知，的值域为，即B正确；
的图象不是轴对称图形，可知C错误；
依据奇函数平移规则可得的图象关于点对称，即D正确.
故选：BD
11. 已知函数的定义域为，区间，若存在非零常数，使得对任意，，都有，则称函数是区间上的“衰减函数”.下列说法正确的有（ ）
A. 函数是上的“衰减函数”
B. 若函数是上的“衰减函数”，则的最大值为1
C. 已知函数为偶函数，且当时，，若是上的“衰减函数”，则的最大值为
D. 已知函数为奇函数，且当时，，若是上的“衰减函数”，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】选项A，定义域是，，时，，
，即，满足，A正确；
选项B，，是上的“衰减函数”，在上是减函数，在上是增函数，，则，
，即，，时，恒成立，
而，所以，即的最大值是2，B错；
选项C，是偶函数，当时，f(x)=x-a-a(a>0)，作出的大致图象，如图，把它向左平移1个单位得的图象，是上的“衰减函数”，则在区间上的图象在图象的下方，原点必须平移到点左侧，因此，解得，的最大值是，C正确；
选项D，函数为奇函数，且当时，f(x)=x-a-a(a>0)，
作出的大致图象，如图，
把它向左平移1个单位得的图象，
是上的“衰减函数”，则在区间上的图象在图象的下方，原点平移到点，该点不能在左侧，
图中点所在上的表达式为，在上表达式为,
由得，点横坐标不大于，
因此有，解得，即的最小值是，D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数为奇函数，则实数的值为________.
【答案】0
【解析】由题意可得，即，
整理可得，即.
故答案为：
13. 若函数的最小值为，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】当时，关于对称，
若最小值为，可知，即可得；
又当时，，当且仅当时等号成立；
若最小值为可得，即，解得；
综上可知，实数的取值范围为.
故答案为：
14. 已知函数在上的最大值为5，则的值为________；令，，若用（且）将区间分成4个小区间，且恒成立，则实数的最小值为________.
【答案】①. 1 ②. 5
【解析】易知关于对称，且开口向上，
所以函数在上的最大值为，解得；
依题意可得，
记
当时，可知；
若，即；
可得；
若，
可得
当时，可知，；
若，
可得；
若，
可得；
当时，可知,；
若，
可得；
若，
可得；
当时，可知,；
可得；
综上可得，实数的最小值为5.
故答案为：1；5.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设集合，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
解：（1）由得，，所以.
当时，，，
所以或.
（2）令，得，
因为，解得，所以，
因为“”是“”的充分不必要条件，所以，
所以且等号不同时成立，
解得.
16. 已知函数
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）求函数在区间上的最小值.
解：（1）当时，，是单调递增函数；
当时，的对称轴为，所以在上单调递增，若函数为上的增函数，只需，解得.
（2）当时，函数，对称轴为，
当，即时，函数在上单调递增，
所以；
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以；
综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为.
17. 已知某工厂生产一种电子元件，每年需投入固定成本5万元，当年产量为（单位：万件）时，需额外投入可变成本（单位：万元）.根据市场调研，每个元件售价为7元；在年产量不超过8万件时，；在年产量超过8万件时，.假设该元件的年销量等于年产量.（注：年利润年销售收入固定成本可变成本）
（1）求年利润关于年产量的函数解析式；
（2）当为何值时，年利润最大？最大年利润是多少？
解：（1）当时，；
当时，；
所以
（2）当时，，
当时，单调递增，当时，单调递减.
所以，；
当时，，
当且仅当，即时取“”.
因为，当该电子元件的年产量为6万件时，最大年利润为13万元.
18. 若定义在上的函数满足.
（1）求函数的解析式；
（2）用定义法证明：在区间上单调递减；
（3）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.利用上述结论，求函数图象的对称中心.（注：）
（1）解：由，得，
联立消去得：，即，
所以函数解析式是.
（2）证明：任取且，
则
由，得，，，，
因此，所以函数在区间上单调递减.
（3）设函数图象的对称中心为，则函数为奇函数，
于是，
，而，
因此，对任意恒成立，
则，且，解得，，
所以函数图象的对称中心为.
19. 已知函数的定义域为，且对定义域内任意x，y都有.
（1）设，证明：函数为偶函数；
（2）若满足：当时，.
（i）求不等式的解集；
（ii）若，使得对，都有，求实数的取值范围.
（1）证明：由，
得，
令，得，所以.
令，得，所以
令，得，又的定义域关于原点对称，
所以是上的偶函数.
（2）解：由（1）知
且，
，
因为，当时，，所以，
又，所以，.
所以在上单调递减.
（i）因为，
所以，即
因为为偶函数，在上单调递减，且，所以，
又，解得或.
所以，不等式的解集为.
（ii）由，得，
即，对恒成立，所以.
因为在上单调递减，，所以.
所以，使得成立，即成立
令，，则或.
即，解得或；由，解得或.
所以或，
即的取值范围是.