辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
故选：A
2. 设，则“是第一象限角”是“”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】充分性：若是第一象限角，则,
,可得，必要性：若，不是第三象限角，，，则是第一象限角，“是第一象限角”是“”的充分必要条件，故选C.
3. 已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】设扇形的弧长为，半径为，所以扇形的面积为，所以，
又扇形的周长为，所以，当且仅当，
即时，取等号.
故选：D.
4. 已知，，则的值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得：

本题选择C选项.
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，又，
则，所以，
，
故选：A．
6. 已知角为的一个内角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为为三角形内角，所以，所以，
又因为，且，
所以，所以，
所以，
由二倍角公式有：
.
故选：A
7. 当时，取得最大值，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为
，
故当取得最大值时，若，则，
则
，
则.
故选：C.
8. 已知中，，，，为所在平面内一点，且满足，则的值为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 在上的投影向量是
【答案】BCD
【解析】如图：
对于A，，故A错误；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，
，故C正确；
对于D，在上的投影向量是，故D正确.
故选：BCD.
10. 计算下列各式值，其结果为1的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】对于A：
，故A正确；
对于B：
，故B错误；
对于C：因为，
所以，
所以
，故C错误；
对于D：
，故D正确.
故选：AD
11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A.
B. 若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上无对称中心
C. ，若恒成立，则的最小值为
D. 已知是函数在上的两个零点，则
【答案】ACD
【解析】对于A：由题意知，，，
则，又，，
即， （），（），
又，，，故A正确；
对于B：把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
得到的函数，令，解得，
所以函数在的对称中心为，故B错误；
对于C：对，恒成立，
即，对恒成立，
令，，则，，，，，
的最小值为，故C正确；
对于D：由，令，解得，
所以的对称轴为，
由，则，
因为是函数在上的两个零点，
所以，，且，
不妨令，则，
因为，则，则，，
所以，，
所以
，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知，，且，，求=________.
【答案】
【解析】因为，，且，，
所以，，
则，
，
因为，，所以，
所以，
故答案为：
13. 先将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，则不等式的解集为___________．
【答案】
【解析】将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到，再将向左平移个单位长度后可得
，
由，即，
则，
解得，所以不等式的解集为.
故答案为：
14. 已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是______.
【答案】
【解析】函数的最小正周期且，得，
由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得，
综上，，
又关于直线对称，所以，解得，，
在的范围内，满足条件的值为和和，
验证可知，这三个值均满足函数在上单调，
因此，符合要求的所有值的和为
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知向量
（1）已知且，求
（2）已知，且，求向量与向量的夹角．
解：（1）由，所以设
又得，解得，
所以或.
（2）由题知，，，，
所以，
所以
所以
所以
所以
因为
所以向量与向量的夹角为.
16. 已知函数．
（1）化简；
（2）若，求的值．
解：（1）
．
（2）因为，所以，
，
，
因为，所以，所以，
故，因此．
17. 如图所示，在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于两点，点．

（1）若点，求的值；
（2）若，求．
解：（1）因为是锐角，且在单位圆上，

所以，
所以．
（2）因为，所以，且，
所以，可得，且，
所以
．
18. 大连某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带和，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设．
（1）试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；
（2）当时，求加温带的长；
（3）为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为400元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用．
解：（1）在中，由，得，，
又中，由勾股定理得，
因此，
当点在点时，此时的值最小，，当点在点时，此时的值最大，，
所以函数关系式为，定义域为.
（2）由（1）知，
因此，
于是.
（3）依题意，要使费用最低，只需最小即可，
由（1）得，
设，则，，
，由，得，
，于是，
令，函数在上为增函数，
则当时，最小，且最小值为，此时，
所以当米时，照明装置费用最低，最低费用为元．
19. 已知函数的最小正周期为．
（1）求的解析式；
（2）设函数,若对任意的,总存在,使得成立,求的取值范围；
（3）若函数在上有3个零点,求的取值范围．
解：（1）因为
，
函数的最小正周期为，又，则，所以，
所以.
（2）因为是增函数，当时，
当时，，则，
所以，
由题意可知，
则解得，即的取值范围为．
（3）令，由（2）知当时，，即，
则函数有两个零点，
且的图象与直线，共有3个公共点，

由的图象可知，当，时，，得，
由，得，，符合题意．
当，时，，解得，
综上，的取值范围为．