辽宁省大连市滨城高中联盟2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份辽宁省大连市滨城高中联盟2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．“且”是“且”的什么条件（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（ ）
A．和B．和
C．和D．和
4．函数在下列哪个区间内一定有零点（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．（1，4）C．D．
6．已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ）

A． B． C． D．
7．已知是定义在上的单调函数，，，，则（ ）
A．B．
C．D．与大小不确定
8．函数的定义域，当时，，函数是奇函数.记关于的方程的根为，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若,下列不等式一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
10．下列说法不正确的有（ ）
A．“的内角都大于”的否定是“的内角都小于”
B．若，则有最小值2.
C．若不等式的解集为，则.
D．函数在定义域上是增函数.
11．设函数，其中，则下列命题是真命题的是（ ）
A．存在实数，使得；
B．存在实数，当时，有成立；
C．对任意实数，当时，都有成立；
D．若，则实数的取值范围为.
三、填空题
12．已知函数，则 .
13．若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 .
14．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫作的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
15．（1）；
（2）已知，求的值；
（3）已知，求的值.
16．（1）若函数满足，求；
（2）若函数满足，求；
（3）已知函数，求
17．根据当地气候、土质等条件，发现某果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥人工费等费用）为元，已知这种水果的市场售价为21元/千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为（单位：元）.
(1)求函数的解析式
(2)当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？
18．已知函数的定义域为R，且对任意的实数x，y，满足．
(1)证明：；
(2)著名数学家柯西在十九世纪上半叶研究过上述函数的性质，且证明了当该函数的图象在R上连续不断时，．若函数的图象在R上连续不断，对任意x，，，．设．
①证明：；
②已知，求在上的最小值．
19．已知是定义在上的奇函数.
(1)求的值，指出的单调性（单调性无需证明）；
(2)函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，求的值和函数的值域；
(3)若函数，是否存在实数，使得对区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
1．D
根据给定条件，利用交集的定义直接求解.
【详解】因为，，所以.
故选：D.
2．A
根据不等式的性质，结合充分、必要条件定义，分析已知命题判断选项．
【详解】且，且，满足充分性；
若“且”，不能推出“且”，如，满足“且”，故不满足必要性，
“且”是“且”的充分不必要条件．
故选：A．
3．C
根据给定条件，利用抽象函数的定义域及值域求解判断即可.
【详解】函数的定义域为，则在函数中，，解得，
因此函数的定义域为；
由函数的值域为，得函数的值域为，即，
则，故函数的值域为.
故选：C
4．B
计算函数值，再根据零点存在性定理可判断.
【详解】因为，，，，，
则由零点存在性定理可知，函数的零点所在的区间为
故选：B.
5．A
根据指数函数单调性及复合函数单调性性质分类讨论计算求解.
【详解】当时，指数函数在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，不符合题意；
当时，指数函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
由复合函数的单调性可知在区间上单调递增，结合题意可知，则，
所以的取值范围为．
故选：A.
6．C
由图可知的两个根其中一个根在，另一个根在，结合，可得的范围，结合指数的单调性即可判断.
【详解】的图象与x轴的交点的横坐标为方程的两个根，
由可得两根为，
又，所以，
由可知，为增函数，
又由，得，所以的图象与y轴的交点在x轴上方，
只有C选项满足题意，
故选：C
7．C
不妨，则，分单调递增和单调递减，结合不等式的性质，即可求解.
【详解】根据题意，不妨，则，
当函数单调递增时，可得，
所以，所以；
当函数单调递减时，，
所以，所以；
综上可得，.
故选：C.
8．D
画出的图象，结合图象以及对称轴来求得正确答案.
【详解】当时，，
因为是奇函数，所以的图象关于对称，且，
由此画出的图象如下图所示，直线过点，
因为，
所以过点和点的直线的斜率为，对应直线方程为，
过点和点的直线的斜率为，对应直线方程为，
由图象以及对称性知，要使，
则在上有3个交点，即需.
故选：D
9．AB
可利用函数单调性及特殊值法进行大小的比较.
【详解】对于A:因为在上单调递增，且,
故,即,故A正确；
对于B:因为在上单调递减，且,
故,即,故B正确；
对于C:若,则,故C错误；
对于D:若,则,故D错误.
故选：AB.
10．ABD
根据命题否定的定义和改写，可判定A错误；根据基本不等式，可判定B错误；根据三个二次式的关系，结合韦达定理，可判定C正确；根据函数单调性的定义，可判定D错误.
【详解】对于A，“的内角都大于”的否定是“的内角不都大于”，所以A错误；
对于B，若，则，
当且仅当，即时，等号成立，
因为，所以等号不成立，所以，所以B错误；
对于C，若不等式的解集为，
可得和是方程的两个实数根，
则满足，解得，所以，所以C正确；
对于D，由函数，可得函数的定义域为，
则函数在上单调递增，在不是单调函数，所以D错误.
故选：ABD
11．ACD
当时，求得，可判定A正确；分类讨论，结合二次函数的性质，求得为单调递增函数，可判定B不正确；转化为，结合为单调递增函数，可判定C正确；令，结合函数的单调性和奇偶性，不等式转化为，可判定D正确.
【详解】对于A，当时，，则，
所以存在，使得，所以A正确；
对于B，当时，，其图象开口向上，且对称轴的方程为，
所以在上单调递增，则；
当时，，其图象开口向下，且对称轴的方程为，
所以在上单调递增，则，
所以函数为单调递增函数，所以不存在，使得，所以B不正确；
对于C，要证，
即证，即证，
由B项知，函数为单调递增函数，所以恒成立，所以C正确；
对于D，令，则，
可得，所以为奇函数，且为上的递增函数，
由，可得，
即，即，
因为为上的递增函数，所以，解得，所以D正确.
故选：ACD.
12．1
本题根据函数的解析式直接代入求函数值即可.
【详解】由，
则.
故答案为：1.
13．
利用主元思想将转化为关于的函数.
【详解】令.
是关于的增函数.
要使对成立，只需保证最大值.
,
解得.
故答案为： .
14．
依题干中“稳定区间”的含义可知函数与函数在区间上同增或者同减，分类讨论转化为不等式组在上恒成立，计算得到结果；
【详解】根据题意可知，函数与函数在区间上同增或者同减，
①若两函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，
函数在定义域上单调递减，若在某区间上单调递增，只能绝对值里面小于等于0，
即，可得解得；
②若两函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立，
即此时不等式组无解
综上所述，．
故答案为：.
15．（1）219；（2）；（3）
（1）转化成指数幂形式，根据指数幂的运算法则计算即可；
（2）利用指数幂的运算法则计算即可；
（3）利用指数幂的运算法则计算即可.
【详解】（1）
首先，计算 ：
，
，
其次，计算：
，所以，
所以，
故.
（2），
，
故.
（3），
因此：.
16．（1）；（2）；（3）.
（1）换元法，令，得，代入化简；
（2）用替换得到方程组，即可求；
（3）讨论，对应的范围，得到对应表达式，代入即可得.
【详解】（1）令，则，则，所以；
（2）由题设，用替换，得，
所以，则，可得；
（3）当时，，此时，则，
当时，，此时，则，
当时，，，则，
综上所述，.
17．(1)
(2)5千克，最大利润是325元.
（1）利用销售额减去成本来求得的解析式.
（2）利用二次函数的性质、基本不等式来求得正确答案.
【详解】（1）根据题意知，
整理得；
（2）当时，，
由一元二次函数图象可知在时取得最大值，
当时，
，
当且仅当，即时等号成立，
∴，∴的最大值是，
∴当单株施肥量为5千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是325元.
18．(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②当时，取最小值，当时，取最小值．
【详解】（1）令，得．
（2）①因为，且，
所以
．
②因为的图象在R上连续不断，所以的图象在R上连续不断，
又，结合题目条件可知，．
又，所以．
从而．
的对称轴为．
当时，在上单调递减，
所以，当时，；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，；
综上，当时，取最小值，当时，取最小值．
19．(1)；在上单调递增
(2)；
(3)存在；
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，解得，
当时，，函数的定义域为关于原点对称，
且，满足是奇函数，
又由，
任取且，
则，
因为，可得且，
所以，即，所以函数是上的单调递增函数.
（2）由（1）得，
可得，
因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，
可得，所以，
因为，所以，所以，所以，
所以函数的值域为.
（3）由在区间[1，2]上任意三个实数，
都存在以为边长的三角形，
等价于且恒成立，
①当时，即，符合.
②当时，在上单调递减，
所以，
由且，即且，
解得，又因为，所以.
③当时，在上单调递增，
所以，
由且，即且，
解得，又因为，所以.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
B
A
C
C
D
AB
ABD
题号
11









答案
ACD