辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1. 命题，的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】特称量词命题的否定是全称量词命题，并且否定结论，
所以命题，的否定是，.
故选：C.
2. “”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，；而当时，或，
所以“”是“”成立的充分不必要条件.
故选：A
3. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】依题意，，，又，
所以的大小关系是.
故选：B
4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数的定义域为，
则，则且，
则函数的定义域为.
故选：D.
5. 若正实数a， b满足则有（ ）
A. 最小值，且最小值为 B. 最小值，且最小值为
C. 最大值，且最大值为 D. 最大值，且最大值为
【答案】B
【解析】已知，，且满足，
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：B
6. 根据表格中的数据，可以判断方程的一个根所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，由表格中的数据得，
，，
，，，
所以，
又的图象是连续不断的，
所以在内有零点．
故选：.
7. 已知定义在R上函数的图象是连续不断地，且满足以下条件：
①，f-x=fx；②，当时，都有；③.则下列选项不成立的是（ ）
A.
B. 若，则的取值范围是
C. 若，则
D. 函数有最小值
【答案】B
【解析】A选项，由条件①得是偶函数，条件②得在0,+∞上单调递增，
所以，故A正确；
B选项，若，则，得，故B错误；
C选项，是偶函数，且，故f1=0，
在0,+∞上单调递增，故在上单调递减，
故当时，，当x∈-1,1时，，
若，则或，
所以或，故C正确；
D选项，因为定义在R上函数的图象是连续不断地，
在0,+∞上单调递增，故在上单调递减，
所以，故D正确.
故选：B
8. 已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】易知对称轴为，故，易知，，
可得，而，故在上单调递增，
且， ，故，
故是的子集，
可得，解得，故B正确.
故选：B
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列结论中正确的有（ ）
A. 若且，则
B. 若，则
C. 若，则
D.
【答案】BCD
【解析】对A：当时，结论不成立，故A错误；
对于B：因为，所以，所以故B正确；
对于C：，
因为，所以，所以，即，
故C正确；
对于D：等价于，成立，故D正确；
故选：BCD．
10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的结论中正确的是（ ）
A. B. 是奇函数
C. 在上是单调递增函数D. 的值域是
【答案】ACD
【解析】表示不超过的最大整数，则有，其中时，
，A选项正确；
，，
，不是奇函数，B选项错误；
时，，，则在上是单调递增函数，C选项正确；
，，，即的值域是，D选项正确.
故选：ACD.
11. 下列命题中正确的是（ ）
A. 已知函数，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是
B. 函数在上的值域为
C. 若关于的方程的两根分别为，，且，则有
D. 函数，则不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】对于A，函数在区间上是增函数，
由函数是R 上的减函数，有函数在上单调递减，
时符合题意，A选项错误；
对于B，，
时，，有，得，
所以函数在上的值域为，B选项正确；
对于C，若关于的方程的两根分别为，，且，
则有，，所以，C选项正确；
对于D，设，，
，
，即，
设，
，
由于，故，，故，
则，故为奇函数，且在上单调递增，
则，
即，
故，解得，D选项正确.
故选：BCD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若是定义在上的奇函数，当时，，则___________.
【答案】
【解析】是定义在R上的奇函数，当时，，
则.
故答案为：
13. 若函数（且）经过的定点是P，则P点的坐标是________．
【答案】
【解析】的图象过0,1点，
图象由的图象右移3个单位、上移7个单位得到，
故过定点．
故答案为：．
14. 定义若函数，则的最大值为______；若在区间上的值域为，则的最大值为______．
【答案】①. ②.
【解析】当时，解得或，
所以，
作出的图象如下图所示：
由图象可知：当时，有最大值，所以；
当时，解得或或；
当时，或，
由图象可知：当，时，值域为，此时的最大值为；
当时，的值域为，此时，
由上可知，的最大值为，
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集集合，，．
（1）求；
（2）若，求a的取值范围．
解：（1）集合，，
；
（2），，
①当时，，，
②当时，则，解得，
综上所述，a的取值范围为；
16. 计算下列各式的值.
（1）
（2）已知，求的值.
解：（1）
.
（2）因为，
所以，
，
所以.
17. 若函数的定义域是，且对任意的，都有成立，且当时，.
（1）求，判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）解不等式.
解：（1）函数对任意的，都有，
令，得，，
是奇函数，证明如下：
用代替，得，则f-x=-fx，
所以是奇函数.
（2）fx在上单调递增，
证明：任取，则，
由于，所以，
所以，即，
所以在上单调递增.
（3）由可得，
由于在上单调递增，
所以，解得或，
所以不等式的解集是.
18. 已知是定义在上的奇函数.
（1）求实数，的值.
（2）试判断并证明函数的单调性；
（3）已知，若对任意且，不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）因为是奇函数，则，
整理得：，
要使上式对任意的成立，
则，解得或，
当时，的定义域为，不合题意，
当时，的定义域为，符合题意，
所以
（2）函数是上的增函数，现证明如下：
任意的，
有，
所以，故函数是上的增函数；
（3），
因为恒成立，
等价于恒成立，令，，
则，
则，可得在时恒成立，
由基本不等式，当且仅当时，等号成立，故.
19. 已知二次函数满足，且该函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为4，设gx=fx-ax.
（1）求的解析式；
（2）求函数在区间0,2上的最小值；
（3）设函数，若对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围.
解：（1）因为，则的图象关于直线对称且在x轴上截得的线段长为4，的图象与x轴的交点分别为，，所以设.
该函数的图象经过点，解得，所以.
（2）因为，其对称轴方程为，
当，即时，.
当，即时，
当，即时，
综上所述，当时，，
当时，，
当时，.
（3）若对于任意，总存在，使得成立，
等价于
函数，
因为，所以，所以当时，取得最小值
当时，，所以，不成立
当时，，所以，
解得或，所以
当时，，所以，解得，所以
综上所述，a的取值范围是.
x
-1
0
1
2
3
0.37
1
2.72
7.39
20.09
1
2
3
4
5