2025年中考数学专项复习讲义专题04 一次函数与反比例函数（解析版）

这是一份2025年中考数学专项复习讲义专题04 一次函数与反比例函数（解析版），共101页。学案主要包含了问题背景，素材呈现，问题解决等内容，欢迎下载使用。
题型01 平面直角坐标系
题型02 函数基础知识
题型03 一次函数的图象与性质
题型04 一次函数的实际应用
题型05 反比例函数的图象与性质
题型06 反比例函数中的面积问题
题型07 反比例函数与一次函数的综合——解不等式
题型08 反比例函数与一次函数的综合——求面积
题型09 反比例函数与一次函数的综合——求点的坐标
题型01
平面直角坐标系
1．（2025·山东临沂·一模）若点在第四象限，那么a的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组，然后求解即可．
【详解】解：点在第四象限，
，
解不等式①得，，
解不等式②鹅，，
所以，的取值范围是．
故选：A．
2．（2025·广西防城港·一模）如图，将一片枫叶标本放置在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了坐标系中点的坐标，根据点A和点B的坐标可以确定每个小正方形的边长为1，再结合点C的位置即可得到答案．
【详解】解：由题意得，点C的坐标为，
故选：A．
3．（2025·河北保定·一模）如图，把正六边形放置在平面直角坐标系上使点O与原点重合，点A在x轴负半轴．点P，Q分别是，上的点，满足．已知，，那么点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作轴于点，连接，过点作于点，则，，由，可得，，，由正六边形的性质可得，，，进而可得，，，设点的坐标为，则，，即，设点的坐标为，则，，由此即可求出点的坐标．
【详解】解：如图，过点作轴于点，连接，过点作于点，
，，
，，
，，
，
六边形是正六边形，
，，，
，
，
，
设点的坐标为，则：
，
，
，
设点的坐标为，则：
，
，
，
即：点的坐标为，
故选：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形综合，正多边形的性质（正多边形的内角问题），解直角三角形的相关计算，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，熟练掌握正多边形的性质及解直角三角形的相关计算是解题的关键．
4．（2025·河北·一模）长征是中国共产党和中国革命事业从挫折走向胜利的伟大转折点．如图，这是红一方面军的长征路线图，若表示吴起镇会师的点的坐标为，表示湘江战役的点的坐标为，则表示会宁会师的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
由已知点建立平面直角坐标系，得出原点位置，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
表示会宁会师的点的坐标为；
故选：C
5．（2025·湖南娄底·一模）在2025年春晚上，舞蹈节目《秧》由16台人形机器人与16名新疆艺术学院的舞蹈演员共同表演，大放异彩．如图所示，机器人小数在平面直角坐标系中从A点开始，按顺序沿循环舞动跳8字舞，它舞动的路径由两个全等菱形拼接而成，已知菱形的边长为1米，，点B的坐标为．若机器人小数从点出发，舞动了100米时所在位置的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，点坐标规律探究，数形结合是解答本题的关键．作于点H，求出舞动了100米时所在位置是点E．求出米，米，进而可求出点E的坐标．
【详解】解：作于点H，
∵，
∴舞动了100米时所在位置是点E．
∵菱形的边长为1米，，
∴米， ，
∴米，米，
∴点E的横坐标为，纵坐标为，
∴点E的坐标为，
∴舞动了100米时所在位置的坐标是．
故答案为：．
6．（2025·山东日照·一模）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数(当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移)，每次平移1个单位长度．
若“和点”按上述规则连续平移16次后，到达点，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了点的坐标规律探索，先分别计算余0，1，2的平移，得出规律点先向右平移1个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，由此计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键．
【详解】解：根据已知：点横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位……，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，先向右平移个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移；
若“和点”按上述规则连续平移次后，到达点，则按照“和点”反向运动次即可，可以分为两种情况：
①先向右个单位得到，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，应该是向右平移个单位得到，故矛盾，不成立；
②先向下个单位得到，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，则应该向上平移个 单位得到，故符合题意，
点先向下平移，再向右平移，当平移到第次时，共计向下平移了次，向右平移了次，此时坐标为，即，
最后一次若向右平移则为，若向左平移则为，
故答案为：或．
7．（2025·山东临沂·一模）如图，在直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转得到，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，旋转的性质，特殊角的三角函数的计算，掌握旋转的性质，特殊角的三角函数的计算是关键．
根据特殊角的三角函数的计算得到，，，将线段绕点逆时针旋转得到，则，，如图所示，过点作于点，则，得到，，，由此即可求解．
【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵将线段绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
如图所示，过点作于点，则，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为： ．
8．（2025·河南郑州·一模）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和点的坐标特征，能得出关于的不等式组是解此题的关键．根据点在第二象限得出不等式组，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：若点P在第二象限，则，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为，即a的取值范围是，
故答案为：．
9．（2025·山东泰安·一模）在平面直角坐标系中，有一系列的点其中每一个点的横坐标是它前一个点的纵坐标的相反数与1的和，纵坐标是它前一个点的横坐标与2的和，即若点，则．若点的坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据题意，计算出各点的坐标，从中得出坐标4个为一个循环，由此得出结果．
本题考查的是点的坐标变化规律，熟练找出其中的规律是解题的关键．
【详解】解：∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
．．．．．．．
∴上述坐标4个为一个循环，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
10．（2025·辽宁葫芦岛·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若，两点的坐标分别为，，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，C两点的坐标建立好坐标系，即可确定点B的坐标．
【详解】解：∵A，C两点的坐标分别为，，
∴建立坐标系如图所示：
∴点B的坐标为．
故答案为：．
题型02
函数基础知识
1．（2025·山东·一模）如图1，在菱形中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动，运动到点D停止．设点P的运动路程为的面积为与x的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A．4B．C．6D．
【答案】A
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．根据图1和图2判断为等边三角形，它的面积为解答即可．
【详解】解：连接，
在菱形中，，
∴为等边三角形，
设，由图2可知，的面积为，
∴的面积
解得：(负值已舍)
故选：A
2．（2025·山西临汾·一模）某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按元收费，以后每天按元收费（不足一天按一天计算）．则租金（元）和租赁天数（）之间的关系式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了列函数关系式，分别计算出前2天的费用和后面天的费用，二者求和即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
故选：D．
3．（2025·河南郑州·二模）小明某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为（m），所经过的时间为（min），下列选项中的图象，能近似刻画与之间的关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数图象表示变量间的关系，注意正确理解每段时间与路程的变化情况是解题关键．分别对每段时间的路程与时间的变化情况进行分析，画出路程与时间图象，再与选项对比判断即可．
【详解】解：对各段时间与路程的关系进行分析如下：
从家到凉亭，用时10分钟，路程400米，s从0增加到400米，t从0到5分；
在凉亭休息5分钟，t从5分到10分，s保持400米不变；
从凉亭到公园，用时间5分钟，路程400米，t从10分到15分，s从400米增加到800米；
则能近似刻画与之间的关系的是：
故选：A．
4．（2025·山东淄博·一模）如图，是一个高为的容器，现向该容器匀速注水，下列图象中能大致反映容器中水的深度与注水量关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，掌握知识点的应用是解题的关键．根据容器形状，匀速注水，逐项进行判断即可．
【详解】解：根据题意可知，开始容器由大逐渐变小，即开口越来越小，水的深度随着注水量的增加而逐渐增大，但速度逐渐增大；接着容器由小逐渐变大，即开口越来越大，水的深度随着注水量的增加而逐渐增大，但速度逐渐减小，因此选项符合题意．
故选：．
5．（2025·山东泰安·一模）一组数据5，8，12，，15的平均数为，则关于的函数关系式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平均数，函数关系式，
根据平均数的定义得出关系式，再整理得出答案.
【详解】解：由题意，得，
则，
即.
故选：D.
6．（2025·云南昆明·一模）若函数在实数范围内有意义，则实数x应满足的条件是（ ）
A．B．且C．D．且
【答案】D
【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可．
本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键．
【详解】解：由题可知，
且，
解得且
故选：D．
7．（2025·河南郑州·一模）硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．当温度为时，硫酸钠在水中不溶解
B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大
C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同
D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在
【答案】C
【分析】本题主要考查了函数的图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
【详解】解：．从图中可以看到，当温度为时，溶解度曲线对应的y值不为0，说明硫酸钠在 时在水中是溶解的，故该选项不符合题意；
．观察溶解度曲线，在时，硫酸钠的溶解度随着温度升高而增大，在时，溶解度随着温度升高而减小，并非一直增大，故该选项不符合题意；
．在时，溶解度曲线不是一条直线，这表明温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同，故该选项符合题意；
．从图中可知，当温度接近时，硫酸钠的溶解度就达到了，并且在 之间溶解度都不低于，而不是只控制在，故该选项不符合题意；
故选：C．
8．（2025·上海闵行·一模）圆柱的体积的计算公式是，其中是圆柱底面的半径，是圆柱的高，当是常量时，是的 函数．
【答案】正比例
【分析】本题考查函数的概念，常量与变量．由正比例函数的定义，即可得到答案．
【详解】解：，其中r是圆柱底面的半径，h是圆柱的高，当r是常量时，V是h的正比例函数．
故答案为：正比例．
9．（2025·陕西榆林·一模）如图是一个长为x的矩形纸片，在其左侧剪掉一个最大的正方形．若剩余矩形的周长为y，则y与x之间的关系为 ．
【答案】
【分析】本题考查了函数关系式、矩形与正方形的性质，正确求出剩余矩形的长与宽是解题关键．设这个矩形纸片的宽为，则其左侧剪掉的最大正方形的边长为，从而可得剩余矩形的长与宽，再利用矩形的周长公式求解即可得．
【详解】解：设这个矩形纸片的宽为，则其左侧剪掉的最大正方形的边长为，
由题意得：，
整理得：．
故答案为：．
10．（2025·天津河西·一模）中国高铁运营速度处于全球领先水平．设京沪高铁列车的平均时速为，则其行驶路程（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了函数解析式的建立，正确理解题意是解题的关键．
根据路程等于速度乘以时间即可建立函数解析式．
【详解】解：由题意得函数解析式为，
故答案为：．
11．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在函数中，自变量的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了函数自变量的范围，根据分母不等于0列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
12．（2025·山东临沂·一模）一条笔直的公路上有，，三地，已知，两地相距，在之间，早上时甲车匀速从地出发，时到达地，在休整一小时后继续前往地；乙车早上时从地匀速出发前往地，中途汽车发生故障，维修后保持原速继续前往地，下图、图分别代表甲、乙两车距地的距离与时间的图象，图为两车之间的距离与时间的图象，下列说法中正确的是 （请填写序号）．
，；；乙车修车正好用去小时；甲车比乙车先到达目的地．
【答案】/
【分析】本题考查了函数图象，根据图可知，地到地共，甲车行驶的时间是求出甲车的速度为，根据图可知乙车与甲车同时停止行驶，所以可得乙车的速度为，从而可知错误；根据两车相遇时两车行驶的路程和为，可列方程：，解方程求出，故正确；根据图可知乙车修车正好正好用去小时，故正确；从图可知：两车相遇后，两车之间的距离匀速增加，同时到达目的地，所以错误．
【详解】解：由图可知，地到地共，
甲车从地到地共用了，中途休息了，
甲车共行驶了，
甲车的速度为，
甲车早上时从地出发，乙车早上时从地匀速出发前往地，
由图可知，是甲车行驶时，两车之间的距离与时间的图象，
是甲、乙两车共同行驶时，两车之间的距离与时间的图象，
段两车之间的距离没有变化，说明这段时间两车都没有行驶，
即此段时间甲在休息，乙在修车，
甲从时到时休息了，乙修车用了，
乙从时出发，开始修车，
乙在修车前行驶了，
乙车的行驶速度是，
故错误；
设两车从出发到相遇用了，
则甲行驶的路程为，乙行驶的路程为，
根据题意可得：，
解得：，
故正确；
由可知乙车修车正好用去小时，
故正确；
由图可知：两车相遇后，两车之间的距离匀速增加，同时到达目的地，
故错误，
正确的是．
故答案为：．
13．（2025·吉林松原·一模）已知、两地相距，甲、乙两人沿同一条路线从地到地，甲先出发，匀速步行，甲出发1小时后乙再出发，乙以的速度匀速步行1小时后为提高速度，改为跑步并继续保持匀速前进，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开地的距离与甲出发的时间的关系如图所示．
(1)甲的运动速度是_____；乙在至之间的速度是_____；
(2)求乙提速后离开地的距离与时间的函数关系式；
(3)请直接写出乙出发后，当甲、乙相距时的值．
【答案】(1)4；9；
(2)；
(3)、、．
【分析】本题考查了一次函数的应用——行程问题，解决问题的关键是熟练掌握路程与速度和时间的关系，函数图象表示的路程和时间的数据信息．
（1）根据函数图象表示的甲5小时匀速行驶20千米，得到其速度为4；根据乙以的速度匀速行驶1小时，得到其行驶的路程为2千米，根据乙从第2小时到第4小时行驶的路程从2千米到20千米，得到其速度为9；
（2）乙提速后离开地的距离与时间的函数关系式为，由（1）可得：函数过，，再进一步求解即可；
（3）根据甲乙相距，，当时，求出，推出t不存在；当时， ，推出或；当时，，推出．
【详解】（1）解：甲的运动速度为：，
乙以的速度匀速行驶1小时的路程为：，
乙在至之间的速度为：；
（2）解：乙提速后离开地的距离与时间的函数关系式为，
由（1）可得：函数过，，
∴，
解得：，
∴乙提速后离开地的距离与时间的函数关系式为：；
（3）解：由（1）知，，
当时，设，
把，代入，
得，，解得，，
∴，
∴，，不合题意，t不存在；
当时，由（2）知，，
若，则，
若，则；
当时，，
∴，．
故甲乙相距时甲行驶的时间为： 、、．
题型03
一次函数的图象与性质
1．（2025·陕西榆林·一模）若点在一次函数的图象上，则点P到x轴的距离等于（ ）
A．4B．1C．6D．
【答案】A
【分析】本题考查点到坐标轴的距离，已知自变量值求函数值等．根据题意先得出，后即可得到本题答案．
【详解】解：∵点在一次函数的图象上，
∴，
∴，
∴点P到x轴的距离等于4，
故选：A．
2．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知点与点B关于x轴对称，将点A向左平移3个单位长度得到点C．若B，C两点都在函数的图象上，则点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，根据点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点，可得，代入可解得，故点的坐标为．
【详解】解：∵点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点，
∴，
∵两点都在函数的图象上，
∴，
解得，
∴点的坐标为．
故选：C．
3．（2025·安徽滁州·一模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象、一次函数、反比例函数的图象，熟练掌握函数图象的性质是解题的关键．
根据点B、C，可得该函数图象关于y轴对称，再由点A，B，可得在y轴的右侧y随x的增大而减小，即可求解；
【详解】解：点，，在同一个函数图象上，点与点关于轴对称；
故函数图象关于轴对称，故A、C选项不符合题意，
，，在同一个函数图象上，，，
当时，随的增大而减小，故B选项符合题意，D选项不符合题意．
故选：B．
4．（2025·陕西渭南·一模）在正比例函数（m为常熟，且）中，随的增大而增大，则函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正比例函数和一次函数的图象和性质．先根据正比例函数的增减性，可得m的取值范围，再求出于x轴的交点坐标和与y轴的交点坐标，即可进行解答．
【详解】解：∵正比例函数的函数值随的增大而增大，
∴，
∴，
∴函数的图象大致是
，
故选：D．
5．（2025·山东青岛·一模）若实数，满足，则函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与y轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交．
根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求出，，得出函数的解析式为，即可得出函数图象经过第一、二、三象限，求解即可．
【详解】解：实数，满足，
即，
，，
，，
函数的解析式为，
此函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
6．（2025·贵州遵义·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，根据一次函数解析式确定直线经过的象限是解题的关键．
利用一次函数解析式中的和的正负，即可判断直线经过的象限．
【详解】解：∵一次函数的，
∴随的增大而减小，
又∵直线与轴的交点位于轴的负半轴，
∴直线经过第二、第三和第四象限，不经过第一象限，
故选：A．
7．（2025·四川德阳·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象分布．根据“一次函数（）：当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限”即可判断．
【详解】解：对于直线，
∵，
∴直线经过第一、三象限，可以排除选项BC；
当时，
∴直线经过第一、三象限，直线与轴的交点在原点上方，选项A不符合题意；
当时，
∴直线经过第二、四象限，直线与轴的交点在原点下方，选项D不符合题意；
故选：D．
8．（2025·陕西咸阳·一模）已知正比例函数中，随的增大而减小，则一次函数图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数的性质、判断一次函数所经过的象限，由正比例函数的性质得出，再结合一次函数解析式得出一次函数经过二、三、四象限，即可得解．
【详解】解：∵正比例函数中，随的增大而减小，
∴，
∵一次函数中，，，
∴一次函数经过二、三、四象限，不经过第一象限，
故选：A．
9．（2025·湖南长沙·一模）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“的图象在一、二、四象限”是解题的关键．
根据一次函数图象和性质进行判断即可．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴．
故选：D．
10．（2025·河南郑州·一模）已知一次函数的图像如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数图象．先利用一次函数的性质得，，再计算判别式的值得到，于是可判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：可知，
，
故选：C．
11．（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点一定位于（ ）
A．一次函数图象的上方B．一次函数图象的下方
C．一次函数图象的上方D．一次函数图象的下方
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象，根据点在二次函数的图象上，画出函数图象判断即可．
【详解】解：点在二次函数的图象上，画出函数图象如下：
A、二次函数的图象与一次函数的图象有交点，所以点不一定位于一次函数图象的上方，故A选项不符合题意；
B、二次函数的图象与一次函数的图象有交点，所以点不一定位于一次函数图象的下方，故B选项不符合题意；
C、二次函数的图象在一次函数的上方，所以点一定位于一次函数图象的上方，故C选项符合题意；
D、二次函数的图象在一次函数的上方，所以点一定位于一次函数图象的上方，故D选项不符合题意；
故选：C．
12．（2025·陕西咸阳·一模）在平面直角坐标系中，将一次函数（为常数）的图象向上平移2个单位长度后恰好经过原点，若点在一次函数的图象上，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的平移，掌握一次函数的图象和性质是解题关键．根据一次函数的平移规律，得到平移后的解析式为，再根据平移后的图象过原点，求出，再把点代入一次函数求解即可．
【详解】解：将一次函数为常数的图象向上平移2个单位长度后得到，且经过原点，
，
，
，
点在一次函数的图象上，
，
故选：C．
13．（2025·安徽铜陵·一模）当时，函数值随的增大而增大的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数的图象与性质，解决本题的关键是根据函数的图象与性质进行判断．
【详解】解：A选项：函数是反比例函数，且，
函数的图象在第二、四象限，在每个象限内函数值随的增大而增大，故A选项符合题意；
B选项：函数是一次函数，且，
函数的图象经过第二、四象限，函数值随的增大而减小，故B选项不符合题意；
C选项：函数是二次函数，且对称轴是轴，二次项系数为，
在轴左侧，函数值随的增大而减小；在轴右侧，函数值随的增大而增大，故C选项不符合题意；
D选项：函数是一次函数，且，
函数值随的增大而减小，故D选项不符合题意．
故选：A ．
14．（2025·浙江杭州·一模）已知一次函数，当时，对应的y值为，则b的值为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【分析】本题主要考查待定系数求函数解析式及一次函数的性质，根据一次函数的单调性分类讨论，求得函数解析式是解题的关键．
一次函数可能是增函数也可能是减函数，应分两种情况进行讨论，根据待定系数法即可求得解析式．
【详解】解：当时，由一次函数的性质知，y随x的增大而增大，
所以得，
解得，即；
当时，y随x的增大而减小，
所以得，
解得，即．
故答案为：C．
15．（2025·陕西咸阳·一模）一次函数的图象上有两点、，则和的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质判断出函数的增减性是解答本题的关键．
根据一次函数的性质判断出增减性即可解答．
【详解】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴，
故选：D．
16．（2025·山西吕梁·一模）已知直线过点，，则和的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的性质，依据题意，先根据直线判断出函数图象的增减性，再根据点的横坐标的大小进行判断即可．解题的关键是掌握一次函数的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
【详解】解：∵直线，，
∴随的增大而增大，
又∵，
∴．
故选：A．
17．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知点，在一次函数图象上，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，牢记“当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，再结合，即可得出．
【详解】解：，
随x的增大而增大，
又点，都在一次函数的图象上，且，
．
故选：D．
18．（2025·辽宁大连·一模）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于的方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．
观察图象找到当时的值即为本题的答案．
【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点，
即当时，
所以关于的方程的解为，
故选：A．
19．（2025·甘肃兰州·一模）如图，已知直线经过点，则关于x的方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查根据图像法解一元一次方程．根据题意利用图像即可得到本题答案．
【详解】解：∵直线经过点，
∴关于x的方程的解为，
故选：B．
20．（2025·山东日照·一模）已知一次函数与（为常数，）的图象如图所示，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式；观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象下方，所以不等式的解集为，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断．
【详解】解：根据函数图象可知，当时，，
即不等式的解集为，
故选：C．
21．（2025·山东·一模）如图，直线与相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，利用图象法求出不等式的解集即可，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
∴，
由图象可知：的解集为：；
故选B．
22．（2025·陕西汉中·一模）在平面直角坐标系中，直线关于y轴对称的直线为，则直线、直线与x轴围成的三角形面积为（ ）
A．4B．6C．8D．16
【答案】C
【分析】本题主要考查求直线与坐标轴围成的三角形的面积，先求出直线与轴、轴的交点坐标，再求出关于轴对称的交点坐标，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，解得，
当时，，
∴直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，
∴直线与轴的交点关于y轴对称的坐标为，直线过点，
∴直线、直线与x轴围成的三角形面积为，
故选：C．
23．（2025·辽宁·一模）如图，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，若，，则关于的方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，掌握知识点的应用是解题的关键．
根据一次函数与轴交点坐标可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，即一次函数的图象轴交点坐标为，
∴关于的方程的解为，
故答案为：．
24．（2025·广西南宁·一模）方程组的解为，则函数与函数的图象交点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系．熟练掌握两个一次函数的图象交点坐标为两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解，是解题的关键．
依据题意，两个函数图象的交点横坐标为2，则可得纵坐标为1，又方程组的解就是两个函数图象交点的横坐标与纵坐标的值，进而可以得解．
【详解】解：∵方程组的解为，
∴函数与函数的图象交点坐标为．
故答案为：．
25．（2025·天津河东·一模）如果一次函数的图象一定经过第二、三象限，那么常数的值可以是 （写出一个即可）．
【答案】2（答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
根据一次函数的图象与系数的关系可知，进一步给取值即可．
【详解】解：∵一次函数（为常数）的图象经过第二、三象限，且恒过点，
∴一次函数（为常数）的图象经过第一、二、三象限，
，即，
∴的值可以为2，
故答案为：2（答案不唯一）．
26．（2025·天津河北·一模）已知直线向上平移2个单位后经过点，则m值为 ．
【答案】0
【分析】本题考查图形的平移变换和求函数解析式，根据“上加下减，”的原则求得平移后的直线解析式，然后把点代入即可求解．熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
【详解】解：直线向上平移2个单位后得到的直线为：
把代入，得到：，
解得．
故答案为：0．
27．（2025·河北邢台·一模）如图．在平面直角坐标系中，，，直线经过点、，直线与直线相交于点，直线与直线、分别相交于点点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点的横坐标与纵坐标均为整数，求的值；
(3)当时，点在点的正上方，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、两条直线相交问题．
（1）用待定系数法可得直线的解析式；
（2）设点横坐标为，先求出的取值范围，再根据点的横坐标与纵坐标均为整数，求出满足条件的点坐标，即可求出的值；
（3）由已知可得，解不等式即可．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
已知点，在直线上，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：与轴相交于点，
直线上，当时，则有，解得
设点横坐标为，
，
，
∵点的横坐标与纵坐标均为整数，
当时，，
当时，，
的坐标为或，
当在时，即，
解得，
当在时，即，
解得，
的值为或；
（3）解：把代入求得，
把代入得，，
若对任意的，都有点在点的正上方，
，
解得，
的取值范围是．
28．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值且小于的值，直接写出m和n的取值范围．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移和函数性质，熟练掌握函数图象平移的技巧和结合图像分析函数值大小是解题的关键．
（1）根据“上加下减，左加右减”的平移法则进行求解即可；
（2）从函数位置关系入手，根据的图象和的图象平行即可确定m的值，再结合与y轴交点即可确定n的范围．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到，
∴．
（2）解：∵对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值且小于的值，
∴函数的图象在的图象和的图象之间，
∵的图象和的图象平行，且与y轴交点分别为和0，
∴，．
题型04
一次函数的实际应用
1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（ ）
A．元B．45元C．元D．48元
【答案】C
【分析】分和，求得解析式，根据自变量的范围，选择解析式后代入计算解答即可．
本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，求函数值是解题的关键．
【详解】解：当时，设解析式为，
把代入解析式，得，
解得，
故解析式为
当时，设直线的解析式为，代入，，
得，
解得，
直线的解析式为，
，
故，
故选：C．
2．（2025·河南南阳·一模）2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同．
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格；
(2)学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？
【答案】(1)甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元
(2)购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用，正确建立方程和熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
（1）设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元，根据用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同建立方程，解方程，并进行检验即可得；
（2）设购买乙种树苗棵，总费用为元，则购买甲种树苗棵，先求出，再根据费用与价格、棵数的关系建立与的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元．
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
则，
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．
（2）解：设购买乙种树苗棵，总费用为元，则购买甲种树苗棵，
∵要求购买时，甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，
∴，
∴，
由题意得：，
∵一次函数中的，
∴在内，随的增大而增大，
∴当时，的值最小，
此时，
答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少．
3．（2025·山东济南·一模）【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍，
【素材呈现】
素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高；
素材二：用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的；
【问题解决】
问题一：求出A，B两种书架的单价；
问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案．
【答案】问题一：A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元
问题二：，费用最少时的购买方案为：购买5个A种书架，15个B种书架
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用．
问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是元，利用数量总价单价，结合用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B种书架的单价），再将其代入中，即可求出A种书架的单价；
问题二：由购买总数量及购买A种书架的数量，可得出购买个B种书架，结合购买A种书架数量不少于B种书架数量的，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，利用总价单价数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】解：问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元；
问题二：∵现需购进20个书架用于摆放书籍，且购买a个A种书架，
∴购买个B种书架，
∵购买A种书架数量不少于B种书架数量的，
，
解得：，
∵购买总费用为w元，A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元，
，
即，
，
∴w随a的增大而增大，
∴当时，w取得最小值，此时，
答：费用最少时的购买方案为：购买5个A种书架，15个B种书架．
4．（2025·山东青岛·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举办．某经销商发现，与吉祥物“滨滨”和“妮妮”相关的甲、乙两款纪念品深受大家喜爱．已知购买3个甲款纪念品和2个乙款纪念品共需180元；购买5个甲款纪念品比购买3个乙款纪念品多15元．
(1)甲、乙两款纪念品的售价各是多少？
(2)甲款纪念品的进价为20元，乙款纪念品的进价为38元．若该经销商计划购进甲、乙两款纪念品共60个，且乙款纪念品的购买数量不低于甲款纪念品购买数量的2倍，则应如何进货能使得这批纪念品全部售出后所获利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)甲款纪念品的售价为元，乙款纪念品的售价为元；
(2)购进甲款个，乙款个时，最大利润为元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键．
（1）设甲款纪念品的售价为元，乙款纪念品的售价为元，根据题意列出方程组，求解即可；
（2）设购进甲款个，则乙款为个，利润为元，依题意得，再求出的范围即可求解．
【详解】（1）解：设甲款纪念品的售价为元，乙款纪念品的售价为元，根据题意得：
，
解得：，
答：甲款纪念品的售价为元，乙款纪念品的售价为元；
（2）解：设购进甲款个，则乙款为个，利润为元，依题意得：
，
∵，
∴，
当时，利润最大：元，
答：购进甲款个，乙款个时，最大利润为元．
5．（2025·陕西汉中·一模）最美人间四月天，恰逢春日正盛时．依依和洋洋两人登山以观春日美景，两人距离地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)当时，求洋洋距离地面的高度与登山时间x之间的函数关系式；
(2)当时，x的值为多少时，洋洋距离地面的高度比依依高10米？
【答案】(1)
(2)x的值为7时，洋洋距离地面的高度比依依高10米
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元一次方程的应用．
（1）设与x之间的函数关系式为，利用待定系数法来求解即可；
（2）设依依距离地面的高度与登山时间x之间的函数关系式为，利用待定系数法求出解析式，再令，得，解方程即可．
【详解】（1）解：设与x之间的函数关系式为，
将，代入得，
，
解得，
∴当时，洋洋距离地面的高度与登山时间x之间的函数关系式为；
（2）解：设依依距离地面的高度与登山时间x之间的函数关系式为，
根据题意得，
解得，
∴与x之间的函数关系式为，
令，得，
解得，
∴x的值为7时，洋洋距离地面的高度比依依高10米．
6．（2025·陕西咸阳·一模）领航无人机表演团队进行无人机表演训练，无人机从地面起飞匀速上升，6s时到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，到达距离地面高度时进行联合表演，表演完成后按一定的速度返回地面．无人机所在的位置距离地面高度y（m）与无人机飞行时间x（s）的函数关系如图所示，根据图象信息，解答下列问题：
(1)求所在直线的函数表达式；
(2)这些无人机联合表演完成后，返回时，需再飞行多少秒距地面的高度为12m？
【答案】(1)
(2)返回时，需再飞行7秒距地面的高度为
【分析】本题主要考查函数图象与一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
（1）结合图象，求得，利用待定系数法即可求解；
（2）无人机联合表演完成后，返回的速度为米/秒，再根据时间路程时间即可求解．
【详解】（1）解：由题意得无人机上升过程中的速度为（米/秒），
由图象知，，
∵无人机的速度为8米/秒，
无人机匀速从48米到96米所用时间为（秒），
无人机在48米处表演完，此时时间为（秒），
∴，
设线段所在直线的函数解析式为，
将，代入得，
解得，
∴线段所在直线的函数解析式为；
（2）解：无人机联合表演完成后，返回的速度为（米/秒），
返回时，距地面的高度为需飞行的时间为（秒），
答：返回时，需再飞行7秒距地面的高度为．
7．（2025·陕西渭南·一模）2025年3月1日，陕西省《节约用水条例》正式施行，为水资源可持续利用提供法治保障．为加强居民节水意识，某市采用如下收费标准：每月用水量不超过13立方米时，每立方米4元，超过13立方米时，超出的部分每立方米6元．设某用户月用水量为立方米，水费为元．
(1)求关于的函数表达式；
(2)若该用户某月预算水费为58元，实际水费为50元，则该用户本月实际用水比预算少用了多少立方米？
【答案】(1)
(2)该用户本月实际用水比预算少用了1.5立方米
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）根据题意可分用水量在13立方米以内和超过13立方米，然后分别列出函数关系式即可；
（2）根据（1）中函数关系式可直接进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：当时，则；
当时，则有；
综上所述：关于的函数表达式为；
（2）解：由（1）可知：当时，则，解得：；
当时，则，解得：；
∴（立方米）；
答：该用户本月实际用水比预算少用了1.5立方米．
8．（2025·内蒙古·一模）为保障交通安全，景区、居民区、学校等地的道路上通常横向安装减速带．如图为某种规格的减速带示意图，减速带由若干块形状、大小相同且完整的减速块和两端的封堵块拼接而成，封堵块长度为，减速块长度为．
(1)请你描述减速带长度（单位：）随减速块（单位：块）的变化规律，并用函数解析式表示与的关系；
(2)在宽度为的景区道路上安装一条减速带，减速带两端尽可能接近道路边缘，求最多可以安装多少块减速块？
【答案】(1)
(2)块
【分析】（）根据题意列出一次函数即可；
（）由题意得，据此即可求解；
本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，，
即；
（2）解：由题意得，，
解得，
∵为整数，
∴最多可以安装块减速块．
9．（2025·陕西咸阳·一模）2025年是全面落实全国科技大会精神、加快建设科技强国的关键之年，人工智能的崛起无疑成为了全球科技界的焦点．某公司尝试利用智能技术优化生产流程，提高生产效率．在生产一种产品时，发现生产成本y（单位：元）与产品数量x（单位：件）之间存在一次函数关系，其几组对应值如下表所示．
请你根据表中信息，解答下列问题．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若这种产品每件的售价为20元，则当生产成本为1000元时，所生产产品的总售价为多少元？
【答案】(1)
(2)当生产成本为1000元时，所生产的产品总售价为1400元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
（1）设出函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）把代入（1）所求函数关系式中求出x的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设，
把，代入中得，
解得，
与x之间的函数关系式为．
（2）解：在中，令，得，
解得．
（元），
当生产成本为1000元时，所生产的产品总售价为1400元．
10．（2025·陕西渭南·一模）劳动教育正当时，开心农场助“双减”．为落实五育并举，加强劳动教育，体会耕耘播种的艰辛．某中学在校园里开辟了一片“开心农场”，今年计划种植某种蔬菜，数学兴趣小组制作如下的活动报告．
根据以上报告内容，解决下列问题：
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．这种蔬菜种植总成本（元）与其种植面积可能符合 函数关系；（请选填“一次”“二次”“反比例”）
(2)根据以上判断，求这种蔬菜种植总成本与种植面积之间的函数关系式；
(3)当时，求这种蔬菜的种植总成本．
【答案】(1)一次
(2)
(3)当时，求这种蔬菜的种植总成本为元
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质．
（1）先在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再一次连接，进而可判断这种蔬菜种植总成本（元）与其种植面积可能符合的函数关系式；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）将代入一次函数中求出值，即可求解．
【详解】（1）解：描出表中数据对应的点如下图：
这种蔬菜种植总成本（元）与其种植面积可能符合一次函数关系，
故答案为：一次；
（2）设这种蔬菜种植总成本与种植面积之间的函数关系式为，
将，代入得：
，
解得：，
这种蔬菜种植总成本与种植面积之间的函数关系式为；
（3）当时，，
当时，求这种蔬菜的种植总成本为元．
题型05
反比例函数的图象与性质
1．（2025·江苏宿迁·一模）反比例函数的图象经过点（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，由反比例函数解析式可得，进而逐项判断即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数的解析式为 ，
∴，
∵，，，
∴只有选项符合题意，
故选：．
2．（2025·安徽合肥·一模）已知双曲线经过点 ，下列各点在双曲线上的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，判断点坐标是否在反比例函数上．根据题意先计算出，再得到，再逐一将选项坐标代入判断即可．
【详解】解：∵双曲线经过点 ，
∴，即：，
∵当时，，即A选项中坐标不在双曲线上，
∵当时，，即B选项中坐标不在双曲线上，
∵当时，，即C选项中坐标不在双曲线上，
∵当时，，即D选项中坐标在双曲线上，
故选：D．
3．（2025·广东佛山·一模）反比例函数广泛应用于物理、化学等自然学科中．比如在电学的某一电路中（开关闭合），电压不变时，电流（安培）是电阻（欧姆）的反比例函数．当时，．则与之间的函数图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键在于根据题意求出反比例函数解析式．设，利用待定系数法求出解析式，再结合解析式求解，即可解题．
【详解】解：由题意设，
∵当时，，
∴，
∴与之间的函数关系式为：；
A、当时，，即在图象上方，故该选项不符合题意；
B、当时，，即在图象上方，故该选项符合题意；
C、当时，，即在图象上，故该选项不符合题意；
D、当时，，即在图象下方，故该选项不符合题意；
故选：B．
4．（2025·四川资阳·一模）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”由此可知方程的实数根的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的解，数形结合是解题的关键．画出的图象与的图象，观察交点情况，即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，，那么设和，
对于，那么顶点坐标为，
当时，，，那么该抛物线过，，
当时，，那么该抛物线过，
对于，时，，
时，，
时，
那么该双曲线过，，，如图所示：
从图象可知，和的交点有3个，那么方程的实数根的个数有3个．
故选：D．
5．（2025·江苏常州·一模）在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了函数的图象．由点，点，点在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称；当时，y随x的增大而增大，继而求得答案．
【详解】解：∵点，点，
∴A与B关于y轴对称，
即这个函数图象关于y轴对称，故选项A不符合题意；
∵点，点，
∴当时，y随x的增大而增大，故选项B符合题意，选项C、D不符合题意．
故选：B．
6．（2025·陕西渭南·一模）在同一平面直角坐标系中，若反比例函数（a为常数，）与正比例函数（b为常数，）的图象有公共点，则下列关于a、b之间的关系一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的图象与性质，根据两函数的图象与性质即可作出判断．
【详解】解：当a，b同为正数时，两函数图象分别在第一、三象限，则两函数图象必有公共点；
当a，b同为负数时，两函数图象分别在第二、四象限，则两函数图象也必有公共点；
综上，当时，两函数图象必有公共点；
故选：D．
7．（2025·浙江·一模）已知点在某函数图象上，则这个函数图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数，一次函数，二次函数图象的性质逐一判断即可．
本题考查了反比例函数，一次函数，二次函数图象的性质．
【详解】A、将代入反比例解析式，得，
将点代入，得，整理，，有实数解，故能满足条件．
B、将代入反比例解析式，得，
将点代入，得，整理，，有实数解，故能满足条件．
C、点的横坐标为a，纵坐标为，满足关系式，将图上代入一次函数解析式成立， 故能满足条件．
D、设二次函数解析式为，将点代入解析式得：,代入得，整理，，无解，故不能满足条件．
故选：D．
8．（2025·山西忻州·一模）已知反比例函数的图象经过点，则下列描述正确的是（ ）
A．图象位于第二、四象限B．y的值随x的值增大而增大
C．当时，D．点在该图象上
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，
先求出关系式，再根据反比例函数图象的性质逐个分析即可.
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的关系式为.
所以反比例函数的图象位于第一，三象限；在每一个象限内，函数值y随着x的增大而减小；当时，；当时，，可知点在反比例函数的图象上，
所以正确的是D，
故选：D.
9．（2025·广西来宾·一模）反比例函数的图象一定经过（ ）
A．一二象限B．一三象限C．二三象限D．二四象限
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的性质与图象．对于反比例函数，当，反比例函数图象在一、三象限；当，反比例函数图象在第二、四象限内．
【详解】解：反比例函数中，
则反比例函数的图象一定经过一三象限，
故选：B
10．（2025·安徽宿州·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是比较反比例函数值或自变量的大小，解题关键是熟练掌握比较反比例函数值或自变量的大小方法．
将函数值代入求出对应的自变量，比较大小即可．
【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上，
，，，
，，，
．
故选：．
11．（2025·天津·一模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，且第一象限的函数值为正，第三象限的函数值为负，
∵，
∴．
故选：D．
12．（2025·江苏徐州·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．如下表，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题的关键．直接利用待定系数法求出反比例函数解析式，即可求出m的值．
【详解】解：设，
把代入得：，
解得，，
∴这个反比例函数的解析式为：，
当时，，
故答案为：．
13．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数图象上，若，则 （填写“>”“”“=”“