2024—2025学年河北保定部分高中高一数学下册（7月）期末考试【含答案】

这是一份2024—2025学年河北保定部分高中高一数学下册（7月）期末考试【含答案】，共18页。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 幂函数上单调递增，则过定点（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则a，b，c，d的大小关系为（）
A. B.
C. D.
5. 折扇图1在我国已有三千多年历史，.它常以字画的形式体现我国的传统文化图2为其结构简化图，设扇面A，间的圆弧长为，，间的圆弧长为，当弦长为，圆弧所对的圆心角为，则扇面字画部分的面积为（）
A. B. C. D.
6. 区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（）（参考数据：，）
A. B. C. D.
7. 若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 定义：若集合满足，存在且，且存在且，则称集合为嵌套集合．已知集合且，，若集合为嵌套集合，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列与角的终边相同的角是（ ）
AB. C. D.
10. 下列选项中正确的有（）
A. 若，则
B. 若集合，且，则实数a的取值所组成的集合是．
C. 若不等式的解集为，则不等式的解集为或
D. 已知函数的定义域是，则的定义域是．
11已知，且，则（）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知是定义在R上奇函数，且当时，，则______．
13. 设函数，则使得成立的范围是_________.
14. 已知函数,若方程有四个不同的解,且,则的最小值是______,的最大值是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）计算：；
（2）已知，求的值．
16. （1）已知集合．若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
（2）若命题“”为假命题，求x的取值范围．
17. （1）已知函数，求函数的解析式；
（2）已知关于x的不等式在上有解，则实数m的取值范围．
18. 某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度(单位：毫克/立方米)随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用．
（1）若一次喷洒1个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
（2）若第一次喷洒1个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求的最小值？（精确到）
19. 已知函数，，且函数是偶函数．
（1）求的解析式；
（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；
（3）若函数恰好有三个零点，求的值及该函数的零点数学答案
本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求集合，再求.
【详解】由，解得，则.又∵，
∴.
故选：C.
2. 命题“，”的否定是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题
【详解】命题“，”的否定是：“，” .
故选：D.
3. 幂函数在上单调递增，则过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用已知条件得到求出的值，再利用指数型函数过定点问题求解即可.
【详解】由题意得：
或，
又函数在上单调递增，
则，
则，
当时，
，
则过定点.
故选：D.
4. 已知，则a，b，c，d的大小关系为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，即可判断和选择.
【详解】是上的单调增函数，故，故；
又是上的单调减函数，故，即；
又是上的单调增函数，故，即；
综上所述：.
故选：A.
5. 折扇图1在我国已有三千多年的历史，.它常以字画的形式体现我国的传统文化图2为其结构简化图，设扇面A，间的圆弧长为，，间的圆弧长为，当弦长为，圆弧所对的圆心角为，则扇面字画部分的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用等腰三角形求得扇形半径，然后得出小扇形半径，再由扇形面积公式计算．
【详解】记，如图，在中，因为，，，
所以，即，，
又，即，所以，
所以扇面字画部分的面积为，
故选：A．
6. 区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（）（参考数据：，）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意所求时间为，利用对数的运算进行求解即可.
【详解】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为秒，则有；
两边取常用对数，得；
；
所以.
故选：D.
7. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
8. 定义：若集合满足，存在且，且存在且，则称集合为嵌套集合．已知集合且，，若集合为嵌套集合，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出函数的图象，结合函数图象即可求出集合，分类讨论求出集合，再根据嵌套集合的定义即可得解.
【详解】因为，所有，
由，得，
如图，作出函数的图象，
由图可知，不等式的解集为，
所以且，
由，得，
当，即时，则，不符题意；
当，即时，则，
由，得，
根据嵌套集合得定义可得，解得；
当，即时，则，
由，得，
根据嵌套集合得定义可得，无解，
综上所述，实数的取值范围为.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列与角的终边相同的角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
首先求出与角的终边相同角的表达式，然后判断选项是否与角是终边相同角.
【详解】因为，
所以与角的终边相同角为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，选项A、C、D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查了终边相同角，属于基础题.
10. 下列选项中正确的有（）
A. 若，则
B. 若集合，且，则实数a的取值所组成的集合是．
C. 若不等式的解集为，则不等式的解集为或
D. 已知函数的定义域是，则的定义域是．
【答案】CD
【解析】
【分析】利用不等式的性质判断A，讨论集合为空集或非空集两种情况，求的取值，判断B，根据不等式的解集，结合韦达定理，利用不等式的解法，即可求解，判断C，利用抽象函数定义域的求解方法，即可判断D.
【详解】对于A，当时，若，有，不满足，故A错误；
对于B，当时，方程无解，则；
当时，由方程，解得，可得或，解得或，
综上所述，a的解集为，故B错误；
对于C，由题意，方程的解为，且，
由韦达定理可得，则，解得，
则不等式，
由，则不等式变为，解得或，故C正确；
对于D，由题意，则，所以函数的定义域为，
对于函数，则，解得，所以其定义域为，故D正确；
故选：CD．
11. 已知，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知结合基本不等式对各选项分别进行判断。
【详解】对于A，因为，且，由，得，当且仅当时，等号成立，所以A正确；
对于B，因为，且，所以，当且仅当时，等号成立，所以B错误；
对于C，因为，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以C正确；
对于D，因为，且，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据R上的奇函数特征易得和，代入即得.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，，则．
故答案为：.
13. 设函数，则使得成立的范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数为偶函数以及在上递增，原不等式等价于，即可解出不等式．
【详解】因为函数的定义域为R，，所以函数为偶函数，
当时，，易知在上递增，
在上递减，所以函数在上递增．
原不等式等价于，所以，解得：．
故答案为：．
14. 已知函数,若方程有四个不同的解,且,则的最小值是______,的最大值是______.
【答案】 ①. 1 ②. 4
【解析】
【分析】画出的图像,再数形结合分析参数的的最小值,再根据对称性与函数的解析式判断中的定量关系化简再求最值即可.
【详解】画出的图像有：
因为方程有四个不同的解,故的图像与有四个不同的交点,又由图,, 故的取值范围是,故的最小值是1.
又由图可知,,,故,故.
故.
又当时, .当时, ,故.
又在时为减函数,故当时取最大值.
故答案：(1). 1 (2). 4
【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数以及范围的问题,需要根据题意分析交点间的关系,并结合函数的性质求解.属于难题.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）计算：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数和对数公式化简；
（2）利用立方和差公式和指数公式化简求解.
【详解】（1）原式；
（2）因为，所以，
所以．
16. （1）已知集合．若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
（2）若命题“”为假命题，求x的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）若是的必要不充分条件，转化为B是A的真子集．然后用集合的知识来解题即可；
（2）“”为假命题转化为命题的否定为真命题，即“”为真命题，运用关于的一次函数来解题即可.
【详解】解：（1）由是必要不充分条件，得B是A的真子集，
或
则当时，，解得，
当时，，或，解得或，
综上所述，．
（2）由题意知“”为真命题．
令，
则，即，解得
所以x的取值范围为．
17. （1）已知函数，求函数的解析式；
（2）已知关于x的不等式在上有解，则实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）令，得到，求得，进而得到函数的解析式；
（2）根据题意，转化为在上有解，设，结合基本不等式求得，进而求得实数m的取值范围．
【详解】解：（1）令，则，
所以，
所以．
（2）由关于x的不等式在上有解，
可转化为在上有解，
设，则，
又由，当且仅当时取等号，
则，所以，
所以实数m的取值范围是．
18. 某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度(单位：毫克/立方米)随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用．
（1）若一次喷洒1个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
（2）若第一次喷洒1个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求的最小值？（精确到）
【答案】（1）7；（2）．
【解析】
【分析】（1）依题意，令，分段解不等式即可得解；
（2）设从第一次喷洒起，经天空气中的去污剂浓度为，得，依题意对一切恒成立，只需即可.
【详解】（1）依题意，令则或
解得 或.
一次喷洒1个单位的去污剂，去污时间可达7天.
（2）设从第一次喷洒起，经天空气中的去污剂浓度为，
则，
依题意对一切恒成立 ，
又上单调递减，，
,故最小值为0.2.
【点睛】解答本题的关键是读懂题意，并根据所求正确选择解析式的形式，然后再结合相关知识进行求解．考查阅读理解和应用知识解决实际问题的能力，属于基础题．
19. 已知函数，，且函数是偶函数．
（1）求的解析式；
（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；
（3）若函数恰好有三个零点，求的值及该函数的零点
【答案】（1）；（2）；（3），零点为0，，2．
【解析】
【分析】(1)根据是偶函数求得表达式算出的值,进而求得的解析式即可.
(2)换元令,再求解的最小值,化简利用二次不等式进行范围运算即可.
(3)换元令,结合复合函数的零点问题,分析即可.
【详解】解：（1）∵，∴．
∵是偶函数，∴，∴．
∴，∴．
（2）令，∵，∴，
不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，
∴．
令，，则，，∴．
（3）令，则，
方程可化为，
即，也即．
又∵偶函数恰好有三个零点，所以必有一个零点为0，
∴有一个根为2，∴．∴，解得或．
由，得，由，得，∴零点为0，，2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求解方法以及换元法求复合函数的应用,包括二次函数的范围问题等与函数零点的问题.属于难题.