湖北省名校（圆创）2025届高三下学期三月联合测评数学试卷（解析版）

这是一份湖北省名校（圆创）2025届高三下学期三月联合测评数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，可得，解得或，
所以或，
又，
所以.
故选：A
2. 已知，虚数是关于的方程的根，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】由题，，即，
所以，得，，所以.
故选：B
3. 设命题：，则的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为命题：，
所以的否定：，
故选：B
4. 已知单位向量与的夹角为，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为单位向量与的夹角为，
所以，
所以，
，
，
设与的夹角为，
则，又，所以，
即与的夹角为.
故选：C
5. 已知定义域为的函数满足，且当时，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由可知，函数的图象关于直线对称，
当时，，所以函数在上单调递增，
所以在上单调递减，又，
因为，所以，即.
故选：D.
6. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】抛物线的准线为，
又点在抛物线，所以点到点的距离与到直线的距离相等，
又，点到点的距离与到直线的距离相等，
所以，解得，即，所以，解得.
故选：B
7. 已知函数是增函数，则不可以取的一个值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数，定义域，是增函数，所以恒成立，
当时，即，，
当，由恒成立，
所以，解得，
所以的取值范围是，所以不可以取的一个值是.
故选：B.
8. 已知四面体的顶点均在半径为的同一球面上，且，则该四面体体积的最大值为（ ）
A. B. 3C. 4D.
【答案】C
【解析】因为，四面体外接球的半径为，设球心为，设为的中点，为的中点，
则球心到的中点的距离，
球心到的中点的距离；

所以，
，
所以，又，，
所以，当且仅当与垂直，且均与垂直时取等号．
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知椭圆的右焦点为，过作两条互相垂直的直线和和分别与交于和，则（ ）
A. 的离心率为
B. 存在直线，使得
C. 为定值
D. 若上每个点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，则变为圆
【答案】ABC
【解析】由椭圆，可得，所以，
所以椭圆离心率为；故A正确；
可得椭圆的右焦点为，
当直线的斜率为0时，直线的方程为，此时，，
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，

联立，消去，可得，整理得，
所以，
所以
，
同理可得，
，当时，，且
所以的最小值为，最大值为，故B正确；
当直线的斜率为0时，直线斜率不存在，此时，，
当直线的斜率为0时，直线斜率不存在，同理可得
当直线，的斜率不为0时，
为定值，故C正确；
若上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，则方程为，故不是圆，故D错误.
故选：ABC.
10. 已知表示中的最大者，则下列区间中是函数的单调递增区间的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】当，可得，
所以，所以在上单调递增，
当，可得，
所以，所以在上单调递增，
所以的单调递增区间的是和.
故选：ACD.
11. 已知数列中，，，，则（ ）
A. B. 数列是递减数列
C. D.
【答案】BCD
【解析】因为，
所以，
下证，
当时，，假设当时，
当时，，
所以，
所以，
所以，即，所以数列是递减数列，则，，故A错误，B、C正确；
当时，，
当时，，所以，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知一组数据233，144，89，55，34，21，13，8，5，3，2，1，则它们的上四分位数为________．（用具体数值作答）
【答案】
【解析】把数据由小到大排列为1，2，3，5，8，13，34，21，55，89，144，233.
因为，所以上四分位数为.
故答案为：.
13. 幻方是一种中国传统游戏，其规则是将数字填在正方形格子中，使每行、每列和对角线上的数字的和都相等．如图，已知一个三阶幻方由1至9这9个不同的数组成，则________，________．
【答案】①. 3 ②. 16
【解析】由对角线，可知每行、每列、对角线的和都为，
所以可得：
所以，
解得：
所以，，
故答案为：3；16
14. 已知数列的通项公式为，为其前项和，则________．
【答案】
【解析】令，则，
所以
所以，
所以
.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在三棱锥中，平面，．
（1）在线段上找一点，使平面平面，求的长；
（2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值．
解：（1）取中点，连接，因为，所以，
又平面，平面，，
因为平面，平面，，
所以平面，因为平面，所以平面平面，
此时；
（2）取中点为，连接，在平面内过点作的平行线为轴，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
所以与平面所成角的正弦值．
16. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，上一点与、的距离的差的绝对值等于4．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作斜率为的直线与交于、两点．当为锐角时，求的取值范围．
解：（1）依题意，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）由（1）知、，
依题意直线的斜率，则直线的方程为，
由，消去整理得，
设，，
当，即，由，
则，，
所以
，
因为为锐角，所以，
即
，解得或，
则或或，
又，所以的取值范围为.
17. 已知四边形中，与相似，且．
（1）求；
（2）求的面积．
解：（1）因为与相似，且，
当，时，，即，解得，；
当，时，、、共线，不符合题意；
综上可得，；
（2）在中，由余弦定理，
所以，
在中，由余弦定理，
所以，
所以
，
所以.
18. 在一个抽奖游戏中，有A、B两个不透明的箱子．箱子A中装有3个红球和2个白球，箱子B中装有2个红球和3个白球．游戏规则如下：
第一轮，先从箱子A中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同，则将这2个球放入箱子B中，然后从箱子B中随机摸出1个球，查看颜色后放回箱子里，若摸到红球，则玩家获得10分；若摸到白球，则玩家获得5分；若摸出的2个球颜色不同，则将这2个球放回箱子A中，然后从箱子A中再随机摸出1个球，查看颜色后放回箱子里，若摸到红球，则玩家获得8分，若摸到白球，则玩家获得3分．
（1）求玩家在游戏中获得10分的概率．
（2）设玩家在游戏中获得的分数为，求的分布列和数学期望．
（3）根据第一轮结束后箱子A和B中球的实际情况，再从箱子A和B中随机选择一个箱子（选择箱子A和箱子B的概率均为），然后从选中的箱子中随机摸出2个球．求这2个球都是红球的概率．
解：（1）得10分的情况有：
从中摸出2个红球的概率，此时中有4个红球和3个白球，从中摸出一个红球的概率为，
从中摸出2个白球的概率，此时中有2个红球和5个白球，从中摸出一个红球的概率为，
所以玩家在第一轮游戏中获得10分的概率为；
（2）的所有可能取值为，
当从中摸出1红1白，再从中摸出白球的概率为
，
当从中摸出2红或2白，再从中摸出白球的概率为
，
当从中摸出1红1白，再从中摸出白球的概率为
，
由（1）知，
所以；
（3）由（2）知，共有三种情况：
从中摸出2个红球，或2个白球，或1个红球1个白球，
当从中摸出2个红球时，中有4个红球和3个白球，中有1个红球和2个白球，
当从中摸出2个白球时，中有2个红球和5个白球，中有3个红球，
当从中摸出1个红球1个白球时，中有2个红球和3个白球，中有3个红球和2个白球，
所以取出两个球都是红球的概率为：
19. 定义：对于一个多项式，如果存在正整数，使得可以表示为，其中，则称为“阶整数分解多项式”．
（1）判断多项式是否为整数分解多项式？并说明理由；
（2）若，且互不相同，求的值；
（3）若为5阶整数分解多项式，为的互不相等的整数根，试用的根来表示的整数根．
解：（1）因为，
所以多项式是3整数分解多项式．
（2），
下面对通分后的分子为0进行简单计算说明，
.
（3）由题意，
于是．
因为，所以或．
从而仍为的根．
下面证明对无整数根．
若不然，不妨设有整数根，
则，
求出．
因与1互质，所以与互质．
取，
则与互质．
再取，即有与互质．
对于任意绝对值大于1的整数，有与互质，所以与互质．
即与互质，
所以．
由于，
则，
即，
所以的根为．
8
7-b
b
10-c
5
c
13-a
a
2