湖北省鄂东南联盟2025届高三下学期5月模拟 数学试卷（含解析）

这是一份湖北省鄂东南联盟2025届高三下学期5月模拟 数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数等于（ ）
A．B．C．D．
2．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，则满足条件且最小的的值为（ ）
A．3B．C．15D．2
4．已知点，，向量，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在0.0455以下，至少要测量的次数为（ ）（附：若随机变量服从正态分布，则）
A．200B．400C．800D．1000
6．“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
7．已知边长为2的菱形，对角线交于点，现将沿对角线翻折，得到三棱锥.记线段的中点分别为，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．三棱锥体积的最大值为
C．平面截三棱锥的截面图形可能是正方形
D．当折成的二面角为时，三棱锥的外接球半径为
8．已知定义域为实数集的函数，导数均存在，且记为，满足，对恒成立，则下列结论一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点，则的值可能是（ ）
A．9B．8C．7D．6
10．已知单位圆的内接正边形的边长、周长和面积分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数，下列选项正确的是（ ）
A．0是函数的零点
B．函数仅有一个极小值
C．若，且，则
D．若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
三、填空题
12．1与2025的等比中项为 .
13．已知定义域为的函数是奇函数，且在上严格单调递增，若对的某个内角，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
14．在方格表的16个小方格中选取8个，使得每行每列都恰有两个小方格被选中，则不同的选取方法数为 .（请用数字作答）
四、解答题
15．已知函数.
（1）若函数的图象在点处的切线与直线垂直，求实数的值；
（2）若，求函数的单调区间.
16．2025年4月25日，中国人形机器人生态大会在上海汽车会展中心举办.其中，人形机器人拳王争霸赛让人大开眼界：在4米乘以4米的拳台上，可以看到各家公司在多模态融合算法、运动控制、视觉、感知等技术上的突破.比赛前，某科技公司机器人甲队和乙队进行练习赛，两队均由两台机器人组成.比赛要求每轮两局，每局比赛两队都需派不同机器人参赛，每局比赛获胜得1分，否则得0分（每局比赛都分胜负，没有平局）.设每轮比赛中各局结果互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲队机器人，机器人每局比赛获胜的概率分别为.
（1）设前两轮比赛中甲队得3分为事件，前两轮比赛中机器人得2分为事件，求；
（2）机器人续航时间有限，规定本次比赛最多进行6轮，规定当一队得分比另一队得分多2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了轮，求的分布列及数学期望.
17．如图所示，四棱锥的底面四边形为直角梯形，，平面与平面的交线平面.
（1）求线段的长度；
（2）线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.
18．已知椭圆的焦距为2，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，且坐标原点到直线的距离为，则的大小是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
（3）在（2）的条件下，试求三角形的面积的取值范围.
19．设为正整数，且，定义数列为满足以下条件的正整数数列：①；②对每个.定义数列为满足以下条件的正整数数列：①；②对每个，其中.记满足条件的数列的个数为数列的个数为.用表示首项为1，末项为的所有数列构成的集合，表示集合中的元素个数.
（1）求；
（2）求；
（3）证明：.
参考答案
1．【答案】B
【详解】复数满足，则，故，
故选B.
2．【答案】D
【详解】由，所以.
又，所以.
故选D.
3．【答案】A
【详解】由题设，函数为偶函数，
所以，得，
要最小，取，得，
故选A.
4．【答案】C
【详解】因为，，所以，
又，所以，，
所以向量在方向上的投影向量为.
故选C.
5．【答案】C
【详解】由，
而，则，所以.
故选C
6．【答案】B
【详解】如图所示：
设与直线平行且与直线之间的距离为1的直线方程为，
则，解得或，
圆心到直线的距离为，
圆到直线的距离为，
由图可知，圆与直线相交，与直线相离，
所以，即，
故“”是“圆上恰有2个点到直线
的距离为1”的必要不充分条件.
故选B.
7．【答案】C
【详解】对于A，因为四边形为菱形，所以，故，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以，故A正确；
对于B，由A得平面，因为平面，所以平面平面，
当到平面的距离最大时，即平面时三棱锥的高最大，
由题意得，为等边三角形，为中点，所以，
所以三棱锥体积的最大值为，故B正确；
对于C，取中点，连接，
因为线段的中点分别为，
所以，且，
所以截面图形为平行四边形.
由A可知，所以，故四边形为矩形，
由题意得，， 所以，
所以，即四边形不可能为正方形，故C错误；
对于D，当二面角为时，由A可得，
所以到平面距离为，在平面内的投影在直线上，投影长为，
因为，所以为外接圆圆心，
所以三棱锥外接球的球心在过D且与平面垂直的直线上，如图，
设三棱锥外接球的半径为R，，
则，解得，故三棱锥外接球的半径为，D正确.
故选C.
8．【答案】A
【详解】，
令，则，
故在单调递增，
又，所以，
即，
所以，A选项正确，
另外，，由于与0的大小关系不确定，
故C，D无法判断.
故选A.
9．【答案】ABC
【详解】抛物线的焦点，准线，
如图，过点作于A，过点作于，连接，
由抛物线的定义知，则，当且仅当点在上时取等号，
又，所以的最小值为7.
故选ABC
10．【答案】BCD
【详解】对于A，单位圆的内接正边形的中心角为，
如图设，过作于点，则，
，故A错误；
对于B，由A的结论，，则，
则，故B正确；
对于C，，
则，故，故C正确；
对于D，由上分析，，则，
故
，故D正确.
故选BCD
11．【答案】AC
【详解】对于选项A，，所以A正确.
对于选项B，当时，，可得，当时，单调递减；
当时，单调递增，所以当时，，
当时，，当时，单调递减；当时，单调递增；
图象如图：
所以，函数的极小值为和，选项B错误；
对于选项C，设，求导得，所以在上单调递增，
所以，
若，则，
因为，在上单调递增，所以，即，选项C正确.
对于选项D，关于的方程有两个不相等的实数根
关于的方程有两个不相等的实数根
关于的方程有一个非零的实数根
函数与图象有一个公共点，且，
由图象易知，或，或，
从而的取值集合为，D错误.
故选AC.
12．【答案】.
【详解】设1与2025的等比中项为为，所以，所以.
13．【答案】
【详解】依题意，是奇函数，且在上严格单调递增，所以在上单调递增，
由，得，
，
设，由于，所以，
所以，即，
则的取值范围是，
的取值范围是，
由不等关系：恒成立，的取值范围是.
14．【答案】90
【详解】第一行选2个方格有种方法，这2个方格确定后：
（1）若第二行选的方格均与第一行同列，则后两行选的方格只能与前两行不同列，有1种方法；
（2）若第二行选的方格均与第一行不同列，则前两行选取的4个方格中每列1个，第三行选的方格有种方法，选定后第4行随之确定；
（3）若第二行选的方格恰有1个与第一行同列，第二行选取方法有种，
此时，前两行选的4个方格中有2个在同一列（该列后两行不选），有1列前两行都未选（该列后两行必选），另两列前两行各选一个（后两行也要各选一个，2种方法）.
综上，共种方法.
15．【答案】（1）
（2）函数的单调增区间为，单调减区间为.
【详解】（1）由题意知的定义域为，
由题设知函数的图象在点处的切线斜率为，即，
所以；
（2）由于的定义域为，
当时，单调增；当单调减，
故函数的单调增区间为，单调减区间为.
16．【答案】（1）.
（2）分布列见解析，
【详解】（1）设前两轮比赛中得分为事件得分为事件
，
由题意各轮比赛，各局比赛结果互不影响，与互斥，
，
.
（2）由题意，，
设第轮两队比分为为事件
各局比赛互不影响，，
由题意，时，时，事件“”，
各轮比赛互不影响，，
所以的分布列为：
.
17．【答案】（1）
（2）存在，
【详解】（1）由题设，直线不平行，延长必相交，记交点为，则，，
从而平面平面，即点为平面与平面的一个公共点，
又点也为平面与平面的一个公共点，根据基本事实3，知直线即为直线，且点即为点，
由题设，，所以平面，
所以，且易知，所以.
（2）如图，以为原点，方向､方向､方向分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，
如图，由，则.
则各点坐标为：，
假设存在点，设，则点的坐标为.
设和分别为平面和平面的法向量.
，即，
令，得，
，即，
令，得：，
平面平面，
所以，
又，设平面PCD的法向量为，
则,即，令，则，
所以直线与平面所成角的正弦值.
18．【答案】（1）
（2）的大小为定值
（3）
【详解】（1）已知椭圆的，则，两焦点为，.
因为点在椭圆上，由椭圆的定义可得
即，即.
又因为，根据，可得，所以.
所以椭圆的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时：直线的方程为，由对称性，不妨令直线的方程为.
联立，将代入得：
即，此时OM与ON垂直，易知.
当直线的斜率存在时：设直线的方程为，，.
由点到直线的距离公式，可得，两边平方得.
联立，消去得.
则，即.
由韦达定理可得，.
所以
将代入上式得：
所以，即.
综上，的大小为定值，该定值为.
（3）当直线的斜率不存在时：，则.
当直线的斜率存在时：
将代入上式得：
所以三角形的面积.
当时，；
当时，.
由基本不等式（当且仅当，即时取等号）.
则，，，，，即.
综上，.
19．【答案】（1），；
（2）392
（3）证明见解析
【详解】（1）由题设，故；
中满足要求的数列分别为；；，故；
中满足要求的数列分别为；；；；；故；
从而，；
（2）中满足要求的数列为，中满足要求的数列为，
故，
我们首先证明对于，均有.
若数列，则数列.
反之，若，则，故，
所以，即.
对于集合中的任意一个数列.
用来表示的所有数列构成的集合，则，
当时，该数列属于（差集），
对于中的任意一个数列，
因为，故，则.
而当时，，
所以，
故，
又，
所以，
，
，
，
，
故.
（3）若数列为数列，为正整数数列，且，
则，其中.
则数列，
满足，其中，
所以它是数列，
并且我们有当和为不同的数列时，对应的数列也不同，
同样的，若数列为数列，则为数列.
事实上，因为，则显然成立，
又，其中.
而成立，
故为数列.
所以数列和数列是一一对应关系，故.
1
2
3
4
5
6