2023-2024学年山东济南章丘区七年级下册数学期中试卷及答案

这是一份2023-2024学年山东济南章丘区七年级下册数学期中试卷及答案，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
选择题部分共40分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用同底数幂乘法法则，积的乘方法则，平方差公式将各式计算后进行判断即可．
【详解】A.，该选项不符合题意；
B.，该选项不符合题意；
C.，该选项不符合题意；
D.，该选项符合题意．
故选：D ．
2. 某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，确定和的值是解题关键．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：．
故选：C．
3. 健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了利用平行线的性质求角度，利用平行线的性质求出，，再根据计算即可得解．
【详解】解：，，
，，
，
，
，
故选：C．
4. 已知，，，若的值与x的取值无关，则a的值为（ ）
A. B. 3C. 5D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，正确化简是解本题的关键．
先求出，再根据取值与x无关，得出，即可解答．
【详解】解：∵，，，
∴
，
∵值与x的取值无关，
∴，
解得：，
故选：A．
5. 在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度（）与下滑的时间（）的关系如下表：
以下结论错误的是（ ）
A. 当时，约2.66秒
B. 随高度增加，下滑时间越来越短
C. 估计当时，一定小于2.56秒
D. 高度每增加，时间就会减少0.24秒
【答案】D
【解析】
【分析】根据表格的数据，逐项分析即可得到答案．
【详解】解：A、由表格可知：当时，约2.66秒，故A选项正确，不符合题意；
B、由表格可知：当由10逐渐增大到50时，的值由3.25逐渐减小到2.56，因此随高度增加，下滑时间越来越短，故B选项正确，不符合题意；
C、由B可知：随高度增加，下滑时间越来越短，且当时，，所以估计当时，一定小于2.56秒，故C选项正确，不符合题意；
D、由表格可知：时间的减少是不均匀的，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了用表格表示变量间的关系，依据表格反映的规律回答问题是解题的关键．
6. 下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】平方差公式的形式为（a+b）（a-b）=a2-b2，由其结构特征可判断．
【详解】解：由平方差公式的结构特征可得，能用平方差公式进行计算，需满足：两项相同，另外两项互为相反数，A、B、D中两个括号内的两项符号均相反，只有C符合．
故选C
【点睛】本题考查适用平方差公式的情况，需满足符合平方差公式的结构特征，准确把握平方差公式的结构特征是关键．
7. 如图，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，作，根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出答案，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，作，则，
，
，
，
，
，即，
故选：D．
8. 如下所示的尺规作图题，题中符号代表的内容正确的是（ ）
如图，已知，求作：，使
作法：（1）以①为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点；
（2）作射线，并以点为圆心，以②长为半径画弧交于点；
（3）以点为圆心，以③长为半径画弧交（2）步中所画弧于点；
（4）作④，即为所求作的角．
A. ①表示点B. ②表示C. ③表示D. ④表示射线
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了作图—基本作图，根据尺规作图作一个角等于已知角的方法即可判断．
【详解】解：作法：（1）以为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点；
（2）作射线，并以点为圆心，以长为半径画弧交于点；
（3）以点为圆心，以长为半径画弧交（2）步中所画弧于点；
（4）作射线，即为所求作的角．
故选：D．
9. 如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块．除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，则阴影的较短边和阴影的较短边之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减的应用，由题意得出阴影的较短边长为，阴影的较短边长为，再求和即可得出答案，正确表示出阴影的较短边长和阴影的较短边长是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：阴影的较短边长，
阴影的较短边长，
阴影的较短边和阴影的较短边之和为，
故选：C．
10. 已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系如图2，已知，则下列说法正确的有几个（ ）
①动点 H的速度是 ；②的长度为；③b的值为13：④当点 H 到达D点时的面积是 ；
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法．
本题考查动点函数的图像，掌握三角形的面积公式，函数图像的性质，理解函数图像上的点表示的意义是解决本题的关键．
【详解】由图2可知：当H点由A点运动到B点时， ，
，
解得，
由图2可知：当H点由A点运动到B点用了，
∴H点的速度是，
故①正确；
由图2可知：当H点由B点运动到C点用了，
，
故②正确；
由图2可知：第到时H点由C点运动到D点，
，，
，
∴H点由D点运动到E点用了，
，
故③正确；
由图2可知：当H点由C点运动到D点用了，
，
，
当点 H 到达D点时，
故④正确；
故选：D．
（非选择题部分共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用同底数幂的除法的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：当，时，



．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是对同底数幂的除法的法则的掌握．
12. 一个角比它补角的少40°，这个角等于______．
【答案】15°##15度
【解析】
【分析】设这个角为x°，根据题意，得x=，解方程即可．
【详解】设这个角为x°，根据题意，得x=，
解方程，得x=15，
故这个角为15°，
故答案为：15°．
【点睛】本题考查了补角，一元一次方程应用，熟练掌握补角的意义，解方程是解题的关键．
13. 已知代数式是一个完全平方式，则m的值为_____________．
【答案】7或
【解析】
【分析】此题考查了完全平方公式和一元一次方程的应用，根据是一个完全平方式得到，解方程即可得答案．
【详解】解：∵代数式是一个完全平方式，
∴，
∴
解得或
故答案：7或
14. 如图，将一副三角尺按如图所示方式摆放，点A，B， D在同一条直线上，EF∥AD，∠E＝60°，则∠BFD的度数为_______度
【答案】
【解析】
【分析】根据平行线的性质以及三角板本身的度数即可求解．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质以及三角板中角度的计算，熟知平行线的性质以及三角板的度数是解题的关键．
15. 如图，四边形为一长方形纸带，，将纸带沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质，根据平行线的性质和折叠的性质求出、的度数，再相减即可得出答案．
【详解】解：设，
，
，，
，
，
由折叠的性质可得：，，
，
解得：，
，
，
，
故答案为：．
16. 甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度（米）与挖掘时间（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖 60 米；③甲队比乙队提前2天完成任务；④甲、乙两队所挖管道长度相差100米时，．正确的有________________．

【答案】①③##③①
【解析】
【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象逐项分析即可得出答案，从函数图象中获取有用的信息，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得：
甲队每天挖（米），故①正确；
乙队开挖2天后，每天挖（米），故②错误，不符合题意；
乙队挖完管道所需要的时间为：（天），
（天），故甲队比乙队提前2天完成任务，③正确；
甲队两天所挖管道的长度为（米），此时乙队挖了米，即甲、乙两队所挖管道长度相差100米，
由图象可得，当时，甲、乙两队所挖管道长度相差100米，故④错误；
综上所述，正确的有①③，
故答案为：①③．
三．解答题（本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先计算乘方、零指数幂、绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）先利用单项式乘以多项式、平方差公式去括号，再合并即可得出答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 计算
（1）用简便方法计算：；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了利用平方差公式与完全平方公式进行计算，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．
（1）原式变形为，再利用平方差公式计算即可得解；
（2）原式变形为，再利用平方差公式计算即可得解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
19. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查整式的化简求值，运用乘法公式，合并同类项，即整式的混合运算进行化简，再代入求值即可，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
把代入得，
原式．
20. 完成下面的推理过程．
已知：如图，与互补，，求证：．
证明：∵与互补，即 ，
∴//(______ )．
∴(______ )．
又∵，(已知)．
∴，即．( )．
∴ // ( )．
∴．( )．

【答案】(已知)；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等式的性质；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】
【分析】首先判断，然后根据平行线的性质，以及平行线的判定方法证明，根据平行线的性质即可求解．
【详解】证明：与互补，
即（已知），
//（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
又（已知），
，即（等式的性质），
//（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等式的性质；、；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及平行线的判定方法，正确证明//是关键．
21. 如图，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F．试说明：ECDF．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，得出∠DBF＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，∠DBF＝∠ECB，再根据∠DBF＝∠F，得出∠ECB＝∠F，即可证出ECDF．
【详解】解：∵BD平分∠ABC
∴∠DBF＝∠ABC
∵CE平分∠ACB
∴∠ECB＝∠ACB
∵∠ABC＝∠ACB
∴∠DBF＝∠ECB
∵∠DBF＝∠F
∴∠ECB＝∠F
∴ECDF．
【点睛】此题主要考查平行线的性质判定，解题的关键是熟知角平分线的性质及平行线的判定定理．
22. 如图，甲、乙两人分别骑自行车和摩托车沿相同路线由A地到B地，行驶过程中的时间与路程图象如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1） 先出发，提前 小时；
（2）运动过程中甲的速度为： 千米/小时，乙的速度为： 千米/小时；
（3）请直接写出在甲的行进过程中，当甲、乙两人相距15千米时，自变量x的值是多少？
【答案】（1）甲；3 （2）甲：10千米/时；乙：40千米/时
（3）x的值或
【解析】
【分析】（1）由图象可得出甲先出发3小时；
（2）根据路程除以时间等于速度，可得出答案；
（3）根据题意列方程解答即可．
【小问1详解】
由图象可得甲先出发，提前3时；
故答案为：甲；3；
【小问2详解】
甲：（千米/小时），
乙：（千米/小时），
故答案为：10；40；
【小问3详解】
追上之前甲、乙两人相距15千米时，由题意得：

解得
追上之后甲、乙两人相距15千米时，由题意得：
，
解得，
答：在乙的行进过程中，当甲、乙两人相距15千米时，自变量x的值或．
【点睛】本题考查了函数的图象，利用函数的图象解决实际问题，掌握函数图象横纵坐标表示的意义，通过图象得到函数关系式是关键．
23. （1）如图1，已知，，可得 度；
（2）如图2，在（1）的条件下，如果平分，求度数；
（3）如图3，在（1）（2）的条件下，如果，则 度；
（4）尝试解决下面问题：如图4，，，是的平分线，，求的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）67.5；（4）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、垂线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据两直线平行，内错角相等即可得出答案；
（2）根据角平分线的定义得出，再利用邻补角的定义计算即可得出答案；
（3）由垂线的定义得出，再根据计算即可得解；
（4）由垂线的定义得出，再计算出，根据角平分线的定义求出的度数，最后根据平行线的性质即可得出答案．
【详解】解：（1），，
；
（2）平分，
，
；
（3），
，
；
（4）），
，
，
是的平分线，
，
，
．
24. 某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准．根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：千瓦·时）分为三档进行收费（第一档：月用电量不高于240千瓦·时．第二档： 月用电量为千瓦·时，第三档： 月用电量超过 400 千瓦·时）．设居民每月应交电费y（元） ，用电量为x（千瓦·时）
（1）①每月用电量不超过240千瓦·时，y= ；
②每月用电量超过 400千瓦·时，y= ．
（2）若某户居民用电量为210千瓦·时，则应交电费多少元?
（3）若某户居民某月交费210元，则该户居民用电多少千瓦·时?
【答案】（1）①；②
（2）（元）
（3）本月用电344度
【解析】
【分析】(1) ①根据费用=单价乘以用电量，列式计算即可．
②根据费用=单价乘以用电量，列式计算即可．
(2)根据(1)求得的结果，讨论x的值，得出的结论．
（3）根据当时，最多费用为元；当时，最多费用为元；当时，费用大于元；根据分档计算即可．
本题考查了一元一次方程的生活实际应用，正确理解分档的界点是解题的关键．
【小问1详解】
①根据时，每千瓦·时 元，
故，
故答案为：．
②根据时，每千瓦·时 元，
故
，
故答案为：．
【小问2详解】
根据时，每千瓦·时 元，
故，
由，
故当时，
(元)．
答：应交电费元．
【小问3详解】
根据题意，当时，最多费用为元；
当时，最多费用为元；
当时，费用大于元；
∵，
∴用电量满足，
设用电x度，根据题意，得，
解得，
答：本月用电344度．
25. 【知识生成】：
通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式图①，从边长为的长方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开：拼成图②的长方形．（用字母表示）．
（1）比较图①图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．
如图3大正方形的面积有两种表示方法可以说明公式： ．
【问题探究】：
（2）①已知，，则的值为 ．
②如图 3，已知，，求的值．
【拓展计算】：
（3）
【答案】（1）；（2）①12；②7；（3）
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的几何背景是解此题的关键．
（1）用两种方法用代数式表示图、图中阴影部分的面积以及图中各个部分的面积与总面积之间的关系即可；
（2）①利用平方差公式代入计算即可；②利用完全平方公式的变形计算即可得出答案；
（3）利用平方差公式计算即可得出答案．
【详解】解：（1）图中阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即，
拼成的图是长为，宽为的长方形，因此面积为，
故；
图整体上时边长为的正方形，因此面积为，组成图的四个部分的面积和为，
故有；
（2）①，，
；
② 解：由题意可得，
∴；
（3）应用乘法公式得：
．
26. 综合与探究
问题情境
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
探索发现
“快乐小组”经过探索后发现：
（1）当∠A＝60°时，∠CBD＝∠A．请说明理由．
（2）不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，用含∠A的式子表示∠CBD为 ．
操作探究
（3）“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
【答案】（1）理由见解析；（2）∠CBD＝；（3）∠APB＝2∠ADB ，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠A+∠ABN＝180°，因为 ，所以 根据角平分线定义证得 ，由此可得∠CBD＝∠A；
（2）根据平行线的性质得到∠ABN＝180°-∠A，根据角平分线定义证得 ，由此可得∠CBD＝；
（3）依题意，需证∠PBN＝2∠NBD，∠PBN＝∠APB，∠NBD＝∠ADB，问题便可得解．
【详解】（1）∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
又∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝120°．
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP＝∠ABP，∠DBP＝∠PBN，
∴＝60°，
∴∠CBD＝∠A．
（2）∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP＝∠ABP，∠DBP＝∠PBN，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝∠ABP+∠PBN＝∠ABN，
∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A，
∴∠CBD＝．
（3）∠APB＝2∠ADB 理由如下：
∵BD分别平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠NBD，
∵AM∥BN，
∴∠PBN＝∠APB，∠NBD＝∠ADB，
∴∠APB＝2∠ADB．
支撑物高
10
20
30
40
50
…
下滑时间
3.25
301
2.81
2.66
2.56
…
用电量（千瓦·时）
收费（元）
不超过 240 千瓦·时
每千瓦·时 元
千瓦·时
每千瓦·时 元
超过 400千瓦·时
超过的部分每千瓦·时 元