湖南省长沙市南雅中学2025届高三下学期终极押题数学试卷（含答案）

这是一份湖南省长沙市南雅中学2025届高三下学期终极押题数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x∣xb>0)的离心率e=12，过点(1,0)的动直线l与椭圆相交于两点，当直线l与x轴垂直时，直线l被椭圆E截得的线段长为3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线y=kx与椭圆C交于A，B两点，P是椭圆C上一动点(不同于A，B)，记kOP，kPA，kPB分别为直线OP，PA，PB的斜率，且满足k⋅kOP=kPA⋅kPB，求点P的坐标(用k表示)；
(3)过左焦点F1的直线交椭圆于M，N两点，是否存在实数λ，使|MN|=λF1M⋅F1N恒成立？若存在，求此时|MN|的最小值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
若函数y=f(x)和y=g(x)同时满足下列条件：①对任意x∈R，都有f(x)≤g(x)成立；②存在x0∈R，使得fx0=gx0，则称函数y=g(x)为y=f(x)的“W函数”，其中x0称为“W点”．
(1)已知图像为一条直线的函数y=g(x)是y=sinx的“W函数”，请求出所有的“W点”；
(2)设函数y=g(x)为y=f(x)的“W函数”，其“W点”组成集合M；函数y=ℎ(x)为y=g(x)的“W函数”，其“W点”组成集合N.试证明：“函数y=ℎ(x)为y=f(x)的‘W函数’”的一个充分必要条件是“M∩N≠⌀”；
(3)记f(x)=xex(e为自然对数的底数)，g(x)=kx+m(k､m∈R)，若y=g(x)为y=f(x)的“W函数”，且“W点”x0>0，求实数m的最大值．
参考答案
1.D
2.A
3.C
4.B
5.A
6.D
7.B
8.D
9.AC
10.CD
11.ABC
12.143
13.0,1e
14.13
15.(1)因为an=3n−1，可知a1=1(满足除以3余数为1)，当n≥2时，an为3的倍数，
进行操作D(3,1)，即删除a1，剩余a2,a3,a4,a5,⋅⋅⋅，
则bn=an+1=3n，可得lg3an+bn=lg33n−1+3n=lg34⋅3n−1=n+lg34−1，
所以Sn=n(n+1)2+lg34−1n．
(2)由(1)可知cn=lg3b2n−1=lg332n−1=2n−1，
则1cncn+1=1(2n−1)(2n+1)=1212n−1−12n+1，
所以数列1cncn+1的前n项和Tn=121−13+13−15+⋅⋅⋅+12n−1−12n+1=121−12n+1=n2n+1．
16.(1)令MN∩AD=O，连接OA1，OE．
∵四边形A1ADE为正方形，所以A1A/\!/DE．
又在正三棱柱ABC−A1B1C1中，
AA1⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC．
又MN⊂平面ABC，∴DE⊥MN．
又▵ABC为正三角形，且边长为8，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=4，AA1=DE=AD= AB2−BD2=4 3，
又M，N分别为AB，AC边的中点，
∴MN=12BC=4，MN/\!/BC，∴MN⊥AD．
又AD∩DE=E，AD，DE⊂平面A1ADE，
∴MN⊥平面A1ADE．
∵S▵OA1E=12S▱A1ADE=12AD⋅DE=24
∴VA1MNE=VM−OA1E+VN−OA1E=13S▵OA1E⋅OM+13S▵OA1E⋅ON=13S▵OA1E⋅MN=32．
所以四面体A1MNE的体积的为32．
(2)由(1)知MN⊥平面A1ADE，∴MN⊥A1O，MN⊥GO，
∴∠A1OG为二面角A1−MN−G的平面角，
因为二面角A1−MN−G为直二面角，所以∠A1OG=90∘
∵四边形A1ADE为正方形，
所以∠AA1O=∠GOD，又∠FAO=∠ODG=90∘，
∴△A1AO △ODG，∴A1AAO=ODDG．
又MN为▵ABC的中位线，所以O为AD中点，
所以AO=OD=2 3，AA1=4 3，∴DG= 3．
以D为原点，分别以DA，DB，DE为x，y，z轴正方向如图建系．
则A4 3,0,0，E0,0,4 3，A14 3,0,4 3，G0,0, 3，M2 3,2,0，
则EA1=4 3,0,0，EM=2 3,2,−4 3，GA=4 3,0,− 3，
令n=(x,y,z)为平面A1EM的法向量，则n⊥EA1，n⊥EM，∴n⋅EA1=0，n⋅EM=0，
所以4 3x=02 3x+2y−4 3z=0，取z=1，则x=0，y=2 3，∴n=0,2 3,1，
所以cs⟨GA→,n→⟩=GA→⋅n→GA→n→=− 3 51× 13=− 221221，
所以直线AG与平面A1EM所成角的正弦值为 221221．
17.(1)2×2列联表如下：
零假设H0：“PM2.5平均浓度不小于100μg/m3”与“汽车日流量不小于1500辆”无关，
因为χ2=50×(16×20−8×6)224×26×22×28≈9.62∈(6.635,10.828)，
所以至少有99％的把握(但还不能有99.9％的把握)认为“PM2.5平均浓度不小于100μg/m3”与“汽车日流量不小于1500辆有关”．
(2)①因为回归方程为y=0.12x−73.36，所以b=i=150xi−xyi−yi=150xi−x2=0.12，
又因为 i=150xi−x250=252， i=150yi−y250=36，
所以r=i=150xi−xyi−y i=150xi−x2i=150yi−y2=b⋅ i=150xi−x2i=150yi−y2=0.12×25236=0.84．
∵|r|=0.84>0.75,∴y与x有较强的相关性，∴该回归方程有价值．
②sx=252= i=150xi−x250= i=150xi250−x2= 1.2×10850−x2，解得x≈1528.56
而样本中心点x,y位于回归直线y=0.12x−73.36上，
因此可推算y≈0.12×1528.56−73.36=110.1μgm3．
18.(1)解：由题意，可得点1,32在椭圆C上，且椭圆的离心率e=12，
所以1a2+94b2=1e=ca=12a2=b2+c2，解得a2=4b2=3c2=1，所以椭圆C的方程为x24+y23=1．
(2)解：设点Px1,y1，因为点P在椭圆上，所以x124+y123=1，即y12=3−34x12．
同理，设点Ax2,y2，则y22=3−34x22，且x1≠±x2，
又因为直线AB:y=kx过原点，所以A,B关于原点对称，所以点B−x2,−y2，
所以kPA⋅kPB=y1−y2x1−x2×y1+y2x1+x2=y12−y22x12−x22=−34x12−x22x12−x22=−34，可得k⋅kOP=−34，
联立方程组y=kxx24+y23=1，整理得3+4k2x2=12，
解得x=2 3 3+4k2,y=2 3k 3+4k2或x=−2 3 3+4k2,y=−2 3k 3+4k2，
用−34k代替上述坐标中的k，
可得P−4k 4k2+3,3 4k2+3或P4k 4k2+3,−3 4k2+3，其中k≠0．
(3)解：由(1)知，左焦点F1(−1,0)，
当直线MN斜率为零时，不妨设M(−2,0)，N(2,0)，
则F1M=(−1,0)，F1N=(3,0)，可得F1M⋅F1N=−3，|MN|=4，
存在λ=−43，使|MN|=λF1M⋅F1N成立；
当直线MN的斜率不为零时，设直线方程为x=my−1，且Mx3,y3，Nx4,y4，
联立方程组x=my−1x24+y23=1，整理得3m2+4y2−6my−9=0，
可得Δ=(−6m)2+36(3m2+4)>0，所以y3+y4=6m3m2+4，y3y4=−93m2+4，
则|MN|= 1+m2y3−y4= 1+m2⋅ y3+y42−4y3y4=12m2+13m2+4，
F1M⋅F1N=x3+1,y3⋅x4+1,y4=x3x4+x3+x4+1+y3y4，
因为x3x4=m2y3y4−my3+y4+1，x3+x4=my3+y4−2，
所以F1M⋅F1N=m2+1y3y4=−9m2+13m2+4，所以|MN|=−43F1M⋅F1N，
又因为|MN|=12m2+13m2+4=4−43m2+4，
所以当m=0时，|MN|最小，最小值为3，
综上，存在λ=−43，使|MN|=λF1M⋅F1N恒成立，此时|MN|的最小值为3．
19.(1)取x0=π2+2kπ,k∈Z，g(x)=1，
此时sinx0=sinπ2+2kπ=1,k∈Z，gx0=1，
故函数g(x)=1是y=sinx的“W函数”，“W点”为x0=π2+2kπ,k∈Z；
(2)y=g(x)为y=f(x)的“W函数”，其“W点”组成集合M，
故f(x)≤g(x)，设M=x1,x2,x3,⋯,xn，
函数y=ℎ(x)为y=g(x)的“W函数”，其“W点”组成集合N，
故g(x)≤ℎ(x)，设N=x1′,x2′,x3′,⋯,xk′，
显然对任意x∈R，f(x)≤g(x)≤ℎ(x)成立，①成立，
充分性，若M∩N≠⌀，
不妨设xi=xj′，此时fxi=gxi=gxj′=ℎxj′，②成立，
故②成立，所以函数y=ℎ(x)为y=f(x)的‘W函数’，充分性成立；
必要性，若函数y=ℎ(x)为y=f(x)的‘W函数’，
则存在xt，使得fxt=ℎxt，
由于对任意x∈R，f(x)≤g(x)≤ℎ(x)成立，故fxt=gxt=ℎxt，
故xt∈M,xt∈N，所以M∩N≠⌀，充分性成立；
故“函数y=ℎ(x)为y=f(x)的‘W函数’”的一个充分必要条件是“M∩N≠⌀”；
(3)f(x)=xex定义域为R，
f′(x)=1−xex，当x0，当x>1时，f′(x)0时，f(x)=xex>0恒成立，
又f(1)=1e，取x0=1，g(x)=1e，
满足f(x)≤g(x)且fx0=gx0，
y=g(x)为y=f(x)的“W函数”，此时m=1e，
当x∈(0,1)时，取x=xa，
故当y=g(x)为f(x)=xex在x=xa处的切线方程时，才满足要求，
f′xa=1−xaexa，故切线方程为y−xaexa=1−xaexax−xa，
令x=0得m=xa2exa，
由于xa∈(0,1)，设ℎ(x)=x2ex，x∈(0,1)，
所以ℎ′(x)=2x−x2ex=x(2−x)ex>0在x∈(0,1)上恒成立，
故ℎ(x)=x2ex在x∈(0,1)上单调递增，
所以m=xa2exa