湖南省长沙市南雅中学2024−2025学年高三下学期终极押题 数学试卷（含解析）

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一、单选题
1．已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
3．已知向量满足与垂直，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．3
4．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．若，则（ ）
A．B．C．D．
6．二项式的展开式中，把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法种数为（ ）
A．种B．种C．种D．种
7．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若三棱锥（以为顶点）的侧面积为6，则球的表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数定义为：，若函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．一组数据，，，，满足，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比（ ）
A．极差变小B．平均数变大C．方差变小D．第25百分位数变小
10．已知双曲线的左右焦点为，点P在C上，为坐标原点，则（ ）
A．时，为钝角三角形
B．时，为直角三角形
C．为等腰三角形时，或
D．外接圈半径为时，或
11．如图，棱长为2的正方体，为底面的中心，为侧面的中心，是线段上的动点，为内（含边界）的动点，则下列说法正确的是（ ）

A．平面B．
C．的最小值为D．三棱锥的外接球的体积为
三、填空题
12．等差数列的前项和为，若，，则 ．
13．已知函数恰有2个极值点，则实数a的取值范围为 .
14．“四进制”是一种以为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以的相应次方（从开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；现将所有由，，组成的位（如：，）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被整除的概率为 ．
四、解答题
15．已知是无穷正整数数列，定义操作为删除数列中除以余数为的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列.若，，进行操作后剩余项组成新数列，设数列的前项和为.
（1）求；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
16．已知正三棱柱中，底面边长为8，，，分别为，，边的中点，过，，三点作三棱柱的截面交棱于，且四边形为正方形．
（1）求四面体的体积；
（2）若为线段上的点，且二面角为直二面角，求直线与平面所成角的正弦值．
17．环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量（单位：辆）和空气中的的平均浓度（单位：）． 调研人员采集了50天的数据，制作了关于的散点图，并用直线与将散点图分成如图所示的四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入对应区域的样本点的个数依次为6，20，16，8．
（1）完成下面的列联表，并判断至少有多大把握认为“平均浓度不小于与“汽车日流量不小于1500辆”有关；
（2）经计算得回归方程为，且这50天的汽车日流量的标准差，的平均浓度的标准差．
①求相关系数，并判断该回归方程是否有价值；
②若这50天的汽车日流量满足，试推算这50天的日均浓度的平均数．（精确到0.1）
参考公式：，其中．
回归方程，其中．
相关系数． 若，则认为与有较强的线性相关性．
18．已知椭圆的离心率，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线与轴垂直时，直线被椭圆截得的线段长为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于，两点，是椭圆上一动点（不同于，），记，，分别为直线，，的斜率，且满足，求点的坐标（用表示）；
（3）过左焦点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由.
19．若函数和同时满足下列条件：①对任意，都有成立；②存在，使得，则称函数为的“函数”，其中称为“点”.
(1)已知图像为一条直线的函数是的“函数”，请求出所有的“点”；
(2)设函数为的“函数”，其“点”组成集合；函数为的“函数”，其“点”组成集合.试证明：“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”；
(3)记（为自然对数的底数），，若为的“函数”，且“点”，求实数的最大值.
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为，
所以,
所以由数轴得.
即的取值范围为.
故选D.

2．【答案】A
【详解】由题意得，
所以，则z在复平面内对应的点位于第一象限，
故选A.
3．【答案】C
【详解】由与垂直，得，则，
所以1，
所以当时，的最小值为
故选C
4．【答案】B
【分析】根据题意，由条件可得是以为顶角的等腰三角形，列出关于的方程，再由离心率的计算公式，即可得到结果.
【详解】由题可知，，即，
是以为顶角的等腰三角形，
则有：，，，
所以，又因为，即，，
可得，解得，故离心率为．
故选B．
5．【答案】A
【详解】，解得，
所以
.
故选A.
6．【答案】D
【详解】二项式的展开式的通项公式为：
，
令，得，所以展开式中的有理项有项，
把展开式中的项重新排列，先把项无理项全排列，
再把项有理项插入形成的个空中，所以有理项互不相邻的排法种数为种.
故选D.
7．【答案】B
【详解】由题知平面，，所以三棱锥的外接球，即为以为同一顶点出发的三条棱的长方体的外接球，
所以外接球半径，其中，
令，，则三棱锥（以为顶点）的侧面积为，
所以，
所以，
又因为，即，
所以，所以，
又因为，所以，当且仅当时，，
所以当，即时，，
此时球的表面积的取得最小值为.
故选B.
8．【答案】D
【详解】①当时，要使有意义，故；
方程为，平方得，，解得；
显然，解不等式得；
在上满足：当或时，有1个零点；当时，有两个零点；
②当时，若，，函数有无穷个零点；
当时，方程，即，
解得，令，即；
即在上满足：当且时，有1个零点；当时，有无穷个零点；当时，没有零点．
综上，当时，有三个零点．
故选D．
9．【答案】AC
【详解】由于，故，
A选项，原来极差为，去掉，后，极差为，极差变小，A正确；
B选项，原来的平均数为，
去掉，后的平均数为，平均数不变，B错误；
C选项，原来的方差为，
去掉，后的方差为，方差变小，C正确；
D选项，，从小到大排列，选第3个数作为第25百分位数，即，
去掉，后，，故从小到大排列，选择第2个数和第3个数的平均数作为第25百分位数，
即，由于，第25百分位数变大，D错误．
故选AC
10．【答案】CD
【详解】对于A，，所以，设点，
由得，，
得，所以，
即，所以为直角三角形，故A错误；
对于B， 不妨设点在双曲线右支上时，当时显然满足，
此时，所以为钝角三角形，故B错误；
对于C，不妨设点在双曲线右支上时，则，
只能是，或，
当时，可得，
因为，由余弦定理得，
即，解得，
当，可得，
因为，由余弦定理得，即
，解得，
综上为等腰三角形时，或，故C正确；
对于D，设外接圆半径为，由正弦定理得，
所以，则或，
设点，，，
由余弦定理得，
即，解得，
当时，，
则，
即，所以，
当时，，
，
则，
即，所以，综上或，故D正确.
故选CD.
11．【答案】ABC
【详解】对于A，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 已知正方体棱长为，则各点坐标为：，，，，. 可得.
设平面的法向量为，，.
由，即，令，解得，，所以.
因为，所以，又平面，所以平面.故A正确.
对于B，，，则. 设，，则
.
.
由于在平面上，平面的方程可由法向量和点得到，
即，所以，则.故B正确.
对于C，先求关于平面对称点.

在中，已知，，
根据余弦定理.
再在中，已知、条件，
代入余弦定理公式可算出，
即，
所以最小值是.故C正确.
对于D，三棱锥的外接球就是正方体的外接球.
正方体棱长为，则外接球的直径，所以半径.
根据球的体积公式，可得外接球体积，故D错误.
故选ABC.

12．【答案】
【详解】因为数列是等差数列，，
所以，即，
所以数列的公差，
所以.
13．【答案】
【详解】因为函数的定义域为，
由，可得，
要使函数有两个极值点，只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，
由得，，所以，
由题意可知与有两个不同的交点，
令，则，
所以当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，当时，，
作出图形如图所示：
由图象可得实数a的取值范围为.
14．【答案】
【详解】设，
则位四进制数转换为十进制为
，
若这个数能被3整除，则能被整除．
当这个四进制数由，，，组成时，有个；
当这个四进制数由，，，组成时，有个；
这个四进制数由，，，组成时，有个；
这个四进制数由，，，组成时，有个；
这个四进制数都由组成时，有个．
因为由，，组成的位四进制数共有个，
所以能被整除的概率．
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，可知（满足除以3余数为1），当时，为3的倍数，
进行操作，即删除，剩余，
则，可得，
所以.
（2）由（1）可知，
则，
所以数列的前项和.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）令，连接，．
四边形为正方形，所以．
又在正三棱柱中，
平面，平面．
又平面，．
又为正三角形，且边长为，为的中点，
，，，
又，分别为，边的中点，
，，．
又，，平面，
平面．
．
所以四面体的体积的为．
（2）由（1）知平面，，，
为二面角的平面角，
因为二面角为直二面角，所以
四边形为正方形，
所以，又，
，．
又为的中位线，所以为中点，
所以，，．
以为原点，分别以，，为，，轴正方向如图建系．
则，，，，，
则，，，
令为平面的法向量，则，，，，
所以，取，则，，，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17．【答案】（1）列联表见解析，至少有的把握；
（2）① 0.84，有价值；②
【详解】（1）列联表如下：
零假设：“PM2.5平均浓度不小于100μg/m3”与“汽车日流量不小于1500辆”无关，
因为，
所以至少有的把握（但还不能有的把握）认为“平均浓度不小于”与“汽车日流量不小于1500辆有关”．
（2）①因为回归方程为，所以，
又因为，，
所以．
与有较强的相关性，该回归方程有价值．
②，解得
而样本中心点位于回归直线上，
因此可推算.
18．【答案】（1）
（2）或，其中.
（3）存在，3
【详解】（1）解：由题意，可得点在椭圆上，且椭圆的离心率，
所以，解得，所以椭圆的方程为.
（2）解：设点，因为点在椭圆上，所以，即.
同理，设点，则，且，
又因为直线过原点，所以关于原点对称，所以点，
所以，可得，
联立方程组，整理得，
解得或，
用代替上述坐标中的，
可得或，其中.
（3）解：由（1）知，左焦点，
当直线斜率为零时，不妨设，，
则，，可得，，
存在，使成立；
当直线的斜率不为零时，设直线方程为，且，，
联立方程组，整理得，
可得，所以，，
则，
，
因为，，
所以，所以，
又因为，
所以当时，最小，最小值为3，
综上，存在，使恒成立，此时的最小值为3.
19．【答案】(1)；
(2)证明过程见解析
(3)
【详解】（1）取，，
此时，，
故函数是的“函数”，“点”为；
（2）为的“函数”，其“点”组成集合，
故，设，
函数为的“函数”，其“点”组成集合，
故，设，
显然对任意，成立，①成立，
充分性，若，
不妨设，此时，②成立，
故②成立，所以函数为的‘函数’，充分性成立；
必要性，若函数为的‘函数’，
则存在，使得，
由于对任意，成立，故，
故，所以，充分性成立；
故“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”；
（3）定义域为R，
，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且当时，恒成立，
又，取，，
满足且，
为的“函数”，此时，
当时，取，
故当为在处的切线方程时，才满足要求，
，故切线方程为，
令得，
由于，设，，
所以在上恒成立，
故在上单调递增，
所以，
当时，结合图象，可知单调递减且下凸，
对任意的，无法做到恒成立，
综上，实数的最大值为.汽车日流量
汽车日流量
合计
的平均浓度
的平均浓度
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
汽车日流量
汽车日流量
合计
的平均浓度
16
8
24
的平均浓度
6
20
26
合计
22
28
50