湖南省长沙市南雅中学2025届高三下学期模拟考试（三）数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 已知集合，，则（ ）
2. 复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（ ）
3. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（ ）
4. 若函数为偶函数，则的值可以是（ ）
5. 已知向量，在上的投影向量为，则（ ）
6. 数列是公比不为1的等比数列，前项积为，则“，”是“”的（ ）
7. 已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
8. 已知函数（且）满足，且函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 设两个随机变量、满足服从正态分布，服从二项分布，则（ ）（若随机变量，）
10. 已知函数，则下列判断正确的是（ ）
11. 已知的三个顶点分别是点、、，以下正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 椭圆的离心率为______．
13. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为______．
14. 空间直角坐标系中有一点，其中均为正整数，若，则称点具有性质“2025高考大捷”，则具有性质“2025高考大捷”的不同的点共有______个．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 11 分，共 55 分)
15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，已知．
（1）求角C；
（2）若CD是角C的平分线，，，求CD的长．
16. 已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，
(1)求动点的轨迹；
(2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值．
17. 在直三棱柱中，，，，，，
(1)若平面，求的值；
(2)若二面角与二面角的大小相等，求的值．
18. 设函数在处的切线经过坐标原点，
(1)求；
(2)是否存在实数使得函数关于直线对称，若存在，求出的值，若不存在，说明理由；
(3)若恒成立，求的取值范围．
19. 已知等差数列的第2项为3，其前5项和为25．数列是公比大于0的等比数列，，．
(1)求和的通项公式；
(2)记，，
（ⅰ）证明是等比数列；
（ⅱ）证明，．
湖南省长沙市南雅中学2025届高三下学期模拟考试（三）数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、复数、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形、平面向量、数列、函数与导数、计数原理与概率统计、平面解析几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．8
C．4
D．
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．函数的图象关于轴对称
B．函数的最小值为2，无最大值
C．函数在上单调递增
D．不等式的解集为
A．的外接圆的标准方程
B．是抛物线上的动点，则的最小值是
C．同时和三边所在直线都相切的所有圆的半径的乘积等于
D．是的内切圆上的动点，则点到三顶点的距离的平方和的取值范围是
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
7
适中
7
较难
4
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式
2
0.85
判断复数对应的点所在的象限；复数的除法运算
3
0.85
斜二测画法中有关量的计算
4
0.85
由余弦（型）函数的奇偶性求参数
5
0.85
平面向量数量积的几何意义；求投影向量
6
0.65
判断命题的充分不必要条件；等比数列通项公式的基本量计算
7
0.65
由正弦（型）函数的值域（最值）求参数；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；辅助角公式
8
0.65
对数型复合函数的单调性；已知二次函数单调区间求参数值或范围
二、多选题
9
0.85
二项分布的方差；正态曲线的性质；二项分布的均值；指定区间的概率
10
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；由导数求函数的最值（不含参）；函数奇偶性的定义与判断；根据函数的单调性解不等式
11
0.4
由直线与圆的位置关系求参数；求抛物线上一点到定点的最值；求过已知三点的圆的标准方程；定点到圆上点的最值（范围）
三、填空题
12
0.94
求椭圆的离心率或离心率的取值范围
13
0.4
利用导数研究不等式恒成立问题；函数不等式恒成立问题
14
0.4
组合数的计算；分类加法计数原理；分步乘法计数原理及简单应用
四、解答题
15
0.85
正弦定理边角互化的应用；几何图形中的计算
16
0.65
双曲线中的定值问题；利用双曲线定义求方程；圆锥曲线的统一定义
17
0.65
已知面面角求其他量；由二面角大小求线段长度或距离；由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置
18
0.65
已知切线（斜率）求参数；利用导数研究不等式恒成立问题；函数对称性的应用
19
0.4
错位相减法求和；等差数列通项公式的基本量计算；由定义判定等比数列；等比数列通项公式的基本量计算
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,6
2
等式与不等式
1
3
复数
2
4
空间向量与立体几何
3,17
5
三角函数与解三角形
4,7,15
6
平面向量
5
7
数列
6,19
8
函数与导数
8,10,13,18
9
计数原理与概率统计
9,14
10
平面解析几何
11,12,16