湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷（含答案解析）

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷（含答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，则（ ）
2. 记复数的共轭复数为，若，则（ ）
3. 设，则，，的大小关系是（ ）．
4. 已知数列满足，则的值为（ ）
5. 已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（ ）
6. 当时，曲线与的交点个数为（ ）
7. 已知函数，若，则（ ）
8. 已知双曲线的上焦点为，过的直线与的两条渐近线分别交于第一，四象限的两点，满足，则双曲线的离心率为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 抛物线的焦点为，准线为为上两个动点，则下列结论正确的有（ ）
10. 已知函数定义域为，且的图象关于点对称，函数关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
11. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 函数的图象在点处的切线方程为______.
13. 已知等差数列的第5项是的展开式中的常数项，则该数列的前9项和__________.
14. 定义正方形数阵满足，其中且，设的值为奇数的概率，则______，______.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知的内角所对的边分别为，，.
(1)求角的大小；
(2)若，且，求的周长.
16. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，，为上两点，为椭圆上三个动点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是否存在点使为的重心？若存在，请探究的面积是否为定值；若不存在，请说明理由.
17. 某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为．
(1)求该运动员第二次投篮命中的概率；
(2)记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望；
(3)设第次投篮命中的概率为，求证：．
18. 如图，四棱锥中，平面，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)若，动点在内（含边界）且.
（ⅰ）求线段的轨迹形成的面积；
（ⅱ）设直线与平面所成角为，求的取值范围.
19. 已知函数.
(1)当时，判断的零点个数，并说明理由；
(2)设为在区间内的零点，令，，.
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求证：.
湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、不等式选讲、复数、函数与导数、数列、平面向量、平面解析几何、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．3
B．4
C．6
D．8
A．
B．
C．
D．以上都不对
A．
B．
C．
D．
A．焦点的坐标为
B．准线的方程为
C．若直线经过点，则的最小值为
D．以为直径的圆与准线最多有1个公共点
A．为奇函数
B．
C．
D．
A．若平面是面积为的等边三角形，则
B．若，则
C．若，则球面的体积
D．若平面为直角三角形，且，则
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
5
适中
9
较难
3
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交集的概念及运算；几何意义解绝对值不等式
2
0.94
复数代数形式的乘法运算；共轭复数的概念及计算；复数加减法的代数运算
3
0.65
指数函数的图象；对数函数的图象；幂函数的图象
4
0.65
根据数列递推公式写出数列的项；由递推关系式求通项公式
5
0.85
数量积的坐标表示；求投影向量；坐标计算向量的模
6
0.85
求函数零点或方程根的个数
7
0.65
对数的运算；用导数判断或证明已知函数的单调性；判断零点所在的区间；比较函数值的大小关系
8
0.65
已知方程求双曲线的渐近线；求双曲线的离心率或离心率的取值范围
二、多选题
9
0.85
抛物线定义的理解；与抛物线焦点弦有关的几何性质；根据抛物线方程求焦点或准线
10
0.65
函数奇偶性的应用；函数对称性的应用；函数奇偶性的定义与判断
11
0.65
弧长的有关计算；球的截面的性质及计算；锥体体积的有关计算；多面体与球体内切外接问题
三、填空题
12
0.94
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；已知切线（斜率）求参数；导数的运算法则
13
0.65
求等差数列前n项和；求二项展开式的第k项
14
0.4
排列数的计算；计算古典概型问题的概率
四、解答题
15
0.85
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形；数量积的运算律
16
0.65
根据椭圆过的点求标准方程；椭圆中的定值问题
17
0.4
求离散型随机变量的均值；构造法求数列通项；写出简单离散型随机变量分布列；利用全概率公式求概率
18
0.65
证明面面垂直；线面角的向量求法；证明线面垂直；轨迹问题——圆
19
0.4
利用导数证明不等式；利用导数研究函数的零点
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
不等式选讲
1
3
复数
2
4
函数与导数
3,6,7,10,12,19
5
数列
4,13,17
6
平面向量
5,15
7
平面解析几何
8,9,16,18
8
三角函数与解三角形
11,15
9
空间向量与立体几何
11,18
10
计数原理与概率统计
13,14,17