湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期一模数学试卷（Word版附解析）

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2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效．
3．考试结束，监考员将试题卷，答题卡一并收回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 下列散点图中，线性相关系数最小的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用散点图变化趋势，判断相关系数的正负，由散点的集中程度确定大小，即可得到答案．
【详解】观察选项 A 的散点图，这些点紧密地聚集在一条直线附近.其线性相关系数接近于 ；
选项 B 的散点图中，线性负相关程度不及 A，比较分散，即线性相关系数要比选项 A 的大.
选项 C 的散点图里，散点呈现出一定的上升趋势，变量 和 之间具有强的线性相关关系，其线性相关系
数为正数.
选项 D 的散点图中，散点比较分散，线性相关程度比选项 A 要弱，线性相关系数的比选项 A 的大.
综合比较四个选项，选项 A，线性负相关程度最强，所以线性相关系数最小.
故选：A.
2. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
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【答案】A
【解析】
【分析】求得集合 ，根据集合的交集运算，即可求得答案.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：A.
3. 若复数 z 在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则 的对应点均在（ ）
A. 一条直线上 B. 一个圆上 C. 一条抛物线上 D. 一支双曲线上
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件设出 ，化简 ，由此确定正确答案.
【详解】依题意，复数 z 在复平面中 对应点都在一个以原点为圆心的圆上，
设圆的半径为 ，则可设 ，
则
，
的对应点均在半径为 的圆上.
故选：B
4. 某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为 ，宽为 ，隧道内设置两条车道，
且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为 ，集装箱宽度与货
车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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【分析】建立如图平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线方程，令 得 ，则 即
为货车高度的最大值.
【详解】以抛物线的顶点为原点，建立如图平面直角坐标系，
设抛物线方程为 ，
由图可知抛物线过点 ，代入抛物线方程，
得 ，解得 ，所以抛物线方程为 .
因为车道宽 2 米，两车道中间有隔离带，车宽 2 米，
所以车行驶时， 的取值范围为 .
当 时， ，
要使载货最高的货车通过隧道，货车高度的最大值为 米.
故选：C
5. 在 中， ．若 ，则 的值为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 为 的中点得到 ，再由 ，即可求解；
【详解】因为 ，所以 为 的中点，所以 ．
又 ，所以 ，所以 ，
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所以 ，
所以 ，所以 ．
故选：C
6. 已知等差数列 的前 项和 ，数列 的前 项和为 ，且 ，若不等式
恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用 的关系求得数列 的通项公式，进而可得 ，对 分奇
偶求得 ，进而可求得实数 的最小值.
【详解】当 时， ，当 时， ，
当 时， 适合上式，所以 的通项公式为 ，
所以 ，
当 偶数时，
所以 ，
当 为奇数时，
所以 ，
又因为不等式 恒成立，所以 ，所以 ，
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所以实数 的最小值为 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：关键在于分 为奇数与 为偶数两种情况求得 ，坐而求得 的最大值，进而求得
实数 的最小值.
7. 若定义在 上的函数 满足 是奇函数， ，设函数
，则 （ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件判断抽象函数的周期，对称性，根据周期性和对称性求函数值，再代入求和.
【详解】根据题意，定义在 上的函数 满足
则 ，故函数 为周期函数，4 是函数 的一个周期.
因 是 上的奇函数，则 ， 的图象关于点 对称，
于是 ， ，
在 ，取 ，得 ，
因 ，
则
，
.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值，赋变量，转化抽象关系式，判断和利用函数的周期性和对
称性解题.
8. 已知三棱锥 四个顶点都在球 O 面上， ， ，M 为 AB 的中点，
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C 在面 APB 内的射影为 PM 的中点，则球 O 的表面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知三棱锥 的外接球的球心 在过 M 且垂直平面 PAB 的垂线上，设球 到平
面 PAB 的距离为 t，球 O 的半径为 R，再根据勾股定理，建立方程，即可求解.
【详解】如图，点 C 在面 APB 内的射影为 PM 的中点，设 PM 的中点为 N，则有 平面 ，
平面 ，所以 ，可知 ，
又 ， ，
则 ， ， ，
，M 为 AB 的中点，则 M 为 的外心，
所以三棱锥 的外接球的球心 在过 M 且垂直平面 PAB 的垂线上，则有 ，
过 作 的平行线，与 相交于点 ，则有 为矩形，
所以 ， ，
设球 到平面 PAB 的距离为 t，球 O 的半径为 R，
有 ， ，
在 和 中，由勾股定理，得 ，
解得 ，所以 ，
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所以球 O 的表面积为 .
故选：B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知 （常数 ）的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等，则（ ）
A.
B. 展开式中奇数项的二项式系数的和为 256
C. 展开式中 的系数为
D. 若展开式中各项系数的和为 1024，则第 6 项的系数最大
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意写出展开式的通项，根据组合数的对称性、二项式系数之和、赋值法以及二项式系数的单
调性，逐项检验，可得答案.
【详解】由 ，则其展开式的通项为 ，
对于 A，根据题意可得 ，由组合数的性质可知 ，故 A 正确；
对于 B，由 ，则展开式中奇数项的二项式系数之和为 ，故 B 错误；
对于 C，由 解得 ，则展开式中 的系数为 ，故 C 正确；
对于 D，令 ，则展开式中各项系数之和 ，解得 ，
可得展开式的通项为 ，即每项系数均为该项的二项式系数，
易知展开式中第 项为二项式 的中间项，则其系数最大，故 D 正确.
故选：ACD.
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10. 设 ，已知函数 （ ）
A. 在 上单调递减
B. 当 时， 存在最小值
C. 设 ，则
D. 设 ，若 存在最小值，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 A：取 ，画图即可判断，对于 B，由函数单调性即可判断；对于 C,数形结合即可判断，
对于 D：先分析 的图象，结合图象可知，要使 取得最小值，则点 在 上，
点 在 ，分析可解.
【详解】对于 A，取 ，画出函数图象，
可知 在 不是单调递减；故 A 错误；
对于 B：对于 B，当 时，
当 时， ；
当 时， 显然取得最小值 ；
当 时， ，
综上： 取得最小值 ，故 B 正确；
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对于 C，结合图像，
易知在 ， 且接近于 处， 的距离最小，
当 时， ，当 且接近于 处， ，
此时， ，故 C 正确；
依题意， ，
当 时， ，易知其图象为一条端点取不到的单调递减的射线；
当 时， ，易知其图象是，圆心为 ，半径为 的圆在 轴下方的图象（即
半圆）；
当 时， ，易知其图象是一条端点取不到的单调递增的曲线；
因为 ，
结合图象可知，要使 取得最小值，则点 上，
点 在 ，
同时 的最小值为点 到 的距离减去半圆的半径 ，
此时，因为 的斜率为 ，则 ，
故直线 的方程为 ，
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联立 ，解得 ，则 ，
显然要保证 在 上，才能满足 取得最小值，
所以只需 ，即 都可满足题意，保证 ，
否则 无最小值，故 .D 正确；
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：D 选项，解决的关键求出 ，且 上，从而可得
的取值范围.
11. 已知曲线 C 的方程为 ，下列说法正确的有（）
A. 曲线 C 关于直线 对称
B. ，
C. 曲线 C 被直线 截得的弦长为
D. 曲线 C 上任意两点距离的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，根据对称的理解，进行运算即可判断 A；对于 B，通过分析方程的特征可求出 的范
围；对于 C，求出直线和曲线的交点，用两点间的距离公式即可求解；对于 D，对方程进行变形可知曲线 C
为椭圆，结合椭圆的形状判断即可.
【详解】选项 A：将方程中的 和 互换，得到 ，与原方程一致，因此曲线关于直线
对称，A 正确；
选项 ：通过分析方程 ，设固定 ，解关于 的二次方程，判别式要求 ，
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得 ，即 ，超出 ，同理 范围也超过 ，B 错误；
选项 C：将直线 代入曲线方程，解得交点为 和 ，
故弦长为 ，C 正确；
选项 D： 则 即
又 ，即 ，
则
同理可得： ，
则曲线 的上任一点 到 的距离之和为：
曲线 表示以 为焦点且 的椭圆，则 ，
则线段 的最大值为 正确；
故选：ACD
【点睛】点睛：关键点点睛：对于 D 选项，关键是对曲线方程进行变形，进行明确该曲线方程表示的是椭
圆，利用椭圆的性质求解即可.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知集合 ，则 _____．
【答案】
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【解析】
【分析】根据集合补集的定义，即可求得答案.
【详解】由题意知集合 ，则 ，
故答案 ：
13. 已知 是棱长为 的正四面体 ，设 的四个顶点到平面 的距离所构成的集合为 ，若 中
元素的个数为 ，则称 为 的 阶等距平面， 为 的 阶等距集.如果 为 的 1 阶等距平面且 1 阶
等距集为 ，则符合条件的 有__________个， 的所有可能取值构成的集合是__________.
【答案】 ①. 7 ②.
【解析】
【分析】分两种情况得出 的所有可能值以及相应的 的个数；
【详解】①情形一：分别取 的中点 ，
由中位线性质可知 ，
此时平面 为 的一个 1 阶等距平面，
为正四面体高的一半，等于 .
由于正四面体有 4 个面，这样的 1 阶等距平面 平行于其中一个面，有 4 种情况；
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②情形二：分别取 的中点
将此正四面体放置到棱长为 1 的正方体中，
则 为正方体棱长的一半，等于 .
由于正四面体的六条棱中有 3 组对棱互为异面直线，
这样的 1 阶等距平面 平行于其中一组异面直线，有 3 种情况.
综上，当 的值为 时， 有 4 个；当 的值为 时， 有 3 个.
所以符合条件的 有 7 个， 的所有可能取值构成的集合是 ；
故答案为：7；
14. 已知四棱柱 中，底面 是平行四边形， ， 底面 ，
，点 是四棱柱 表面上的一个动点，且直线 与 所成的角
为 ，则点 的轨迹长度为______．
【答案】
【解析】
【分析】先结合四棱柱与圆锥的结构特征确定点 的轨迹，再数形结合求点 的轨迹长度.
【详解】第一步：结合四棱柱与圆锥的结构特征确定点 的轨迹
因为 ，所以直线 与 所成的角为 ，
因为 底面 ，所以点 的轨迹是以 为轴（其中 为顶点， 为底面圆心），母线与轴所成
角为 的圆锥的侧面与四棱柱 的表面的交线．（关键：由相交的两条直线的夹角为定值，
能联想到圆锥的母线与轴之间的位置关系，从而找到点 的运动轨迹）
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第二步：数形结合求点 的轨迹长度
如图，在线段 和 上分别取点 ，使得 ，（提示：因为 ，且 与
所成的角为 ，所以计算可得圆锥的底面半径为 3，故取 ）
连 接 ， 则 点 在 四 边 形 与 四 边 形 上 的 运 动 轨 迹 为 线 段 和 ， 且
．
当 在 四 边 形 上 运 动 时 ， 其 轨 迹 是 以 为 圆 心 ， 3 为 半 径 的 圆 的 三 分 之 一 ．（ 提 示 ：
，故符合要求的弧长为圆的 ）
综上，点 的轨迹长度为 ．
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合四棱柱与圆锥的结构特征确定点 的
轨迹.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 记 的内角 ， ， 的对边分别 ， ， ，已知 ．
（1）求 ；
（2）设 是边 中点，若 ，求 ．
【答案】（1）
（2） ．
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及辅助角公式求解.
（2）利用和角的正弦公式求出 ，再利用向量数量积的运算律及正弦定理求解.
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【小问 1 详解】
在 中，由正弦定理及 ，
得 ，又 ，
则 ，而 ，
化简得 ，即 ，而 ，因此 ，
所以 .
【小问 2 详解】
在 中，由 ，得 ， ，
由正弦定理 ，得 ，由 是边 中点，得 ，
则 ，因此 ，
在 中，由正弦定理 ，得 .
16. 现市场上治疗某种疾病的药品有 两种，其治愈率与患者占比如表所示，为试验一种新药 ，在有
关部门批准后，某医院把此药给 100 个病人服用．设药 的治愈率为 ，且每位病人是否被治
愈相互独立．
A B C（新药）
治愈率
患者占比
（1）记 100 个病人中恰有 80 人被治愈的概率为 ，求 的最大值点 ；
（2）设用新药 的患者占比为 （药品 减少的患者占比，均为新药 增加占比的一半，
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，以（1）问中确定的 作为 的值，从已经用药的患者中随机抽取一名患者，求该患者痊愈
的概率（结果用 表示）
（3）按照市场预测，使用新药 的患者占比 能达到 以上，不足 的概率为 ，不低于 且
不超过 的概率为 ，超过 的概率为 ，某药企计划引入药品 的生产线，但生产线运行的条数
受患者占比的影响，关系如下表：
患者占比
最多投入生产线条
1 2 3 数
若某条生产线运行，年利润为 1000 万，若某条生产线未运行，年亏损 300 万，欲使该药企生产药品 的年
总利润均值最大，应引入几条生产线？
【答案】（1）
（2）
（3）引入两条生产线
【解析】
【分析】（1）由题意，得到 的解析式，对函数 进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而可
解；
（2）设事件 为“从患者人群中抽一名痊愈者”，事件 为“该患者服用药品 治疗”，事件 为“该患者
服用药品 治疗”，事件 为“该患者服用药品 治疗”，代入概率公式求解即可；
（3）设随机变量 为生产药品 产生的年利润，分别讨论投入 1 条，2 条，3 条生产线时所对应的概率，
代入期望公式求解，比较大小即可得解.
【小问 1 详解】
100 个病人中恰好有 80 人被治愈的概率为 ，
则 ，
令 ，得 ，
当 时， 单调递增，
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当 时， 单调递减，
所以 的最大值点为 .
【小问 2 详解】
设事件 “从患者人群中抽一名痊愈者”，事件 “该患者服用药品 治疗”，
事件 “该患者服用药品 治疗”，事件 “该患者服用药品 治疗”，
则
因此：
所以 .
【小问 3 详解】
设随机变量 为生产药品 产生的年利润
①若投入 1 条生产线，由于服用药品 的患者的占比总大于 ，所以一条生产线总能运行，
此时对应的年利润
②若投入 2 条生产线，当 ，1 条生产线运行，
年利润 ，当 时，2 条生产线运行，
年利润 ，
此时 的分布列如下：
700 2000
所以 ；
③若投入 3 条生产线，当 时，1 条生产线运行，
年利润 ，
当 时 2 条生产线运行，年利润 ，
当 时，3 条生产线运行，年利润 ，
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此时 的分布列如下：
400 1700 3000
所以
综上所述，欲使该药企生产药品 的年度总利润均值最大，应引入两条生产线.
17. 已知函数 ．
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）当 时，求函数 的极值．
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由函数解析式明确定义域，并判断其奇偶性，根据化简后的解析式以及求导可得其单调性；
（2）由函数解析式明确定义域，并判断其奇偶性，利用导数与极值的关系以及分类讨论，可得答案.
【小问 1 详解】
由 ，则函数 ，易知其定义域为 ，
由 ，则函数 为偶函数，
当 时， ，显然当 时，函数 在 上单调递增，
当 时，求导可得 ，令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
综上，当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时，函数 在 与 上单调递增，在 与 上单调递减.
【小问 2 详解】
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由 时，则函数 ，可得 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域为 ，由（1）易知函数 为偶函数，
当 时，则函数 ，
当 时，函数 在 上单调递增，此时无极值；
当 时，求导可得 ，令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故函数 的极大值为 ，
由函数 为偶函数，则函数 的极大值为 ，
综上，当 时，函数 无极值；
当 时，函数 的极大值为 ，无极小值.
18. 在平行四边形 中（如图 1）， ， 为 的中点，将等边 沿 折起，
连接 ，且 （如图 2）．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）点 在线段 上，且满足 ，求平面 与平面 所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
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（3）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理和勾股定理证明 ，结合线面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可；
（3）由题意，求出 的坐标，利用空间向量法求解面面角即可.
【小问 1 详解】
如图，连接 ，则 ，
由余弦定理得 ，
在 中，有 ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 .
【小问 2 详解】
取 的中点 ，连接 ，则 ，
由（1）知 平面 .又 平面 ，
所以平面 平面 ，又平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，由 平面 ，得 ，
过 作 ，则 ，又 ，
建立如图空间直角坐标系 ，
则 ，
得 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
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则 ，令 ，则 ，
得 ，设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【小问 3 详解】
易知平面 的一个法向量为 .
由（2）知， ，
由 ，得 ，
所以 .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
得 ，设平面 与平面 所成角为 ，
则 ，
即平面 与平面 所成角的余弦值为 .
19. 已知抛物线 的焦点为 F，在第一象限内的点 和第二象限内的点 都在抛
物线 C 上，且直线 过焦点 F．按照如下方式依次构造点 ：过点 作抛物线 C 的切线
与 x 轴交于点 ，过点 作 x 轴的垂线与抛物线 C 相交于点 ，设点 的坐标为 ．用同样
的方式构造点 ，设点 的坐标为 ．
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（1）证明：数列 都是等比数列；
（2）记 ，求数列 的前 n 项和 ；
（3）证明：当 时，直线 都过定点．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求在点 的坐标，得到数列 的递推关系式，即可证明等比数列；
（2）根据（1）的结果求数列 的通项公式，再利用错位相减法求和；
（3）根据（2）的结果求点 ， 的坐标，再求直线 的直线方程，即可判断定点.
【小问 1 详解】
抛物线 C 的方程可化为 ，求导可得 ，
将点 的坐标代入抛物线 C 的方程，有 ，
过点 的切线的方程为 ，代入 ，有 ，
整理为 ，令 ，可得 ，有 ，
故数列 是公比为 的等比数列，
同理，数列 也是公比为 的等比数列；
【小问 2 详解】
由焦点 ，设直线 的方程为 ，
联立方程 消去 y 后整理为 ，有 ，
由数列 是公比为 的等比数列，有 ，
有 ，
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有 ，
两边乘以 ，有 ，
两式作差，有 ，
有 ，可得 ；
【小问 3 详解】
由（2）知，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，
令 ，有 ，
故当 时，直线 过定点 ．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据导数的几何意义判断数列 的递推关系式.
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