2022-2023学年山东省青岛九中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省青岛九中高一（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省青岛九中高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知i为虚数单位，复数z=i(a−2i)的虚部与实部互为相反数，则实数a=(    )
A. −1 B. −2 C. 1 D. 2
2. 圆锥和圆柱的底面半径、高都是R，则圆锥的表面积和圆柱的表面积之比为(    )
A. ( 2+1)：4 B. 2：2 C. 1：2 D. ( 2+1)：2
3. 中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等，如图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图：
则下列结论中不正确的是(    )
A. 这一星期内甲的日步数的中位数为11600
B. 乙的日步数星期四比星期三增加了1倍以上
C. 这一星期内甲的日步数的平均值大于乙
D. 这一星期内甲的日步数的方差大于乙
4. 已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足OP=16OB+16OC+23OA，则△ACP与△BCP面积比为(    )
A. 5：6 B. 1：4 C. 2：3 D. 1：2
5. 如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD=O，且AB⊥CD，SO=OB=3，SE=14SB.异面直线SC与OE所成角的正切值为(    )
A. 222
B. 53
C. 1316
D. 113
6. 已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品都不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是(    )
A. F与G互斥 B. E与G互斥但不对立
C. E，F，G任意两个事件均互斥 D. E与G对立
7. 如图，在△ABC中，BM=12BC，NC=λAC，直线AM交BN于点Q，若BQ=57BN，则λ=(    )
A. 35
B. 25
C. 23
D. 13
8. 我国古代的数学著作《九章算术⋅商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC−A1B1C1所得截面图形的面积为(    )
A. 2 213 B. 4 213 C. 2 73 D. 4 73

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 某团队共有20人，他们的年龄分布如表所示，
年龄
28
29
30
32
36
40
45
人数
1
3
3
5
4
3
1
有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有(    )
A. 众数是32 B. 众数是5 C. 极差是17 D. 25%分位数是30
10. 已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是(    )
A. 若m⊥n，m⊥α，n//β，则α⊥β
B. 若m⊥α，n//α，则m⊥n
C. 若m//α，m//n，则n//α
D. 若m//n，α//β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等
11. 已知向量a=(cosα,sinα)，b=(2,1)，则下列命题正确的是(    )
A. |a−b|的最大值为 5+1
B. 若|a+b|=|a−b|，则tanα=12
C. 若e是与b共线的单位向量，则e=(2 55, 55)
D. 当f(α)=a⋅b取得最大值时，tanα=12
12. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点P为线段BC1上的动点，则(    )
A. DP//平面AB1D1
B. D1P+CP的最小值为 1+ 2
C. 直线DP与平面ABCD、平面DCC1D1、平面ADD1A1所成的角分别为α，β，γ，则sin2α+sin2β+sin2γ=1
D. 点C关于平面AB1D1的对称点为M，则M到平面ABCD的距离为43
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量a=(5,5)，b=(λ,1)，若a+b与a−b的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______．
14. 已知我国某省二、三、四线城市数量之比为1：3：6.2022年3月份调查得知该省二、三、四线城市房产均价为0.8万元/平方米，方差为11.其中三、四线城市的房产均价分别为1万元/平方米，0.5万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市房产均价为______万元/平方米，二线城市房价的方差为______．
15. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3acosA=bcosC+ccosB，b+c=3，则a的最小值为______．
16. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，球的半径r=4，O1，O2分别为圆柱上、下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆O1的一条直径，若P为球面和圆柱侧面的交线上一动点，线段PE与PF的和为PE+PF，则PE+PF的取值范围为______ ．


四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
设向量a，b满足|a|=|b|=1，且|3a−2b|= 7．
(1)求a与b的夹角；
(2)求|2a+3b|的大小．
18. (本小题12.0分)
某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[90,100)，[100,110)，…，[140,150)后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求分数在[120,130)内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)估计本次考试的第50百分位数；
(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．

19. (本小题12.0分)
如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD是正方形，AD⊥DE，AD=4，DE=EF=2，且∠EDC=π3．
(Ⅰ)求证：AD⊥平面CDEF；
(Ⅱ)求直线BD与平面ADE所成角的正弦值；
(Ⅲ)设M是CF的中点，棱AB上是否存在点G，使得MG//平面ADE？若存在，求线段AG的长；若不存在，说明理由．

20. (本小题12.0分)
如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=π2，AB=3，BC=2，S△ABC=3 32且∠ABC为锐角．
(1)求DB；
(2)求△ACD的面积．

21. (本小题12.0分)
如图(1)，六边形ABCDEF是由等腰梯形ADEF和直角梯形ABCD拼接而成，且∠BAD=∠ADC=90°，AB=AF=EF=ED=2，AD=CD=4，沿AD进行翻折，得到的图形如图(2)所示，且∠AEC=90°．
(1)求二面角C−AE−D的余弦值；
(2)求四棱锥C−ADEF外接球的体积．
22. (本小题12.0分)
如图，在△ABC中，AB=mAC(m∈R)，AD是角A的平分线，且AD=kAC(k∈R)．
(1)若m=3，求实数k的取值范围；
(2)若BC=3，m≥2时，求△ABC的面积的最大值及此时k的值．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：复数z=i(a−2i)=2+ai，
∵复数z=i(a−2i)的虚部与实部互为相反数，
∴2=−a，即a=−2．
故选：B．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及实部、虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及实部、虚部的定义，属于基础题．

2.【答案】A 
【解析】解：由题意圆锥的表面积为：πR2+12× 2R×2πR=(1+ 2)πR2，
圆柱的表面积为：2πR2+π×2R×R=4πR2，
∴圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为：( 2+1)：4．
故选：A．
直接求出圆锥或圆柱的表面积，即可确定二者的比值．
本题考查圆锥、圆柱的表面积，正确应用面积公式是解题的关键，考查计算能力，是基础题．

3.【答案】B 
【解析】解：对于A，甲的频数从小于大为：2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800，
中位数是11600，故A正确；
对于B，乙的暑期三步数7030，星期四12970，
∵129707030≈1.84x−乙，故C正确；
对于D，S甲2=17[(16000−11000)2+(7965−11000)2+(12700−11000)2+(2435−11000)2+(16800−11000)2+(9500−11000)2+(11600−11000)2]≈147951678.57．
S乙2=17[(14200−10500)2+(12300−10500)2+(7030−10500)2+(12970−10500)2+(5340−10500)2+(11600−10500)2+(10060−10500)2]≈7462842.86，
∴S甲2>S乙2，故D正确．
故选：B．
利用中位数的定义判断A；乙的暑期三步数7030，星期四12970，没有增加1倍以上，判断B；由平均数定义判断C；由方差定义判断D．
本题考查命题真假的判断，考查折线统计图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4.【答案】B 
【解析】解：如图，

∵O是△ABC的重心，
∴OA+OB+OC=0，∴OB+OC=−OA，
∵OP=16OB+16OC+23OA，
∴6OP=OB+OC+4OA，
∴6OP=3OA，即2OP=OA，
∴点P为OA的中点，
即点P，O为BC边中线AD的两个三等分点，
∴S△ACP=13S△ACD=16S△ABC，S△BCP=23S△ABC，
∴S△ACPS△BCP=16×32=14．
故选：B．
利用三角形重心的性质，可得2OP=OA，从而得到点P，O为BC边中线的两个三等分点，求解即可．
本题主要考查了三角形重心的性质，平面向量的线性运算，属于中档题．

5.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了异面直线所成角的定义及求法，直角三角形的边角关系，正切函数的定义，平行线分线段成比例的定理，考查了计算能力，属于基础题．
可过点S作SF//OE，交AB于点F，并连接CF，从而可得出∠CSF(或其补角)为异面直线SC与OE所成的角，根据条件即可求出SC=3 2,SF=CF= 10，这样即可得出tan∠CSF的值．
【解答】
解：如图，过点S作SF//OE，交AB于点F，连接CF，
则∠CSF(或其补角)即为异面直线SC与OE所成的角，
∵SE=14SB，∴SE=13BE，
又OB=3，∴OF=13OB=1，
SO⊥OC，SO=OC=3，∴SC=3 2；
SO⊥OF，SO=3，OF=1，∴SF= 10；
OC⊥OF，OC=3，OF=1，∴CF= 10，
∴等腰△SCF中，tan∠CSF= ( 10)2−(3 22)23 22= 113．
故选：D．
  
6.【答案】D 
【解析】解：E和G对立，E和F互斥，
G包含F，
故ABC错误，D正确．
故选：D．
根据互斥事件和对立事件的定义判断即可．
本题考查了对立事件和互斥事件的定义，是基础题．

7.【答案】A 
【解析】解：根据图示可知，A，M，Q三点共线，由共线定理可知，
存在实数μ使得BQ=μBM+(1−μ)BA，
又BM=12BC,BQ=57BN，所以57BN=12μBC+(1−μ)BA，
又A，N，C三点共线，所以57=12μ+1−μ，解得μ=47，
即可得BN=25BC+35BA，所以(BA+AN)=25(BA+AC)+35BA，
所以AN=25AC，即AC−NC=25AC，可得NC=35AC，
又NC=λAC，即可得λ=35．
故选：A．
由A，M，Q三点共线可得存在实数μ使得BQ=μBM+(1−μ)BA，再由A，N，C三点共线可解得μ=47，利用向量的线性运算化简可得NC=35AC，即λ=35．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．

8.【答案】A 
【解析】解：延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，
连结PM，与B1C1交于点E，连结NE，
得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC−A1B1C1所得截面图形，
由题意得NE=ME= 173，AM=AN= 5，MN= 6，
∴AMN截“堑堵”ABC−A1B1C1所得截面图形面积为：
S=12× 6× ( 5)2−( 62)2+12× 6× ( 173)2−( 62)2=2 213．
故选：A．
延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连结PM，与B1C1交于点E，连结NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC−A1B1C1所得截面图形，由此能求出结果．
本题考查平面截“堑堵”所得截面图形的面积的求法，考查“堑堵”性质、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

9.【答案】ACD 
【解析】
【分析】
本题考查了众数、极差和百分位数的应用问题，是基础题．
根据表中数据，分别计算这组数据的众数、极差和百分位数即可．
【解答】
解：根据表中数据知，这20个人年龄的众数是32，选项A正确、B错误；
极差是45−28=17，选项C正确；
因为20×25%=5，所以25%分位数是30，选项D正确．
故选：ACD．
  
10.【答案】BD 
【解析】解：若m⊥n，m⊥α，n//β，可得α//β，或α，β相交，故A错误；
若m⊥α，n//α，由线面平行和线面垂直的性质可得m⊥n，故B正确；
若m//α，m//n，则n可以在α内，故C错误；
由m//n，α//β，由线面角的定义和面面平行的性质，可得m与α所成的角和n与β所成的角相等，故D正确．
故选：BD．
由线面垂直和平行的性质，以及面面的位置关系，可判断A；由线面平行和线面垂直的性质，可判断B；由线面平行的性质和面面的位置关系，可判断C；由线面角的定义和面面平行的性质，可判断D．
本题考查空间中线线、线面和面面的位置关系，考查推理能力，属于基础题．

11.【答案】AD 
【解析】
【分析】
本题考查向量的模定义，辅助角公式，向量数量积的定义与性质，属于中档题．
对A选项，利用向量的模定义，辅助角公式构建α的三角函数模型，再利用函数思想即可求解；对B选项，两边平方化简得a⋅b=0，从而建立α的方程，最后求出tanα；对C选项，根据单位向量的定义，数乘的概念即可求解；对D选项，先利用数量积定义，辅助角公式化简f(α)，即可求解．
【解答】
解：
对A选项，|a−b|=|(cosα−2,sinα−1)|
= (cosα−2)2+(sinα−1)2= 6−(4cosα+2sinα)
= 6−2 5sin(α+β)，其中tanβ=2，α∈R，
∴当sin(α+β)=−1时，|a−b|取得最大值 6+2 5= 5+1，故A选项正确；
对B选项，若|a+b|=|a−b|，等式两边平方整理得a⋅b=0，
∴2cosα+sinα=0，∴tanα=−2，故B选项错误；
对C选项，与b共线的单位向量e=±b|b|
=±1 5(2,1)=(2 55, 55)或(−2 55,− 55)，故C选项错误；
对D选项，∵f(α)=a⋅b=2cosα+sinα= 5sin(α+θ)，其中tanθ=2，α∈R，
∴当α+θ=π2+2kπ，(k∈Z)时，sin(α+θ)=1，f(α)取得最大值 5，
此时α=π2−θ+2kπ，k∈Z，其中tanθ=2，
∴tanα=tan(π2−θ+2kπ)=tan(π2−θ)=1tanθ=12，故D选项正确．
故选：AD．
  
12.【答案】ACD 
【解析】解：对于A，如图车接DB，DC1，AB1，AD1，B1D1，

在正方体ABCD−A1B1C1D1中，因为AB//DC，AB=D1C1，
所四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1//BC1，
又BC1⊂平面BC1D，AD1⊄平面BC1D，所以AD1//平面BC1D，
同理可得D1B1//DB，又DB⊂平面BC1D，D1B1⊄平面BC1D，
所以D1B1//平面BC1D，由AD1∩D1B1=D1，AD1，D1B1⊂平面AB1D1，
所以平面BC1D//平面AB1D1，因为DP⊂平面BC1D，所以DP//AB1D，故A正确；
对于B，如图将平面D1C1B和平面BC1C展开到同一个平面，连接D1C，

D1P+CP的最小值即为D1C，在正方体可得D1C1⊥平面BC1C，
C1B⊂平面BC1C，所以D1C1⊥C1B且C1C=BC，C1C⊥BC，所以∠BC1C=π4，
则平面中∠D1C1C=3π4，
由余弦定理得D1C2=D1C12+C1C2−2D1C1⋅C1C⋅cos∠DCC=1+1−2×1×1×(− 22)=2+ 2，
即DC= 2+ 2，故B错误；
对于C，如图，过P作PN⊥C1C于N，PE⊥BC于E，PQ⊥平面ADD1A1于Q，
连接OD，DE，DN，PC，
 
由正方体易得PN⊥平面DCC1D1，PE⊥平面ABCD，
又直线DP与平面ABCD、平面DCC1D1、平面ADD1A1所成的角分别为α，β，γ，
sinα=sin∠PDE=PEPD，sinβ=sin∠PDN=PNPD，sinr=sin∠PDQ=PQPD，
则sin2α+sin2β+sin2γ=(PEPD)2+(PNPD)2+(POPD)2=PE2+PN2+PQ2PD2，
因为PQ⊥平面ADD1A1，CD⊥平面ADD1A1，则PQ//CD，且PQ=CD，
所以四边形PQDC为平行四边形，所以DQ=PC，
又在矩形PNCE中可得PE2+PN2=PE2+BC2=PC2，所以PB2+PN2=DQ2，
在Rt△PQD中，DQ2+PQ2=PD2，所以PE2+PV2+PQ2=PD2，
即sin2α+sin2β+sin2r=1，故C正确；
对于D，连接AC，D1C，A1C1，连接A1C交平面AB1D1于F，过F作FH//AC交AC于H，

在正方体中可得，A1C1⊥B1D1，CC1⊥平面A1B1C1D，因为B1D1⊂平面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1D1，CC1∩AC1=C1，CC1，A1C1⊂平面A1C1C，
所以B1D1⊥平面A1C1C，又A1C⊂平面A1C1C，
所以B1D1⊥A1C，同理可得AD1⊥A1C，
因为AD1∩B1D1=D1，AD，B1D1⊂平面AB1D1，所以A1C⊥平面AB1D1，即A1F⊥平面AB1D1，
因为正方形的面对角线AD1=B1D1=AB1= 2，所以△AB1D1为正三角形，又VA1−AB1D1=VA−A1B1D1，
∴13S△AB1D1⋅A1F=13S△A1B1D1⋅AA1，则AF=S△A1B1D1⋅AA1S△AB1D1=12×1×1×1×112× 2× 2×sinπ3= 33，
因为正方体的体对角线A1C= 3，所以A1F=13AC，因为FH//AC，
所以FHA1A=CFA1C=23，即FH=23，因为AA1⊥平面ABCD，
所以F到平面ABCD的距离为23，由于点C关于平面AB1D1的对称点为M，
则F为CM中点，于是M到平面ABCD的距离为43，故D．
故选：ACD．
根据正方体的几何性质结合线面平行判定定理、勾股定理、余弦定理、线面夹角的定义、点到平面的距离，逐项分析解答即可得答案．
本题考查空间几何体的性质，考查运算求解能力，考查推理论证能力，属中档题．

13.【答案】(−7,1)∪(1,7) 
【解析】解：a+b=(λ+5,6),a−b=(5−λ,4)，
∵a+b与a−b的夹角是锐角，
∴(a+b)⋅(a−b)>0，且a+b与a−b不共线，
∴(λ+5)(5−λ)+24>04(λ+5)−6(5−λ)≠0，解得−7