2024-2025学年山东省青岛实验高级中学(山东省青岛第十五中学)高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省青岛实验高级中学(山东省青岛第十五中学)高一下学期期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i为虚数单位，复数z满足z1+i=2，则|z|=( )
A. 2B. 1C. 22D. 12
2.已知AB=1,csα，BC=(2,0)，CD=2,2sinα，若A，B，D三点共线，则tanα=( )
A. −2B. 2C. 12D. −12
3.圆锥的底面半径为a，侧面展开图是半圆面，那么此圆锥的侧面积是
A. 2πa2B. 4πa2C. πa2D. 3πa2
4.已知点G是▵ABC的外心，2GA+AB+AC=0，若AB=(1,2)，AC=(−2,m)，则实数m的值为( )
A. 14B. 13C. 12D. 1
5.一个侧棱长为2 3的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形O′A′B′C′，其中O′A′=2，则该直棱柱的体积为( )
A. 4 3B. 8 3C. 16 3D. 32 3
6.把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sinx−π4的图像，则f(x)=( )
A. sinx2−7π12B. sinx2+π12C. sin2x−7π12D. sin2x+π12
7.一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1=18，底面▵ABC边AB上的高为ℎ.当底面ABC水平放置时水面高度为16(如图①).当侧面AA1B1B水平放置时(如图②)，水面高度为( )
A. 13ℎB. 12ℎC. 22ℎD. 23ℎ
8.如图，圆M为▵ABC的外接圆，AB=4，AC=6,N为边BC的中点，则AN⋅AM=( )
A. 10B. 13C. 18D. 26
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(−4,3)，b=(7,1)，下列说法正确的是( )
A. a+b⊥aB. a−b=125
C. 与向量a平行的单位向量是−45,35D. 向量a在向量b上的投影向量为−12b
10.下列四个命题中为假命题的是( )
A. 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B. 过空间中任意三点有且仅有一个平面
C. 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
D. 通过圆锥两母线的截面面积中，最大的是轴截面面积
11.如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=4，AD=3，CD=2，AM=2MD，AC⋅BM=−4，AC交BM于O，则( )
A. AO=12AC B. DO=−23AD+14AB C. AB⋅AD=3 D. BC= 10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量OA，OB对应的复数分别是1−i，−1+2i，则向量CD对应的复数是 ．
13.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm3．
14.某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m，24min转动一圈.若该摩天轮上一吊箱B(视为质点)从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为 (单位：min)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z在复平面上对应点在第一象限，且|z|= 2，z2的虚部为2．
(1)求复数z；
(2)设复数z、z2、z−z2在复平面上对应点分别为A、B、C，求AB⋅AC的值．
16.(本小题15分)
为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得∠BAC=30°，∠DAC=45°，∠ABD=45°，∠DBC=75°，同时测得AB= 3海里．

(1)求AD的长度；
(2)求C，D之间的距离．
17.(本小题15分)
设▵ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin2A−sin2B=sinCsinC−sinB．
(1)求角A的值；
(2)若c=2，b=5．AB，AC边上的两条中线CM，BN相交于点P，求cs∠MPN．
18.(本小题17分)
蚊子是多种疾病的传播媒介，对人畜都有较大的危害.某热带养殖场为检测蚊虫密度，在养殖区悬挂多盏诱蚊灯，去年每月收集28天，连续检测了12个月，其中5月份蚊虫最多，11月份最少，由于工作人员不小心，某些月份数据丢失，保留的月份t(1≤t≤12)及每月对应的蚁虫密度值y的数据如下表；
(1)从y=at+b(a>0，且a≠1),y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,−π0,ω>0,−π0，且a≠1)均为单调函数，
所以y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,−π