2024-2025学年山东省青岛实验高级中学高二（下）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省青岛实验高级中学高二（下）第一次月考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若(1+2x)3(x−2)4=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a0+a2+a4+a6=( )
A. 27B. −27C. 54D. −54
2.函数f(x)=x3+ax2+bx+a2(a,b∈R)在x=0处取得极大值9，则a+b=( )
A. 3B. −3C. −3或3D. 0
3.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有( )
A. 8种B. 14种C. 20种D. 116种
4.若函数f(x)=x−5x−alnx在[1,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A. [−2 5,2 5]B. (−∞,2 5]C. (−∞,6]D. (0,6]
5.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c，设g(x)=e−x⋅f(x)，若函数g(x)的导函数g′(x)图象如图所示，则( )
A. acC. ba>1，b=cD. ba0时，xf′(x)+f(x)>0，且f(1)=0，则不等式f(x)>0的解集为( )
A. (−∞,−1)∪(1,+∞)B. (−∞,−1)∪(0,1)
C. (−1,0)∪(0,1)D. (−1,0)∪(1,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数的导数运算正确的是( )
A. (xex)′=ex+xexB. ( x+1)′=12 x+1
C. (sinxcsx)′=−1cs2xD. [lg(2x)]′=1xln10
10.已知函数f(x)=−x2lnx，则( )
A. f(x)≤0恒成立B. f(x)是(0,+∞)上的减函数
C. f(x)在x=e−12得到极大值12eD. f(x)在区间(1 e,e)内只有一个零点
11.已知函数f(x)=x2−ax−lnx，下列命题正确的是( )
A. 若x=1是函数f(x)的极值点，则a=1
B. 若f(x)在(1,+∞)上单调递增，则a≥1
C. 若f(1)=2，则f(x)≥74恒成立
D. 若(x−1)lnx≥f(x)在x∈[1,2]上恒成立，则a≥2−ln2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(1+2x−x2)5展开式中含x4的项的系数是______．
13.为方便广大人民群众就医，普及医疗健康知识，社区组织“义诊下乡行”活动，某医疗队伍有5名医生需分配到3个志愿团队，每个志愿队至少分配一名医生，甲医生被分到A志愿队的方法有 种.(用数字作答)
14.若函数f(x)=lnx，g(x)=13x3对任意的x1>x2>0，不等式m>x1f(x1)−x2f(x2)g(x1)−g(x2)恒成立，则实数m的最小值为______．
四、解答题：本题共3小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知(ax2+1x)n的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为−1．
(1)求n和a的值；
(2)求(2x−1x2)(ax2+1x)n的展开式中的常数项．
16.(本小题16分)
已知函数f(x)=x3−3kx+2，k∈R．
(1)若x=−2是函数f(x)的极值点，求k的值，并求其单调区间与极值；
(2)若函数f(x)在[0,2]上仅有2个零点，求k的取值范围．
17.(本小题16分)
已知函数f(x)=lnx−ax+a，g(x)=(x−1)ex−a−ax+1(a∈R)．
(1)若f(x)≤0，求a的值；
(2)当a∈(0,1]时，证明：g(x)≥f(x)．
参考答案
1.B
2.B
3.B
4.B
5.D
6.A
7.B
8.A
9.ABD
10.CD
11.AD
12.−125
13.50
14.e2
15.解：(1)∵由条件可得2n=128(a+1)n=−1，
∴解得n=7a=−2．
(2)(2x−1x2)(ax2+1x)n=(2x−x−2)(−2x2+x−1)7．
∵(−2x2+x−1)7展开式的通项为：
Tk+1=C7k(−2x2)7−k(x−1)k=C7k(−2)7−kx14−3k．
∴①当14−3k=−1即k=5时，2x⋅C75(−2)2x−1=168；
②当14−3k=2即k=4时，−x−2⋅C74(−2)3x2=280；
∴所求的常数项为168+280=448．
16.解：(1)f′(x)=3x2−3k，∵x=−2是函数f(x)的极值点，
∴f′(−2)=12−3k=0，解得k=4，
∴f′(x)=3(x+2)(x−2)，
可知：x=−2是函数f(x)的极大值点，满足题意．∴k=4．
令f′(x)>0可得x>2或x0)，
φ(x)=ℎ′(x)=xex−a−1x，x∈(0,+∞)，则φ′(x)=(1+x)ex−a+1x2>0，
∴φ(x)即ℎ′(x)在(0,+∞)上单调递增，
又a∈(0,1]，ℎ′(12)=12e12−a−20，则f(x)0，t(1)=0，
∴当x∈(12,1]时，t(x)≥0，
故ℎ(x)min=ℎ(x0)≥0，即ℎ(x)≥0，
∴当a∈(0,1]时，g(x)≥f(x)成立．