2024-2025学年广东省深圳外国语学校高中园高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省深圳外国语学校高中园高一下学期期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z1=1+i，z2=3−2i，则z1+z2=( )
A. 4+iB. 2−3iC. 4−iD. −2+3i
2.如图所示，用符号语言可表达为( )
A. α∩β=m，n⊂α，m∩n=AB. α∩β=m，n∈α，m∩n=A
C. α∩β=m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD. α∩β=m，n∈α，A∈m，A∈n
3.若e1,e2是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是( )
A. e1⃗−e2⃗,e2⃗−e1⃗B. e1+e2,e1+3e2
C. 2e2−3e1,6e1−4e2D. 2e1−e2,e1−12e2
4.如图，矩形O′A′B′C′是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O′A′=4,O′C′=1，那么▱OABC的面积为( )
A. 4B. 4 2C. 8D. 8 2
5.已知a=(2,1),b=(3,5)，则b−a在a上的投影向量为( )
A. 15,25B. 45,25C. 85,45.D. 125,65
6.如图，在▵ABC中，D为BC的三等分点且靠近C点，E为AD的中点，设AB=a，AC=b，则向量AE=( )
A. 12a+14bB. −56a+13bC. 13a−56bD. 16a+13b
7.已知向量a=(1,−1),b=(−1,3)，若a与a+λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为( )
A. λ>12B. λ>12且λ≠1C. λ12．

16.【详解】(1)若四面体A−B1CD1各棱长均为 2，
则长方体ABCD−A1B1C1D1为棱长为1的正方体，且四面体A−B1CD1为正四面体，
所以SA−B1CD1=4×12× 2× 2×sin60°=4×12× 2× 2× 32=2 3，
VA−B1CD1=VABCD−A1B1C1D1−4VB1−ABC=13−4×13×12×1×1×1=13；
(2)由于四面体A−B1CD1的四个顶点均为长方体ABCD−A1B1C1D1的顶点，
所以四面体A−B1CD1外接球与长方体的外接球是同一个球，
设此四面体所在长方体的棱长分别为DA=a，DD1=b，DC=c，
则a2+b2=3a2+c2=4b2+c2=5，解得a2=1b2=2c2=3,
设长方体ABCD−A1B1C1D1外接球的半径为R，则(2R)2=a2+b2+c2=6，则R2=32，
所以外接球的表面积为4πR2=6π．

17.【详解】(1)因为BC=23AD，所以BC//AD，所以BC//AD，
因为BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以BC//平面PAD．
(2)
存在，且当点N为AD上靠近D点三等分点时，即ANAD=23时，平面CEN//平面PAB．
下面给出证明：
因为BC=23AD，所以BC//AD，BC=23AD，
又因为点N为AD上靠近D点三等分点，所以AN=23AD，
所以BC//AN,BC=AN，
所以四边形ABCN为平行四边形，
所以CN//AB，
又因为CN⊄面PAB，AB⊂面PAB，
所以CN//面PAB，
因为E在棱PD上且PE=2ED，即DE=13PD，
又因为ND=13AD，
所以▵END∼△PAD，
所以EN//PA，
又EN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
所以EN//平面PAB，
又因为CN⊂平面CEN，EN⊂平面CEN，CN∩EN=N，
所以平面CEN//平面PAB．

18.【详解】(1)因为向量a=(0,2)，b=(1,m)，且a与b的夹角为π4，
所以csπ4=a⋅bab=2m2 1+m2=m 1+m2= 22，解得m=1，
所以b=(1,1)，
所以a+2b=(0,2)+2(1,1)=(2,4)，
所以a+2b= 22+42= 20=2 5；
(2)因为向量4a+kb与ka+b方向相反，
所以存在μ0，且a−λb与a+b的不共线，
由a−λb⋅a+b>0，得−λ+3(2−λ)>0，解得λ