2024-2025学年广东省深圳外国语学校高中园高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省深圳外国语学校高中园高二（上）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在直角坐标系中，直线x+ 3y−3=0的倾斜角是( )
A. 150°B. 60°C. 30°D. 120°
2.若圆x2+y2−2x−5=0与圆x2+y2+2x−4y−4=0相交于A、B，则AB所在直线方程是( )
A. 4x−4y+1=0B. 4x−4y−1=0C. x+y−1=0D. x−y+1=0
3.已知空间向量a=(1,n,2)，b=(−2,1,2)，若a与b垂直，则|a|等于( )
A. 5B. 7C. 3D. 41
4.已知双曲线C：y29−x27=1，则下列选项中不正确的是( )
A. C的焦点坐标为(±4,0)B. C的顶点坐标为(0,±3)
C. C的离心率为43D. C的虚轴长为2 7
5.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一.且其导函数y=f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
A. B.
C. D.
6.在等差数列{an}中，a2+a5=7，a7+a10=25，则a6=( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
7.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，连接AF2并延长交椭圆C于另一点B，若F1B：F2B=7：3，则椭圆C的离心率为( )
A. 14B. 13C. 12D. 33
8.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，G，E分别是CC1，AB的中点，P是四边形CC1D1D内一动点，BF=34BC，若直线AP与平面EFG没有公共点，则线段AP的最小值为( )
A. 35
B. 4 7
C. 5 5
D. 4 355
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若对空间中任意一点O，有OP=12OA+13OB+14OC，则P，A，B，C四点共面
B. 已知两个向量a=(1,m,3)，b=(5,−1,n)，且a//b，则mn=−3
C. 若a⊥b，则x1x2+y1y2+z1z2=0
D. 已知a=(0,1,1)，b=(0,0,−1)，则a在b上的投影向量为(0,−12,−12)
10.已知直线l：x+y+1=0，点P为⊙M：(x−1)2+(y−2)2=2上一点，则( )
A. 直线l与⊙M相离
B. 点P到直线l距离的最小值为2 2
C. 与⊙M关于直线l对称的圆的方程为(x+3)2+(y+2)2=2
D. 平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为2x+2y+1=0和2x+2y−5=0
11.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段(13,23)，记为第1次操作；再将剩下的两个区间[0,13]，[23,1]分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；…；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的区间长度记为φ(n)，则( )
A. φ(n+1)ϕ(n)=32B. ln[φ(n)]+12φ(2n)D. n2φ(n)≤64φ(8)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.以坐标原点为顶点，(−1,0)为焦点的抛物线的方程为______．
13.函数f(x)=exx+alnx在x=1处的切线与y=2x+5平行，则a= ______．
14.已知[x]为不超过x的最大整数，例如[0.2]=0，[1.2]=1，[−0.5]=−1，设等差数列{an}的前n项和为Sn=n2(1+an)且S5=15，记bn=[lg2an]，则数列{bn}的前100项和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知直线l：2x+3y−6=0．
(1)求过点P(2,3)，且与直线l平行的直线m的方程；
(2)直线l与圆C：x2+y2−2x−4y+4=0相交于A、B两点，求线段AB的长．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x3−3x2−9x+1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间和极值．
(2)若2a−1≤f(x)对∀x∈[−2,4]恒成立，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD⟂底面ABCD，M为PA的中点，PA=PD= 10．
(1)求证：PC//平面BMD；
(2)求二面角M−BD−P的大小．
18.(本小题15分)
已知数列{an}是等差数列，设Sn(n∈N∗)为数列{an}的前n项和，数列{bn}是等比数列，bn>0，若a1=3，b1=1，b3+a2=9，a5−2b2=a3．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{anbn}的前n项和；
(3)若cn=2Sn,n为奇数bn,n为偶数，求数列{cn}的前2n项和．
19.(本小题17分)
已知椭圆C的右焦点F(1,0)，且经过点A(−1,32)．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过右焦点F作直线l：y=k(x−1)，(k≠0)与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点．
(i)若△MON的面积为6 27，求直线l的方程；
(ii)是否存在椭圆C上一点Q及x轴上一点P(x0,0)，使四边形PMQN为菱形？若存在，求x0，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.A
2.A
3.C
4.A
5.D
6.C
7.C
8.D
9.BC
10.AC
11.BC
12.y2=−4x
13.2
14.480
15.解：(1)直线l的斜率为kl=−23，
∵l/​/m，∴直线m的斜率为km=−23，
∴直线m的方程为y−3=−23(x−2)，即2x+3y−13=0；
(2)由圆C：x2+y2−2x−4y+4=0，得(x−1)2+(y−2)2=1，
得圆心C(1,2)，半径r=1，
∴圆心C到直线l的距离d=|2×1+3×2−6| 22+32=2 13=2 1313，
∴|AB|=2 r2−d2=2 1−413=6 1313，
即线段AB的长为6 1313．
16.解：(1)因为f(x)=x3−3x2−9x+1(x∈R)，
则f′(x)=3x2−6x−9=3(x+1)(x−3)，
合f′(x)=0，可得x=−1或x=3，列表如下：
所以，函数f(x)的增区间为(−∞,−1)、(3,+∞)，减区间为(−1,3)，
函数f(x)的极大值为f(−1)=−1−3+9+1=6，极小值为f(3)=27−27−27+1=−26．
(2)由(1)可知，函数f(x)在区间[−2,−1]上单调递增，在[−1,3]上单调递减，在[3,4]上单调递增，
且f(−2)=−8−12+18+1=−1，故当x∈[−2,4]时，f(x)min=min{f(−2),f(3)}=f(3)=−26，
因为2a−1≤f(x)，对∀x∈[−2,4]恒成立，则2a−1≤f(x)min=−26，解得a≤−252，
因此，实数a的取值范围是(−∞,−252]．
17.(1)证明：如图所示，将四棱锥放入一个长方体ABCD−A1B1C1D1，
设长方体的高为ℎ，则ℎ2+4=10，∴ℎ= 6，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(0,4,0),,P(2,0, 6),M(1,0, 62),D(4,0,0),C(4,4,0)，
BM=(1,−4, 62),BD=(4,−4,0)，
设平面BMD的法向量为m=(x,y,z)，则BM⋅m=x−4y+ 62z=0BD⋅m=4x−4y=0，
据此可得平面BMD的法向量m=(1,1, 6)，
且PC=(2,4,− 6)，∴PC⋅m=0，
从而有PC//平面BMD．
(2)设平面BMP的法向量为n=(x2,y2,z2)，
则BD⋅n=(4,−4,0)⋅(x2,y2,z2)=4x2−4y2=0BP⋅n=(2,−4 6)⋅(x2,y2,z2)=2x2−4y2+ 6z2=0，
据此可得n=(3,3, 6)，
故二面角M−BD−P的余弦值为csθ=cs〈m,n〉=m⋅n|m|×|n|=12 8×26=128 3=32 3= 32，
则θ=π6．
18.解：(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
由于a1=3，b1=1，b3+a2=9，a5−2b2=a3．
故q2+3+d=93+4d−2q=3+2d，解得d=2q=2或d=−3q=−3(舍去)，
故an=2n+1，bn=2n−1，
(2)由(1)得：dn=anbn=(2n+1)⋅2n−1，
故Tn=3×1+5×2+...+(2n+1)⋅2n−1，①，
故2Tn=3×2+5×22+...+(2n+1)⋅2n，②，
①−②得：−Tn=3+2×2+2×22+...+2×2n−1−(2n+1)⋅2n；
整理得：Tn=(2n−1)⋅2n+1．
(3)设Sn(n∈N∗)为数列{an}的前n项和，所以Sn=n(n+2)，
故2Sn=1n−1n+2，
所以cn=1n−1n+2(n为奇数)2n−1(n为偶数)，
所以k2n=(1−13+13−15+...+12n−1−12n+1)+(21+23+...+22n−1)=1−12n+1+2×(4n−1)3=22n+1−23+1−12n+1．
19.解：(1)根据题目可知椭圆C的右焦点F(1,0)，且经过点A(−1,32)．
|AF1|+|AF|=2a， (1+1)2+(32)2+ (1−1)2+(32)2=4，
∴a=2，b= 3，
故椭圆C的标准方程为x24+y23=1；
(2)(i)由题：△MON的面积为6 27，
设斜率不存在时，SMON=32，不符题意，
设l方程为y=k(x−1)，(k≠0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

由y=k(x−1)3x2+4y2=12⇒(3+4k2)x2−8k2x+4k2−12=0，
x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2−124k2+3，
|MN|= 1+k2× (x1+x2)2−4x1⋅x2= 1+k2×12× k2+14k2+3=12k2+14k2+3，
原点O到直线的距离d=|k| k2+1，
SMON=12|MN|×d=6|k| k2+14k2+3=6 27，
解得：k=±1，直线方程为：x−y−1=0或x+y−1=0；
(ii)设MN的中点为S，则SP为MN的垂直平分线，

而x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2−124k2+3，
故xS=4k24k2+3，故yS=−3k4k2+3，
故SP的直线方程为：y=−1k(x−4k24k2+3)−3k4k2+3，
令y=0，则x0=k24k2+3，故xQ=7k24k2+3，yQ=−6k4k2+3，
而Q在椭圆上，故49k44(4k2+3)2+36k23(4k2+3)2=1，
整理得5k4+16k2+12=0，该方程无解，所以不存在满足条件的点P(x0,0)． x
(−∞,−1)
−1
(−1,3)
3
(3,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
增
极大值
减
极小值
增