2024-2025学年广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部高一下学期期中考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，▵O′A′B′是水平放置的▵OAB的直观图，则▵OAB的面积为( )
A. 6B. 9C. 12D. 15
2.已知平面向量a=(m,2),b=(2,1)，若a+b⊥a−b，则实数m=( )
A. −1B. 1C. −1或1D. 4
3.若一个扇形的弧长为4，面积为16，则这个扇形圆心角的弧度数是( )
A. 4B. 3C. 2D. 12
4.已知点P 32,12在角θ的终边上，且θ∈0,π2，则θ的值为( )
A. π4B. π6C. π3D. π2
5.已知向量a=(1,1)，b=(−1,1)，则向量a+b在向量b上的投影向量为( )
A. (1,1)B. (−1,1)C. (0,1)D. (0,0)
6.西安大雁塔始建于唐代永辉三年，是中国古代佛教建筑的杰作．若将大雁塔的塔身近似看成正四棱台，上下底面的边长分别为13m和25m，塔身高度为60m.则其体积约为( )m3．
A. 15880B. 22380C. 47640D. 67140
7.已知α∈π2,π，若csπ6−α= 23，则sinα+5π6的值为( )
A. 23B. − 23C. 73D. − 73
8.如图，已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1的高ℎ=4 6，且AB=2A1B1=8，则此正四棱台的外接球表面积为( )
A. 80πB. 91πC. 128πD. 182π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=1+i1−i，以下结论正确的是( )
A. z2025是纯虚数
B. z+i=2
C. z⋅z=−1
D. 在复平面内，复数z+z⋅i对应的点位于第三象限
10.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的是( )
A. e1+e2和e1−e2B. 3e1−4e2和6e1−8e2
C. e1+2e2和2e1+e2D. e1和e1+e2
11.在正方体ABCD−A1BC1D1中，M，N，P分别是AA1，CC1，C1D1的中点，Q是线段D1A1上异于端点的动点，则下列说法中正确的是( )
A. 直线MP与直线BN是异面直线
B. 直线MN与直线BP是相交直线
C. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
D. 存在点Q，使PQ//平面MBN
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.化简sin2α−π6+sin2α+π6−sin2α的结果是 ．
13.若向量a=(x,1)，b=(−4,2)且a与b的夹角是锐角，则实数x的取值范围是
14.已知在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，acsB=bcs∠BAC，M是BC的中点，若AM=4，则b+ 2c的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|0,ω>0,|φ|0,x>0)，
由|PB|+|PC|=2t|PA|，得m+n=2t，由余弦定理得
|AB|2=x2+m2x2−2mx2cs2π3=(m2+m+1)x2，
|AC|2=x2+n2x2−2nx2cs2π3=(n2+n+1)x2，
|BC|2=m2x2+n2x2−2mnx2cs2π3=(m2+n2+mn)x2，
相加得|AC|2+|AB|2=|BC|2，得(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mn)x2，
整理得m+n+2=mn，
于是m+n+2=mn≤(m+n2)2，当且仅当m=n，即m=n=1+ 3时取等号，
又m+n=2t,因为t2−2t−2≥0,而t>0,解得t≥1+ 3，所以实数t的最小值为1+ 3．