2022-2023学年广东省深圳外国语学校高一（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳外国语学校高一（下）期中数学试卷，共50页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）（2023春•龙华区校级期中）复数化简的结果是
A．B．C．D．
2．（5分）（2023•张掖模拟）已知向量，满足，且，则，夹角为
A．B．C．D．
3．（5分）（2023春•龙华区校级期中）函数图象的对称轴方程是
A．B．
C．D．
4．（5分）（2023春•龙华区校级期中）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为
A．B．
C．D．
5．（5分）（2021秋•扬州期末）若，则的最小值为
A．2B．3C．4D．5
6．（5分）（2023春•龙华区校级期中）如图，在正六边形中，
A．B．C．D．
7．（5分）（2018春•赣州期末）某游轮在处看灯塔在的北偏东，距离为海里，游轮由向正北方向航行到处时再看灯塔在南偏东，则与的距离为
A．20海里B．24海里C．海里D．海里
8．（5分）（2023春•龙华区校级期中）已知函数，．若有2个零点，则实数的最小值是
A．2B．0C．D．1
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）（2023春•辽宁期中）已知复数，则下列说法正确的是
A．
B．的虚部为
C．在复平面内对应的点在第一象限
D．的共轭复数为
10．（5分）（2021春•岳阳期末）在中，若，，，则的值可以是
A．B．C．D．
11．（5分）（2022秋•西湖区校级期末）函数，则以下结论中不正确的是
A．在上单调递增
B．为图象的一条对称轴
C．的最小正周期为
D．在上的值域是
12．（5分）（2023春•龙华区校级期中）函数，且（a）（b）（c），则
A．的值域为，
B．不等式的解集为，
C．
D．，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）（2022秋•西昌市期末）计算； ．
14．（5分）（2023春•龙华区校级期中）已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的表面积为 ．
15．（5分）（2023春•龙华区校级期中）求值 ．
16．（5分）（2023春•龙华区校级期中）如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）（2022春•满洲里市校级期末）已知复数，，为虚数单位．
（1）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围；
（2）若，求的共轭复数．
18．（12分）（2023春•龙华区校级期中）已知向量．
（1）已知且，求；
（2）已知，且，求向量与向量的夹角．
19．（12分）（2022秋•天河区校级期末）在中，，，且，求：
（1）求的值；
（2）求的面积．
20．（12分）（2021秋•南充期末）已知函数的部分图象，如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域．
21．（12分）（2023春•龙华区校级期中）如图，在平面四边形中，若，，，，．
（1）求；
（2）求证：．
22．（12分）（2022秋•西湖区校级期末）已知函数且．
（1）若函数为奇函数，求实数的值；
（2）对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
2022-2023学年广东省深圳外国语学校高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2023春•龙华区校级期中）复数化简的结果是
A．B．C．D．
【答案】
【考点】复数的运算
【专题】数系的扩充和复数；数学运算；转化法；转化思想
【分析】应用复数的乘除运算化简复数即可．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2．（5分）（2023•张掖模拟）已知向量，满足，且，则，夹角为
A．B．C．D．
【答案】
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算
【分析】根据向量的数量积及向量的夹角公式即可求解．
【解答】解：，且，
，
，
故选：．
【点评】本题考查向量的数量积及向量的夹角公式的应用，属基础题．
3．（5分）（2023春•龙华区校级期中）函数图象的对称轴方程是
A．B．
C．D．
【答案】
【考点】余弦函数的对称性
【专题】函数的性质及应用；转化思想；综合法；数学运算
【分析】采用整体对应法即可构造方程求得对称轴方程．
【解答】解：令，解得：，
的对称轴方程为．
故选：．
【点评】本题主要考查余弦函数的性质，属于基础题．
4．（5分）（2023春•龙华区校级期中）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为
A．B．
C．D．
【答案】
【考点】函数的图象变换
【专题】三角函数的图象与性质；数学运算；综合法；转化思想
【分析】直接按照平移变换规律即可得．
【解答】解：函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
则函数．
故选：．
【点评】本题考查平移变换规律，属于基础题．
5．（5分）（2021秋•扬州期末）若，则的最小值为
A．2B．3C．4D．5
【答案】
【考点】基本不等式及其应用
【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算
【分析】由可得，从而，进一步即可利用基本不等式进行求解．
【解答】解：由，得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为4．
故选：．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
6．（5分）（2023春•龙华区校级期中）如图，在正六边形中，
A．B．C．D．
【答案】
【考点】向量加减混合运算；向量的加法
【专题】数学运算；转化法；平面向量及应用；转化思想
【分析】由向量的线性运算求解即可．
【解答】解：由题意可知，．
故选：．
【点评】本题主要考查向量的线性运算，属于基础题．
7．（5分）（2018春•赣州期末）某游轮在处看灯塔在的北偏东，距离为海里，游轮由向正北方向航行到处时再看灯塔在南偏东，则与的距离为
A．20海里B．24海里C．海里D．海里
【考点】：三角函数模型的应用
【专题】31：数形结合；44：数形结合法；58：解三角形
【分析】先画出草图，根据条件得到，，解三角形可得．
【解答】解：根据题意可得：在中：，，海里，如图所示：
则，
由正弦定理得：海里．
故选：．
【点评】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用．解决此类问题的关键在于把文字语言转化为数学符号以及数学语言，用数学知识解题
8．（5分）（2023春•龙华区校级期中）已知函数，．若有2个零点，则实数的最小值是
A．2B．0C．D．1
【答案】
【考点】函数的零点与方程根的关系
【专题】数形结合法；转化思想；函数思想；数学运算；综合法；函数的性质及应用
【分析】作出函数与函数的图象，数形结合即可求解．
【解答】解：令可得，
当时，，
当时，的图象与关于轴对称，
所以作出函数与函数的图象如下图所示：
由上图可知，当时，函数与函数的图象有2个交点，
此时，函数有2个零点，
因此，实数的取值范围是，，
即实数的最小值为1．
故选：．
【点评】本题考查了函数的零点、转化思想及数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）（2023春•辽宁期中）已知复数，则下列说法正确的是
A．
B．的虚部为
C．在复平面内对应的点在第一象限
D．的共轭复数为
【答案】
【考点】复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义
【专题】数学运算；转化思想；转化法；数系的扩充和复数
【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数虚部的定义、共轭复数、复数在复平面对应点的特征、复数模的运算公式逐一判断即可．
【解答】解：因为，
所以的虚部为，的共轭复数为在复平面内对应的点在第四象限．
故选：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
10．（5分）（2021春•岳阳期末）在中，若，，，则的值可以是
A．B．C．D．
【答案】
【考点】正弦定理
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；逻辑推理；数学运算
【分析】直接利用余弦定理和一元二次方程的解法的应用求出结果．
【解答】解：设，利用余弦定理：，
解得．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：余弦定理和一元二次方程的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
11．（5分）（2022秋•西湖区校级期末）函数，则以下结论中不正确的是
A．在上单调递增
B．为图象的一条对称轴
C．的最小正周期为
D．在上的值域是
【答案】
【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性和对称性
【专题】转化思想；计算题；数学运算；综合法；三角函数的图象与性质
【分析】利用诱导公式可得出，利用余弦函数的基本性质逐项判断可得出合适的选项．
【解答】解：因为，所以函数在上单调递减，
函数的图象不关于直线对称，函数的最小正周期为，
当时，，则在上的值域是，
所以错误，正确．
故选：．
【点评】本题主要考查诱导公式的应用，余弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于基础题．
12．（5分）（2023春•龙华区校级期中）函数，且（a）（b）（c），则
A．的值域为，
B．不等式的解集为，
C．
D．，
【答案】
【考点】函数的值域；分段函数的应用
【专题】对应思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】根据题意，作出分段函数的图象，观察图象，即可判断，结合对称性，即可判断．
【解答】解：根据题意，作出分段函数的图象：
根据图象可知，的值域为，故错误；
不等式的解集为，，，故错误；
（a）（b）（c），
则，关于对称，故，故正确，
，，故，，故正确．
故选：．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，是函数图象和性质的综合应用，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）（2022秋•西昌市期末）计算； ．
【答案】．
【考点】对数的运算性质
【专题】数学运算；综合法；函数的性质及应用；整体思想
【分析】利用指数运算公式，对数运算公式，即可解出．
【解答】解：原式，
故答案为：．
【点评】本题考查了指数式和对数式的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．
14．（5分）（2023春•龙华区校级期中）已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的表面积为 ．
【答案】．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【专题】计算题；空间位置关系与距离；转化思想；直观想象；综合法；数学运算
【分析】根据题意，可求出圆锥的母线长，利用圆锥表面积公式即可求出答案．
【解答】解：因为圆锥的底面半径和高均为1，
所以圆锥的母线长为：，
所以圆锥的表面积为：，
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥的表面积的求法，是基础题．
15．（5分）（2023春•龙华区校级期中）求值 ．
【答案】．
【考点】两角和与差的三角函数
【专题】综合法；三角函数的求值；整体思想；数学运算
【分析】根据诱导公式和两角差的正弦公式求解即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了诱导公式及和差角公式的应用，属于基础题．
16．（5分）（2023春•龙华区校级期中）如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为 ．
【答案】．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】数学运算；平面向量及应用；转化法；转化思想
【分析】建立直角坐标系，得出，，利用向量的数量积运算得出，，根据二次函数性质即可求的最小值．
【解答】解：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系，
则，，，
设点坐标为，则，，，
，
当时，．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）（2022春•满洲里市校级期末）已知复数，，为虚数单位．
（1）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围；
（2）若，求的共轭复数．
【答案】（1）；
（2）．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算；共轭复数
【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算
【分析】（1）由复数的运算，结合复数的几何意义求解即可；
（2）由复数的运算，结合共轭复数的运算求解即可．
【解答】解：（1）由题意，复数，，
则，
复数在复平面上对应的点在第一象限，
，
解得，
实数的取值范围；
（2）由，
所以．
【点评】本题考查了复数的运算，重点考查了共轭复数及复数的几何意义，属基础题．
18．（12分）（2023春•龙华区校级期中）已知向量．
（1）已知且，求；
（2）已知，且，求向量与向量的夹角．
【答案】（1）或；
（2）．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算
【分析】（1）设，得到方程，解出即可；
（2）由题意得，利用向量数量积运算律及定义得，解出即可．
【解答】解：（1）已知向量，
又，
设，
又，
则，
解得，
所以或；
（2）由题知，，，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以向量与向量的夹角为．
【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了平面向量夹角的运算，属基础题．
19．（12分）（2022秋•天河区校级期末）在中，，，且，求：
（1）求的值；
（2）求的面积．
【答案】（1）；
（2）．
【考点】正弦定理；余弦定理；解三角形
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算
【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，由已知条件利用余弦定理得，解方程得到的值，进而可求得值．
（2）由已知条件，利用同角三角函数的基本关系可求得值，进而根据三角形的面积公示可计算得解．
【解答】解：（1）因为，由正弦定理得，，
所以，
由余弦定理得，因为，，
所以，化简得，解得或，
当时，，与题意不符合；
当时，，符合题意．
所以．
（2）因为，，
所以，
所以的面积．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
20．（12分）（2021秋•南充期末）已知函数的部分图象，如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域．
【答案】（1）．（2）值域．
【考点】函数的图象变换；由的部分图象确定其解析式
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算
【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．
（2）由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，求得函数的值域．
【解答】解：（1）根据函数的部分图象，
可得，，所以，
再根据五点法作图可得，
所以，故．
（2）将函数的图象向右平移个单位后，
可得 的图象，
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得到函数的图象，
由，可得，
由于函数在上单调递增，在单调递减，
，，
所以，
所以，函数在的值域为．
【点评】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
21．（12分）（2023春•龙华区校级期中）如图，在平面四边形中，若，，，，．
（1）求；
（2）求证：．
【答案】（1）；
（2）证明过程见解析．
【考点】正弦定理；余弦定理；解三角形
【专题】数学运算；综合法；方程思想；逻辑推理；解三角形
【分析】（1）把已知等式利用正弦定理化边为角，即可求得；
（2）在中，由已知利用余弦定理求解，再利用余弦定理求解与，即可证明结论．
【解答】解：（1）由，
结合正弦定理可得，
即，，
，；
证明：（2）在中，，，，
由余弦定理可得：，
由余弦定理可得：，
在中，由余弦定理可得，
又，均在上，
．
【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题．
22．（12分）（2022秋•西湖区校级期末）已知函数且．
（1）若函数为奇函数，求实数的值；
（2）对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【考点】函数奇偶性的性质与判断；函数恒成立问题
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】（1）利用奇函数的定义可求参数的值；
（2）不等式等价于，参变分离后可求实数的取值范围．
【解答】解：（1）函数为奇函数，则，
即，
则，即，．
（2），，
，
，
在，恒成立，即在，恒成立，
在，为增函数，故，，
即实数的取值范围是．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，考查恒成立求参数范围问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
考点卡片
1．基本不等式及其应用
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
实例解析
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则．B：．C：．D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【解题方法点拨】
基本不等式的应用
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【命题方向】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
2．函数的值域
【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．
【解题方法点拨】（1）求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．
无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
（2）函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．
在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．
（3）运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．
【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现，是常考题型．
3．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】
函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
4．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．
解：由题意可知：a≤恒成立
即a≤x++2
⇒a≤2+2
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．
5．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：①＝N；②lgaaN＝N（a＞0且a≠1）．
lga（MN）＝lgaM+lgaN； lga＝lgaM﹣lgaN；
lgaMn＝nlgaM； lga＝lgaM．
6．三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acs（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cs x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acs（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．
③利用图象．图象重复的x的长度．
7．正弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
8．正弦函数的奇偶性和对称性
【知识点的认识】
正弦函数的对称性
正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ+，k∈z．
【解题方法点拨】
例：函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为x＝ ．
解：由于函数y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cs2x＝，
而函数y＝sint的对称轴为
则，解得（k∈Z）
则函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为
故答案为．
这个题很有代表性，一般三角函数都是先化简，化成一个单独的正弦或者余弦函数，然后把2x﹣看成一个整体，最后根据公式把单调性求出来即可．
【命题方向】
这个考点非常重要，也很简单，大家熟记这个公式，并能够理解运用就可以了．
9．余弦函数的对称性
【知识点的认识】
余弦函数的对称性
余弦函数y＝csx是定义域为R的偶函数，也是周期函数，其对称轴为x＝kπ，k∈z．可以看出余弦函数在对称轴上的值为最值，也可以看做是y轴平移kπ个单位后依然还是对称轴．
【解题方法点拨】
例：（中，三角函数的对称性）若函数（ω＞0）的图象相邻两条对称轴间距离为，则ω等于
解：因为y＝csx的图象相邻两条对称轴距离为π，要使的图象相邻两条对称轴的距离为，则其周期缩小为原来的一半，所以ω＝2．
这里面应用了余弦函数的对称轴之间的间隔为半个周期的性质，从而转化为求周期的问题．
【命题方向】
这是个很基本的考点，也比较容易，但也非常重要，希望大家能够掌握．
10．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
【知识点的认识】
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
11．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【知识点的认识】
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．
12．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
13．三角函数应用
【知识点的认识】
1．三角函数模型的简单应用：1）在生活中的应用；2）；在建筑学中的应用；3）在航海中的应用；4）在物理学中的应用．
2．解三角函数应用题的一般步骤：
（1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；
（2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；
（3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；
（4）作出结论．
【解题方法点拨】
1、方法与技巧：
（1）在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决．
（2）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词．
（3）要能根据题意，画出符合题意的图形．
（4）对计算结果，可根据实际情况进行处理．
2、注意：
（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量．
（2）解决应用问题要注重检验．
（3）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围．
14．函数的零点与方程根的关系
【知识点的认识】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解题方法点拨】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【命题方向】
直接考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
15．分段函数的应用
【知识点的认识】
分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．
【解题方法点拨】
正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．
例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．
（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？
（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？
解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，
年销售收入为（11.8﹣p）万元，
政府对该商品征收的税收y＝（11.8﹣p）p%（万元）
故所求函数为y＝（11.8﹣p）p
由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16
化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．
故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）
（III）第二年，当税收不少于16万元时，
厂家的销售收入为g（p）＝（11.8﹣p）（2≤p≤10）
∵在[2，10]是减函数
∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）
故当税率为2%时，厂家销售金额最大．
这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．
【命题方向】
修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．
16．向量的加法
【知识点的认识】
向量的加法运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作＝a，＝b，则向量 叫做与的和，记作，即+＝+＝
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于＝，根据三角形法则得+＝+＝，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①+＝+＝；+（﹣）＝；
②+＝+；
③（+）+＝+（+）．
17．向量加减混合运算
【知识点的认识】
1、向量的加法运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作＝a，＝b，则向量 叫做与的和，记作，即+＝+＝
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于＝，根据三角形法则得+＝+＝，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①+＝+＝；+（﹣）＝；
②+＝+；
③（+）+＝+（+）．
2、向量的减法运算．
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即﹣＝+（﹣）．
设＝，＝，则．即＝＝．即
特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）
18．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||csθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）csθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
19．平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的认识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设＝（x1，y1），＝（x2，y2），则∥（≠）⇔x1y2﹣x2y1＝0．
20．数量积表示两个向量的夹角
【知识点的认识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：csθ＝．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
【解题方法点拨】
例：复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为 60° ．
解：＝＝＝＝＝cs60°+isin60°．
∴复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°．
故答案为：60°．
点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（，1）与向量（，﹣1）的夹角．
【命题方向】
这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．
21．正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
22．余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
23．解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
24．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔＝z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0时，z﹣＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+＝0且z≠0．
25．复数的运算
【知识点的认识】
复数的加、减、乘、除运算法则
26．共轭复数
【知识点的认识】
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数＝a﹣bi．
【解题方法点拨】
共轭复数的常见公式有：
；；；
【命题方向】
共轭复数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，要求能够掌握共轭复数的性质，并能将复数的共轭加法运算和乘法运算进行推广．运用共轭复数运算解决一些简单的复数问题，提高数学符号变换的能力，培优学生类比推广思想，从特殊到一般的方法和探究方法．
27．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
28．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【知识点的认识】
侧面积和全面积的定义：
（1）侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的面积，就是空间几何体的侧面积．
（2）全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积．
柱体、锥体、台体的表面积公式（c为底面周长，h为高，h′为斜高，l为母线）
S圆柱表＝2πr（r+l），S圆锥表＝πr（r+l），S圆台表＝π（r2+rl+Rl+R2）
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/9 0:29:43；用户：初中数学；邮箱：szjmjy@xyh.cm；学号：29841565定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA＝，
csB＝，
csC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝，
cs B＝，
cs C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝
sinC＝