2023-2024学年广东省惠州中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省惠州中学高一（下）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={−2,−1,0,1,2}，B={x|lnx>0}，则A∩B=( )
A. {1}B. {2}C. {−2,2}D. {−1,0,1}
2.已知α，β是平行四边形的两个内角，则“α=β”是“sinα=sinβ”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m//α，n⊥β，则( )
A. m//lB. m//nC. n⊥lD. m⊥n
4.如图，在△ABC中，AN=12NC，P是BN上的一点，若AP=(m+13)AB+19AC，则实数m的值为( )
A. 19B. 29C. 23D. 13
5.若函数f(x)=x2−2ax+1,x>1ax,x≤1在其定义域内是一个单调递增函数，则实数a的取值范围是( )
A. (0,1]B. (0,23]C. [0,1]D. [0,23]
6.已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为( )
A. 6πB. 6 3πC. 9 3πD. 12π
7.心理学家有时用函数L(t)=A(1−e−kt)测定在时间t(单位：min)内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为( )(ln0.9≈−0.105,ln0.1≈−2.303)
A. 0.021B. 0.221C. 0.461D. 0.661
8.如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A=π3，若csBsinCAB+csCsinBAC=2mAO，则m=( )
A. 12 B. 22
C. 32 D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=21+i(i是虚数单位)，则下列命题中正确的是( )
A. |z|= 2B. z在复平面上对应点在第二象限
C. z−=1+iD. z的虚部为−1
10.已知函数f(x)=cs(2x+π6)，则( )
A. f(x)的最小正周期为πB. f(x)的图象关于(−π12,0)对称
C. f(x)的图象关于x=5π12对称D. f(x)在(0,π2)上单调递减
11.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F分别是棱B1B，C1C上的动点，AA1=2A1B1=2A1C1=4，∠A1C1B1=π3，则下列说法正确的是( )
A. 直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4 3
B. 直三棱柱ABC−A1B1C1外接球的表面积为16π
C. 若E，F分别是棱B1B，C1C的中点，则异面直线A1F与AE所成角的余弦值为14
D. AE+EF+FA1取得最小值时，A1F=EF
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知sin(π3−α)=12，则cs(π6+α)= ______．
13.已知|b|=3，a在b上的投影向量为12b，则a⋅b的值为______．
14.如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进10 3米后到点E后，测得塔顶的仰角为4θ，则塔高为______米．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(1,2),b=(−3,1)．
(1)求a+3b；
(2)设a,b的夹角为θ，求csθ的值；
(3)若向量a+kb与a−kb互相垂直，求k的值．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点．
(1)证明：PB//平面ACM；
(2)证明：AD⊥平面PAC．
17.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，(a+b)(sinA−sinB)=(a−c)sinC．
(1)求角B；
(2)若△ABC外接圆的直径为2 3，求△ABC周长的取值范围．
18.(本小题17分)
已知向量a=(2csx,1),b=(−cs(x+π3),12),x∈[0,π2]．
(1)若x=π3，求a⋅b；
(2)记f(x)=a⋅b，若对于任意x1,x2∈[0,π2],|f(x1)−f(x2)|≤λ恒成立，求λ的最小值．
19.(本小题17分)
设A是有序实数对构成的非空集，B是实数集，如果对于集合A中的任意一个有序实数对(x,y)，按照某种确定的关系f，在B中都有唯一确定的数z和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个二元函数，记作z=f(x,y)，(x,y)∈A，其中A称为二元函数f的定义域.因为平面向量与有序实数对有一一对应的关系，设a=(x,y)，则二元函数也可以记为f(a)．
(1)已知f(x,y)= x2+y2,a=(x1,y1),b=(x2,y2)，若f(a)=1,f(b)=2,x1x2+y1y2=1，求f(a+b)；
(2)非零向量u=(x0,y0)，若对任意的(x,y)∈D，D⊆A，ℎ>0，记a=(x,y)，都有f(a)