四川省眉山市眉山县级学校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷（解析版）

这是一份四川省眉山市眉山县级学校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了 设函数，则， 已知数列满足，，则的值为， 已知数列满足，，则， 若等比数列的前项和为，，则， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 设函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以，
故选：B．
2. 《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造出27钱，则公士出钱数为（ ）
A. 31钱B. 32钱C. 33钱D. 34钱
【答案】D
【解析】设等差数列公差为，为5人出钱数依次为
，
依题意，，解得，
所以公士出钱数为34钱.
故选：D
3. 已知数列满足，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
故可得，
又，故数列是首项为，公差为的等差数列，
则，解得，则.
故选：B.
4. 已知数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以当时，，，…，，
累加可得
，
因为，所以，当时，，满足上式，
所以，
故选：B．
5. 若等比数列的前项和为，，则（ ）
A. 3B. 7C. 10D. 15
【答案】D
【解析】因为等比数列的前项和为，，
所以公比，
所以，
所以，所以
所以
故选：D
6. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由得，
由函数单调递减可得恒成立，
因为，所以，所以，
所以实数的取值范围是.
故选：B
7. 记定义域为的函数的导函数为，且对任意的都有，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】不妨设，因为，设，则,
所以在单调递增，所以，即，
从而．
故选：A．
8. 已知函数，记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B. C. 2025D. 4045
【答案】A
【解析】令，则的定义域为，又，
所以是奇函数，
因为与均在上单调递增，所以在上单调递增.
因为，所以，
则，
因为，所以，
所以，即.
所以，.
故选：A.
二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列为等差数列，公差为，为其前项和，若满足且，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 当且仅当n=7或8时，取得最大值.
【答案】ABC
【解析】依题意，，
所以，所以A正确，B正确.
，所以C正确.
由于，所以数列的前项都为正数，从第8项开始是负数，
所以当且仅当或7时，取得最大值 故D错误．
故选：ABC
10. 已知函数，则（ ）
A. 的极小值为
B. 有两个零点
C. 存在使得关于的方程有三个不同的实根
D. 的解集为
【答案】AC
【解析】函数的定义域为，，
由得或；由得，
有极大值，极小值，A正确；
由极大值和极小值均小于0知最多一个零点，B不正确；
当时，，当时，，
当时，有三个不同的实根，C正确；
当时，，此时，D不正确．
故选：AC．
11. 已知函数.若曲线恰有三条过点的切线，其中实数的所有取值组成集合的所有取值组成集合，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 若，则
C. 直线上存在满足要求的点
D. 直线上存在满足要求的点
【答案】BD
【解析】A.，则，设切点，，
所以切线方程为，切线过点，
所以，则，则，
此时只有唯一切点，所以过点的切线只有1条，不满足条件，故A错误；
B.若点，在由A可知，，整理为
，设，，
得或，当，得或，，得，
所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，
所以函数的极大值是，极小值是，
所以与轴有3个交点，即方程有3个实数根，即有个切点，所以过点的切线有3条，满足条件，故B正确；
C. 设，则，整理为
，得，设，，
所以单调递增，
则与只有1个交点，即方程只有1个实数根，
即只有1个切点，1条切线，所以直线上不存在满足要求的点，故C错误；
D. 设，
则，
整理为，得，，
设，，
得或，
，得或，
，得，或或，
所以函数的增区间是和，
减区间是和 和
如图画出函数图象，由图象可知，与存在3个交点，
即方程存在3个实数根，故D正确.
故选：BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 两个等差数列和的前n项和分别为，且，则的值等于_____________．
【答案】
【解析】因为，可设，
则．
故答案为：
13. 已知数列满足，设数列的前项和为，则=________
【答案】
【解析】数列满足，
当时，，
两式相减得，因此，
而满足上式，
于是，显然，
即数列是等差数列，
所以.
故答案为：
14.设函数，若有两个极值点，，且，则的最小值是______.
【答案】
【解析】定义域为，，
有两个极值点等价于在上有两个不等实根，
，，，，
；
设，
则，
在上单调递减，，
即，
的最小值为.
故答案为：
四．解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且.
（1）求、的通项公式：
（2）求数列的前项和．
解：（1）设等差数列的公差为，设等比数列的公比为，
因为，
所以，即，
，即，则，
所以，整理可得即，
解得或（舍去）.
所以，则，解得或（舍去），故.
所以，.
（2）由（1）知，，则.
.
16. 已知函数在和处取得极值．
（1）求、的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
解：（1）因为，则，
函数在和处取得极值．
，，联立解得：，．
且当，，，则，
由可得，列表如下：
所以，函数在处取得极大值，在处取得极小值，合乎题意.
因此，，．
（2）由（1）知在单调递增，在单调递减，
故当时，，
要使得对任意，不等式恒成立，则需，
故，即，解得或，
的取值范围是．
17. 记为等比数列的前项和，已知，，数列是公差为1的等差数列，且．
（1）求数列和的通项公式．
（2）求数列的前项和．
解：（1）设等比数列的公比为，由，可得，
因为，
可得，可得，即，
整理得，解得或，
当时，，不合题意，舍去；
当，可得，所以数列的通项公式为，则.
又由，且数列是公差为1的等差数列，
可得，即，解得，
所以故数列通项公式为．
（2）由（1）知：，，可得，
因为数列的前项和为，
可得，
则，
两式相减，可得，
所以．
18. 已知函数．
（1）求曲线的对称中心；
（2）证明：有三个零点；
（3）设曲线与轴的交点从左到右依次为，过作直线与曲线相切，切点为（异于），证明：．
解：（1）设，则.
，所以是奇函数.
奇函数图象关于原点对称，即曲线对称中心是.
的对称中心为.
（2）已知.
当时，，，所以.
当时，，，所以.
当时，，，所以.
所以在区间和上单调递增，在区间上单调递减.
所以是的极大值点，是的极小值点.
由，，，.
根据零点存在定理和函数单调性可得在区间内有一个零点，在区间内有一个零点；
区间内有一个零点.
综上，有三个零点.
（3）已知函数与轴交于，，，
根据函数零点的性质，可设.
因为直线过点且斜率存在且不为，设直线的方程为.
切点的坐标是直线：与曲线的公共点，所以联立方程组，

消去可得.
当（因为是直线与轴交点的横坐标，这里考虑的是除点外的切点情况），两边同时除以，得到.
所以（记为）.
因为直线与曲线相切，所以方程有两个相等的实根
在方程中，设切点的横坐标为，因为两根相等都为，
所以，即.
点，，
则中点的横坐标为.
因为在轴上的射影的横坐标就是点的横坐标，
所以在轴上的射影为的中点，即在的垂直平分线上.
所以.
19. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的值；
（2）若方程有两个不同的解，且，
①求实数的范围，试比较与的大小关系，并说明理由；
②证明：
解：（1），曲线在处的切线斜率为，
所以曲线在处的切线方程为．
由于切线与曲线只有一个公共点，
得有且只有一解，
所以，
解得．
（2）①令，
因为方程有两个不同的解，所以有两个不同的零点．
，当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以，所以．
一方面因为，
另一方面因为，
令，所以．
综上：．
判断：
下证：等价于．
因为，所以，所以，
要证：即证，即证：，因为，即证：
，令，
设，则，
所以，所以．
②由①可知：当时，，
令，所以．
所以，
将以上个不等式进行累加，所以．
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增