四川省眉山市县级学校2024-2025学年高一下学期期末联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省眉山市县级学校2024-2025学年高一下学期期末联考数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知、、是三条不重合的直线，、、是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
2．已知i为虚数单位，若复数，则（ ）
A．复数为B．
C．复数虚部为D．在复平面内对应的点位于第二象限
3．已知、、均为单位向量，且，则、之间夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，内角、、所对的边分别是、、，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米；上半部分圆锥的母线长为米，轴截面（过圆锥轴的截面）是面积为平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐（不含底面）需要毛毡（ ）平方米．
A．B．C．D．
6．已知球的半径，球面上有三点A，B，C，满足，点在球面上运动，则当四面体的体积取得最大值时，（ ）
A．B．C．13D．
7．在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（ ）
A．3B．4C．D．
8．如图，在四边形中，，点在边上，且，点为边（含端点）上一动点，则的最小值为（ ）
A．36B．39C．45D．48
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．若，则B．若，则存在唯一实数使得
C．若，，则D．与非零向量共线的单位向量为
10．函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．的表达式可以写成
C．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
D．若方程在上有且只有6个根，则
11．如图，正四棱柱中，，，点E，F，G分别为棱CD，，的中点，则下列结论中正确的有( )
A．与FG共面B．AE与异面
C．平面AEFD．该正四棱柱外接球的表面积为
三、填空题
12．如图，已知是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为 ．
13．如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝1000m，则山高MN＝ m．
14．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围为 .
四、解答题
15．已知四棱锥，底面是菱形，，底面，且，点，分别是棱和的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
16．如图所示，在中，D为BC边上一点.过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）.
(1)若，
（ⅰ）用，表示；
（ⅱ）若，，求的值.
(2)若，，P是线段AD上任意一点，求最大值.
17．已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调增区间；
(2)若，且，求的值.
(3)在中，若，求的取值范围.
18．如图，在三棱柱中，D，E，F分别是AB，，的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求证：在上存在一点P，使得平面平面DCF．
19．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角；
(2)若，求的面积的取值范围；
(3)若，且，求实数的取值范围．
1．D
根据线面、面面的位置关系逐项判断，即可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，若，，，，则、平行或相交，A错；
对于B选项，若，，则、平行或相交，B错；
对于C选项，若，，则或，C错；
对于D选项，若，，则，D对.
故选：D.
2．B
将复数利用复数的四则运算转化为的形式，逐项判断即可.
【详解】
对于A， ，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，复数虚部为，故C错误；
对于D，复数在复平面内对应的点是，位于第三象限，故D错误.
故选：B.
3．C
变形可得出，可得出，利用平面向量数量积的运算可求得的值，即可得解.
【详解】依题意，，则，即，
即，解得.
故选：C.
4．B
利用三角形的面积公式可求得的值，结合余弦定理可得出的值，然后利用连比定理可求得结果.
【详解】由三角形的面积公式可得，解得，
由余弦定理可得，故，
由正弦定理知，
由连比定理可得.
故选：B.
5．A
根据题意，利用圆锥的结构特征求出圆锥的高和底面半径，由此求出上半部分圆锥和下半部分圆柱的侧面积，进而计算可得答案.
【详解】根据题意，如图所示为该组合体上半部分为圆锥，
由于其母线长为米，轴截面是面积为平方米的等腰钝角三角形，
设其高为，底面半径为，
则有，解可得，
则上半部分圆锥的侧面积
下半部分圆柱的侧面积
则该组合体的表面积(不含底面) .
故选：A
6．A
首先求外接圆的半径，再根据球的半径，求球心到平面的距离，从而确定点的位置，根据几何关系求.
【详解】因为，
所以，因此的外接圆半径为，
因为球的半径，所以球心到平面ABC的距离为5，．
要使得四面体的体积最大，只要点到平面ABC的距离最大，并且最大距离为，
所以.
故选：A
7．D
根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可.
【详解】
如图，连接交于点，连接
因为平面平面，平面平面所以，
所以，因为为的三等分点，
则即.
故选：D.
8．C
根据题意利用余弦定理算出，进而得到是边长等于的等边三角形，然后以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，推导出用表示点的坐标的式子，从而得出关于的二次函数表达式，结合二次函数的性质得出答案.
【详解】以为坐标原点，AD、EB所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，连接BD
因为，
所以，可得，
所以，可得，，
结合，所以
因为中，，所以是边长等于的等边三角形，
由，
可得，所以，
设，即
可得，所以，
即，
由此可得，
所以，
由二次函数的性质，可知时，有最小值，最小值为.
故选：C
9．ABC
由数量积定义可知A错误；通过反例可确定BC错误；根据单位向量和共线向量定义可确定D正确.
【详解】对于A，若，则，无法得到，A错误；
对于B，若，，则，此时不存在满足的实数，B错误；
对于C，若，则，，无法得到，C错误；
对于D，，由单位向量和共线向量定义可知与共线的单位向量为，D正确.
故选：ABC.
10．BCD
A选项，将代入解析式得到，结合求出；B选项，结合为函数的零点，得到，得到函数解析式，并结合诱导公式得到B正确；C选项，先得到平移后的解析式，从而根据函数奇偶性定义进行判断；D选项，转化为在上有6个解，数形结合得到不等式组，求出的取值范围.
【详解】A选项，由图象可得，函数过点，
将代入得，故，
又，解得，A错误；
B选项，，
又为函数的第一个正零点，故，
故，解得，
因为，故只有当时满足要求，此时，
故，B正确；
C选项，的图象向右平移个单位长度后得到的新函数为，
即，其定义域为R，故为奇函数，C正确；
D选项，令得，
当时，，
要想在上有6个解，
则，解得，
若方程在上有且只有6个根，则，D正确.
故选：BCD
11．ABC
证明即可判断；连接，证明与分别是两个互相平行的平面里面的不平行直线即可判断；取的中点为，连接，连接，证明即可判断；根据长方体外接球球心为体对角线中点即可计算长方体外接球半径，从而计算其外接球表面积，从而判断D．
【详解】①，且是中点，是中点，
，且，四边形是平行四边形，
与共面，故A正确；
②连接四边形为平行四边形，
，，故与不平行，
而平面平面，平面面，
和互为异面直线，故B正确；
③取的中点为，连接，连接.
是中点，是中点，
，且四边形是平行四边形，
是的中点，又是中点，在中，．
是中点，是中点，
四边形是平行四边形，
，平面平面平面，故C正确．
④设该四棱柱外接球半径为，则，
故该正四棱柱外接球的表面积为，故D错误．
故选：ABC.
12．
根据题意，设原图中边AB上的高为h，设AB=x，用x表示直观图的面积，结合原图面积与直观图面积的关系分析可得关于h的方程，解可得答案.
【详解】根据题意，设原图中边AB上的高为h，设AB=x，
直观图中，，
由于轴，则的面积，
故原图的面积，
又由，则有，
解得，即的边AB上的高为.
故答案为：.
13．500
由题意，可先求出AC的值，从而由正弦定理可求AM的值，在Rt△MNA中，AM＝1000m，∠MAN＝30°，从而可求得MN．
【详解】在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝1000m，所以AC＝1000m．
在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，
由正弦定理得，，因此AM＝1000m．
在Rt△MNA中，AM＝1000m，∠MAN＝30°，
由＝sin30°得MN＝500m；
∴山高MN＝500．
故答案为：500．
14．
由正弦定理及已知可得，结合锐角三角形得、，再由正弦边角关系、三角恒等变换得，即可求范围.
【详解】由，则，故，
所以，又为锐角三角形，则，且，则，
而，则，，
所以，
又，且，
所以，则.
故答案为：.
15．（1）证明见解析；（2）
【详解】解：（1）取的中点，连接，，因为底面是菱形，所以且，因为点，分别是棱和的中点，所以且，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面
（2）因为底面，，分别是棱的中点，所以到底面的距离为，又底面是菱形，，所以，所以
16．(1)，
(2)2
（1）向量的线性表示，利用三角形法则及题所给条件即可得；根据（ⅰ）的结论，转化用，表示，根据三点共线找出等量关系即可求解（ⅱ）；
（2）利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）（ⅰ）在中，由，又，
所以，
所以
,
（ⅱ）因为，
又，，
所以，，
所以，
又三点共线，且在线外，
所以有：，即.
（2）由于，故是的中点，故，
，
当且仅当时取等号，故最大值为2，
17．(1)；
(2)
(3)
（1）利用诱导公式，二倍角公式和辅助角公式将函数化成正弦型函数，即可根据正弦型函数的性质求其周期和递增区间；
（2）由条件推得，根据角的范围求出，利用拆角变换即可求出的值；
（3）由及角的范围求得，利用三角形内角和，将所求式用的三角函数表示，通过三角恒等变换将其化成正弦型函数，结合角的范围与正弦函数的图象性质即可求出其范围.
【详解】（1）


，
函数的最小正周期为
由，可得，
故函数的单调增区间为.
（2）由（1）已得，则，
因，则，故，
则
.
（3）在中，，
因，可得，
故，解得，则，
故，
因，则，故，
则，即的取值范围为.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）连接DE，由线面平行的判定定理分别证明平面，平面，再由面面平行的判定定理即可证明；
（2）取的中点P，连接，，，由面面平行的判定定理，即可证明.
【详解】（1）连接DE，由题意知，，，
即四边形为平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面．
同理，四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
又，DC，平面，
所以平面平面．
（2）如图，取的中点P，连接，，，
由（1）知，又分别是的中点，可得，
因为分别为的中点，所以，则，
又，
平面，平面，
所以平面平面DCF．故结论得证．
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由，得，
由余弦定理得，
再由正弦定理及倍角公式得
，
得，即，在锐角中，有．
（2），，则．
由正弦定理，有，
．
又是锐角三角形，有，得，则，
所以．
即的面积S的取值范围；
（3），由正弦定理，
得，，
，即
又，且，
，
设，函数，，
任取，则，
，，
当，，，即，
当，，，即，
即在上单调递减，在上单调递增，
，，
，，则
实数的取值范围为．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
B
A
A
D
C
ABC
BCD
题号
11









答案
ABC