甘肃省天水市部分学校2025届高三第三次联考（三模）数学试卷（解析版）

这是一份甘肃省天水市部分学校2025届高三第三次联考（三模）数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了已知直线l，已知a>b>0，椭圆C等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合M=x, yx225+y29=1,N=xx5+y3=1，则M∩N=（ ）
A．5, 3B．5, 0, 0, 3C．-5, 5D．∅
【答案】D
【解析】因为集合M=x, yx225+y29=1为点集，
集合N=xx5+y3=1为数集，
所以M∩N=∅.
故选：D.
2．设a∈R,z=3+aii，其中i为虚数单位．则“a>1”是“z>10”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为z=3i-ai2=a-3i，所以z=a2+9．令z>10，解得a>1或a1”是“z>10”的充分不必要条件．
故选：A
3．若tanα+π4=7，则cs2α的值为（ ）
A．725B．34C．1225D．45
【答案】A
【解析】由tanα+π4=7，可得tanα+tanπ41-tanαtanπ4=7，即tanα+11-tanα=7，解得tanα=34，
所以cs2α=cs2α-sin2αcs2α+sin2α=1-tan2α1+tan2α=1-3421+342=725.
故选：A.
4．已知f(x)=ex-1+4x-4，若正实数a满足flga3434B．00恒成立，
故y=fx⋅ex在R上单调递增，则A，B显然错误；
对于C，D，y'=f'xex-fxexex2=f'x-fxex，
由图像可知x∈-∞,0时，y'=f'x-fxex>0，
当x∈0,+∞时，y'=f'x-fxexb>0，椭圆C:x2a2+y2b2=1与双曲线E:x2a2-y2b2=1的离心率分别为e1，e2，若3e1=e2，则双曲线E的渐近线方程为（ ）
A．x±5y=0B．2x±y=0C．2x±5y=0D．5x±2y=0
【答案】C
【解析】依题意，e1=a2-b2a，e2=a2+b2a，又3e1=e2，
所以9(a2-b2)=a2+b2，整理得4a2=5b2，所以ba=25，
所以双曲线E的渐近线方程为y=±25x，即2x±5y=0，
故选：C.
8．科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数⋅min-1）与体重W（单位：Kg）的13次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次⋅min-1，B的脉搏率是70次⋅min-1，则B的体重为（ ）
A．6KgB．8KgC．18KgD．54Kg
【答案】D
【解析】依题意，设f=kW13(k>0)，由w=2,f=210，得k=210×213，则f=210×213W13，
当f=70时，W13=210×21370=3×213，所以W=54．
故选：D
二、多选题
9．甲，乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下：
甲组：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263
乙组：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252
则下列说法正确的是（ ）
A．甲组数据的第60百分位数是252
B．乙组数据的中位数是246
C．从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率为760
D．甲组中存在这样的成员，将他调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高
【答案】BCD
【解析】对于选项A，因为12×60%=7.2，所以甲组数据的第60百分位数是第8个数，即253，故A错误；
对于选项B，因为10×50%=5，所以乙组数据的中位数是第5个数与第6个数的平均数，即245+2472=246，故B正确；
对于选项C，甲组中跳远成绩在250厘米以上的有7人，乙组中跳远成绩在250厘米以上的有2人，
所以从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率为
712×210=760，故C正确；
对于选项D，甲组的平均成绩为244+245+245+246+248+251+251+253+254+255+257+26312=251厘米，
乙组的平均成绩为239+241+243+245+245+247+248+249+251+25210=246厘米，
所以将甲组中跳远成绩为248厘米的成员调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高，故D正确.
故选：BCD.
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰或直角三角形.
B．若csA=sinB，则△ABC为直角三角形
C．若AC⋅CB>0，则△ABC是锐角三角形
D．若sinA>sinB，则A>B
【答案】AD
【解析】对于A，因为sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A+2B=π，
所以A=B或A+B=π2，所以△ABC为等腰或直角三角形，故A正确；
对于B，因为csA=sinB，所以csA=sinB=sinπ2-A，
所以B=π2-A或B+π2-A=π，所以A+B=π2或B-A=π2，
所以△ABC不一定是直角三角形，故B错误；
对于C，因为AC⋅CB>0，所以AC⋅CB=ACCBcsπ-C=-ACCBcsC>0，
所以csCb，
所以A>B，故D正确.
故选：AD.
11．已知fx是R上的奇函数，fx+2是R上的偶函数，且当x∈0,2时，fx=x2+2x，则下列说法正确的是（ ）
A．fx最小正周期为4B．f-3=-3
C．f2024=0D．f2025=3
【答案】BCD
【解析】因为fx+2是偶函数，所以fx+2=f-x+2，
又因为fx是奇函数，所以f-x+2=-fx-2，所以fx+2=-fx-2，
所以fx+4=-fx，
所以fx+8=-fx+4=fx，所以fx的周期为8，故A错误；
又当x∈0,2时，fx=x2+2x，
所以f-3=f5=-f1=-3，选项B正确；
f2024=f8×253+0=f0=0，选项C正确；
f2025=f8×253+1=f1=3，选项D正确.
故选：BCD.
三、填空题
12．在数列an中，已知an+1+an=3⋅2n，则an的前10项和为 .
【答案】2046
【解析】因为an+1+an=3⋅2n，所以a2+a1=3×21，
a4+a3=3×23，a6+a5=3×25，
a8+a7=3×27，a10+a9=3×29，
则an的前10项和为32+23+25+27+29=3×21-451-4=2046.
故答案为：2046
13．2025年为我省新高考综合改革实施第二年，为进一步提升高考备考业务能力，考虑派八中、九中、十中、新阳、职中、新梦想六所学校的校长去江苏省、河北省、湖北省、重庆市四个地方培训，每个地方至少有一名校长去培训，但八中校长和九中校长不能在同一个地方培训，则不同的分配方案有 种．
【答案】1320
【解析】若八中校长和九中校长都单独1人去某一个地方培训，
则剩下4人分为两组去其他的两个地方培训，故有A42C41+C42C22A22A22=168种不同方案．
若八中校长和九中校长有一人单独1人去某一个地方培训，
若另一个和其余一位校长去另一个地方培训，余下3人分两组去其他两个地方，
则有A42C21C41C32A22=12×2×4×3×2=576，
若八中校长和九中校长各自和其余一位校长去不同的地方培训，
余下2人分两组去其他两个地方，则有A42A42A22=288，
若八中校长和九中校长中一位和其余两位校长去某地，另外一位单独一位去某地，
则有C21C42A44=24×12=288，
故共有168+576+288+288=744+288+288=1320种不同方案，
故答案为：1320.
14．如图，正方形ABCD的边长为20，分别以边AB和CD的中点E，F为圆心画弧AO和CO，以直线EF为轴旋转，弧AO，CO和线段AE，CF旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是 ．
【答案】600π
【解析】由图象知，以直线EF为轴旋转，弧AO,CO和线段AE,CF旋转一周形成的面所围成的
几何体是两个半径均为10的半球，可合为一个完整的球，
故几何体的表面积为一个球的表面积加两个圆的面积，
即S=4πR2+2πR2=6πR2=6π×102=600π．
故答案为：600π
四、解答题
15．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点．
（1）证明：DE//平面PBF．
（2）若PA=AB=1，BC=2，求直线PD与平面PBF所成角的正弦值．
（1）证明：如图，取PB的中点G，连接EG，GF．
∵E，G分别是PA，PB的中点，∵EG//AB，且EG=12AB．
∵DF//AB，且DF=12CD=12AB，∴EG//DF，∴EG=DF,
∴四边形EGFD为平行四边形，
∴DE//FG．又DE⊂平面PBF，FG⊂平面PBF，∴DE//平面PBF；
（2）解：以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向
建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0,0,1)，F12,2,0，D(0,2,0)，
∴DP=(0,-2,1)，BP=(-1,0,1)，BF=-12,2,0．
设平面PBF的法向量为n=p,q,r，则n⋅BP=-p+r=0n⋅BF=-12p+2q=0，
取r=4，则p=4,q=1，所以n=4,1,4，
则csn,DP=n⋅DPnDP=4×0+1×(-2)+4×142+12+42×(-2)2+12=2165165，
∴直线PD与平面PBF所成角的正弦值为2165165．
16．国产动画电影《哪吒之魔童闹海》现已登顶全球动画电影票房榜榜首，并刷新多项世界票房纪录.下表截取了该电影上映后10日的单日累计票房：
（1）请根据这10日数据：
（i）计算x，y的平均值x，y；
（ii）求y关于x的经验回归方程；
（2）用上面求出的经验回归方程预测该电影上映半年后的票房，得到的结果合理吗？为什么？
附：
参考公式：经验回归方程y=bx+a斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=n∑i=1xi-xyi-yn∑i=1xi-x2，a=y-bx；
参考数据：10∑i=1yi=355.03，10∑i=1xi-xyi-y=594.495.
解：（1）由题意，x=1+2+3+4+5+6+7+8+9+1010=5.5，
y=11010∑i=1yi=110×355.03=35.503，
10∑i=1xi2=12+22+32+42+52+62+72+82+92+102=385，
则b=10∑i=1xi-xyi-y10∑i=1xi-x2=594.495385-10×5.52=7.206，
a=35.503-7.206×5.5=-4.13，
所以y关于x的经验回归方程为y=7.206x-4.13.
（2）由（1）知，y=7.206x-4.13，
当x=180时，y=7.206×180-4.13=1292.95，
则预测该电影上映半年后的票房为1292.95亿元，
这样的预测结果显然不合理，电影的票房一般在刚上映的一段时间内增长较快，
随着时间的推移，增长速度会逐渐放缓，
而所求的经验回归方程是假设变量之间具有线性关系，
不能准确反映电影票房在较长时间内的变化趋势，
所以用这个方程预测半年后的票房是不合理的.
17．已知函数fx=x2lnx．
（1）求fx的图象在点e,fe处的切线方程；
（2）求函数fx的极值；
（3）证明：对任意的x∈0,+∞，有fx≥x-1；
（1）解：求导f'x=2xlnx+x，令x=e，则k=f'(e)=3e.且fe=e2.
运用点斜式y-e2=3e(x-e)，化简得到y=3ex-2e2.
（2）解：因为f'x=2xlnx+x=x2lnx+1，
令f'x=x2lnx+1=0，则x=1e，
又因为x∈0,1e，f'x0，mx单调递增，m1=0，
x∈0,1，mx=t'x