陕西省西安市部分学校2025届高三联考数学试卷（解析版）

这是一份陕西省西安市部分学校2025届高三联考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了 复数的虚部为， 已知集合，， 已知，且三点共线，则， 已知为钝角，且，则， 已知变量和的统计数据如下表， 已知函数的最小正周期为，则等内容，欢迎下载使用。
1. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，所以的虚部为.
故选：C.
2. 已知集合，.若，则（ ）
A. 0B. 1C. D. 0或
【答案】D
【解析】由可得或，
则当时，；当时，；
因，且，
则或.
故选：D.
3. 已知，且三点共线，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】A
【解析】因为三点共线，所以，
因为，
所以，解得.
故选：A.
4. 已知为钝角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知，，
所以.
故选：D
5. 已知变量和的统计数据如下表.
若，线性相关，经验回归方程为，则（ ）
A. 155B. 158C. 160D. 162
【答案】A
【解析】由表中数据可得，
代入经验回归方程可得，
则.
故选：A
6. 已知函数，若在上有2个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时，有1个零点，
则当时，只有一个零点，
即方程在时有一个解，
即方程在时有一个解，
因为函数为增函数，
且当时，，
则，即.
故选：B.
7. 圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则（ ）
A. 4B. 8C. D.
【答案】C
【解析】圆的圆心为，抛物线的焦点为，
所以，所以，
联立，得，解得或，
在抛物线中，，所以，代入得，
所以.
故选：C
8. 在我国古代建筑中，梁一直是很重要的组成部分，现代工程科学常用抗弯截面系数来刻画梁的承重能力.若梁的截面形状是圆，且圆形截面的半径为，则抗弯截面系数；若梁的截面形状是正方形，且正方形截面的边长为，则抗弯截面系数；若梁的截面形状是长方形，且长方形截面的长为，宽为，则抗弯截面系数.若上述三种截面形状的梁的截面周长相同，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】记这三种截面的周长为C，则，从而，
，.
由，得
令，，则，
显然在上恒成立，故在上单调递增，
因为，，所以.
因为，所以.
故选:D
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的最小正周期为，则（ ）
A
B.
C. 的图象关于直线对称
D. 将图象上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），可得到函数的图象
【答案】ABD
【解析】已知函数的最小正周期为，
，则，故A正确；
，则，故B正确；
，故的图象不关于直线对称，故C错误；
将图象上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），可得到函数的图象，故D正确；
故选：ABD．
10. 记为等比数列的前项和，已知，则（ ）
A.
B.
C.
D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】根据题意，设等比数列的公比为，则，解得.
所以，解得.
所以，.
故A错误，BC正确.
对于D，，根据函数单调性可知，在和时，取得最小值.故D正确.
故答案选：BCD
11. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则曲线表示一条直线
B. 曲线上的点到原点的距离的最小值为
C. 若，则曲线与直线只有1个公共点
D. 若曲线与直线只有2个公共点，则
【答案】ABD
【解析】若，则曲线，即,
则曲线表示一条直线，故A正确；
若，曲线，
当时，曲线方程为，表示圆的一部分，
当时，曲线方程为，表示焦点在轴上的等轴双曲线的一部分，
当时，曲线方程为，表示焦点在轴上的等轴双曲线的一部分，
当时，方程不表示任何曲线，
所以曲线大致图象如图所示：
对于B，当时，曲线上的点到原点的距离的最小值为0，
当时，由图可知，曲线上的点到原点的距离的最小值为，故B正确；
对于C，若，由图可知，则曲线与直线没有公共点，故C错误；
对于D，当时，曲线与直线不可能只有2个公共点，不符合题意；
当时，直线过定点，结合题意易得，
当直线与相切时，
可得，解得（舍去）或，
此时直线为与曲线只有1个公共点，
当时，直线与曲线只有1个公共点；
当时，若直线与交于两点，
则必定与交于一点，
此时直线与曲线有3个公共点，不符合题意，
要使直线与曲线有2个公共点，
则直线与交于一点，
且与相切，如下图，
联立，
即，
则，解得（舍去）或，故D正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的展开式中，常数项为__________.
【答案】20
【解析】由通项公式可知常数项为：;
所以常数项为20；
故答案为：20
13. 定义在上的奇函数满足当时，，则__________；使的的取值范围是__________.
【答案】①. ②.
【解析】因为定义在上的奇函数满足当时，，
所以当时，，，
且奇函数的定义域为，所以，
所以,
所以，
当时，，
当时，，
当时，，
所以使的的取值范围是，
故答案为:; .
14. 已知是球的球面上两点，是该球面上的动点，是该球面与平面交线上的动点.若四面体体积的最大值为，则球的体积为__________.
【答案】
【解析】设球的半径为.因为是球与平面交线上的动点，即平面，
在中，，，
设的中点为，连接并延长，交球于，则，
，，
此时三角形的面积最大，且最大面积为.
是球面上的动点，
要使四面体的体积最大，则点到平面的距离要最大，
当平面时，点到平面的距离最大，且最大距离.
依题意，解得.
球的体积为.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，角所对的边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，求外接圆的半径；
（3）若，求的面积.
解：（1）因为，
可设，则，
所以；
（2）由（1）知，，，所以，
设外接圆的半径为，
则由正弦定理，所以,
所以外接圆的半径为；
（3）因为，由（1）知，，则，
所以.
16. 如图，在直四棱柱中，的中点分别为.

（1）证明：.
（2）求二面角的正弦值.
（1）证明：在直四棱柱中，因为，所以两两垂直，
又因为，所以，
以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系.
因为，所以，
则，
从而，
所以；
（2）解：根据题意，可知平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
所以
易知二面角的正弦值为.

17. 为了解某地小学生对中国古代四大名著内容的熟悉情况，从各名著中分别选取了“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”“大闹天宫”4个经典故事，进行寻找经典故事出处的答题游戏（不同的经典故事不能搭配同一本名著）.规定：每答对1个经典故事的出处，可获得10分.
（1）小王同学的答题情况如图所示，
①求小王同学的得分；
②老师指出了小王同学答错的试题，并要求他重新作答错误试题，求小王同学避开此次错误答案后随机作答并全部答对的概率
（2）小李同学将这4个经典故事与四大名著随机地搭配进行答题，记他的得分为X，求X的分布列与期望.
解：（1）①由图可知，小王同学答对1道试题，故他的得分为10分.
②经过老师指出可知，“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”对应的出处错误，针对错误试题进行分析后，给出的答案可能为{（草船借箭，三国演义），（黛玉葬花，红楼梦），（武松打虎，水浒传）}，{（草船借箭，水浒传），（黛玉葬花，三国演义），（武松打虎，红楼梦）}，共2种情况，
其中错误试题全部答对的情况为{（草船借箭，三国演义），（黛玉葬花，红楼梦），（武松打虎，水浒传）}，故所求的概率为.
（2）由题可知，的所有取值可能为0，10，20，40.
，，，\\
.
X的分布列为：
故.
18. 已知为椭圆的右焦点，过点作与轴平行的直线，该直线与椭圆交于两点（点在第一象限），当时，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与轴交于点，证明：四点共圆.
解：（1）依题，，即 ①，把代入中，解得，
因点在第一象限，则，由可得，
代入点的坐标可得：，即得，
整理得：②，
将①代入②可得：，解得（负值舍去），则，
故椭圆的标准方程为：.
（2）依题意，点关于轴对称，故的外接圆圆心在轴上，设，
将代入，解得，依题意，，
则的外接圆半径为，
于是的外接圆的方程为：，
因点在该圆上，代入解得，
故的外接圆的方程可化简为：（*）.
又直线的方程为：，令，可得，
将其代入（*），可得：，
即点在该圆上，故四点共圆.

19. 已知是定义在上的函数，若对任意，恒成立，则称为上的非负函数.
（1）判断是否为上的非负函数，并说明理由.
（2）已知为正整数，为上的非负函数，记的最大值为，证明：为等差数列.
（3）已知且，函数，若为上的非负函数，证明：.
解：（1）是上的非负函数.
理由如下：
因，，所以.
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则，故是上的非负函数.
（2）由，，得.
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则.
因为为上的非负函数，所以，解得，则.
因为，所以为等差数列.
（3）由，，得.
因为且，所以由得，，解得，
由得，，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，故.
由为上的非负函数，得，则，.
令，，则在上恒成立，
故在上单调递增，则，从而在上恒成立.
令，得，则，从而在上恒成立，
故，当且仅当时，等号成立，
所以.80
90
100
110
120
y
120
140
165
180
X
0
10
20
40
P