山西省太原市2024-2025学年高二下学期期中学业诊断数学试卷（解析版）

这是一份山西省太原市2024-2025学年高二下学期期中学业诊断数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 等差数列中，，，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】由等差数列的性质可知：，又，
所以，
故选：B
2. 已知函数，则（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】C
【解析】由题设，则.
故选：C
3. 等比数列中，，，则的前项和（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】若数列的公比为，则，故.
故选：D
4. 函数的极小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题设，
当，，在上单调递减，
当，，在上单调递增，
所以函数的极小值为.
故选：A
5. 已知等比数列中，，且，，成等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题设，若的公比为，则，，
所以，则.
故选：D
6. 函数的单调递减区间是（ ）
A. 和B. 和
C. D.
【答案】C
【解析】由题设且，
当，则，在上单调递减，
当，则，在上单调递增，
所以单调递减区间是.
故选：C.
7. 已知等差数列的前n项和为，且，是以1为公差的等差数列，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】令的公差为，又，则，
即，由的公差为1，且，
则，
所以，又，故，
所以，则，故，故、，A、B错；
，则、，C对、D错.
故选：C
8. 已知是定义在上的函数的导函数，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令，则，即在R上单调递减，
所以，则，，，，
由，
则，
所以，，，.
故选：D
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 在上单调递增B. 的极小值为-4
C. 有三个零点D. 的对称中心为（1，-2）
【答案】BD
【解析】由，可得：，
由，可得：或，由，可得，
所以在和单调递增，在单调递减，A错，
在处取到极小值，B对，
在取得极大值，结合单调性可知有两个零点，C错，
又，
所以的对称中心为，D对，
故选：BD
10. 已知数列满足，，是的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A. 是等比数列B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】由题设，且，
则是首项、公比均为2的等比数列，
所以，则，故，A对，B错；
由，则，C对；
由，
所以，D对.
故选：ACD
11. 已知等比数列中，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】令的公比为，则，，故，
所以，令且，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，即，
若时，而，矛盾！所以，
对于且，则，
即在上单调递增，
所以，则在上恒成立，
故，所以，A对；
由且，则，，C、D对；
当，，则，
所以，即，B错.
故选：ACD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 函数的单调递增区间为______．
【答案】
【解析】函数f（x）＝ex﹣x的导数为f′（x）＝ex﹣1，
由f′（x）＞0，即ex﹣1＞0，ex＞1＝e0，
解得x＞0，
故答案为（0，+∞）．
13. 已知数列的前项和为，，则_____.
【答案】30
【解析】由题设
.
故答案为：30
14. 若对于任意，都有成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】由，
可得：，
即，
构造函数，易知单调递增，
所以，
等价于在恒成立，
即在恒成立，
构造函数，
，易得时，，
时，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，
所以，
即实数的取值范围是，
故答案为：
四、解答题（本题共5小题；共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求的值域.
解：（1）由题设，
当或，，则在、上单调递增，
当，，则上单调递减，
所以增区间为、，减区间为；
（2）由（1）知，在、上单调递增，在上单调递减，
且，，，，
所以时，的值域为.
16. 已知数列的前项和为，且满足.
（1）求的通项公式；
（2）在等差数列中，，，求数列的前n项和.
解：（1）①，当时，，解得，
当时，②，
式子①-②得，
即，
故为首项为2，公比为2的等比数列，
所以；
（2）由（1）知，，，
设的公差为，
则，解得，
所以，，
故，
所以，
两式相减得，
所以.
17. 已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若函数恰有两个零点，求实数的取值范围.
解：（1）由题设，
当或，，在、上单调递增，
当，，在上单调递减，
所以极大值为，极小值为.
（2）由时，趋向于，时，趋向于，且，
结合（2）知，在上，且，

要使函数恰有两个零点，则或.
18. 已知数列的前项积为，且.
（1）证明：是等差数列；
（2）设，求数列的前项和；
（3）若对于任意，恒成立，求实数的最大值.
解：（1）当，则，故，所以，
由，故，可得，
由，则，
所以是首项为2，公差为1的等差数列；
（2）由（1）得，
则，故，
所以，
当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
所以；
（3）由（2）得，原不等式等价于，
令，，
则，
故，即，
所以在上单调递增，故，即实数的最大值.
19. 已知函数，.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若在上有零点，求的取值范围.
解：（1）当时，，，
则，
所以，
所以曲线在点处的切线方程，
即；
（2）
①当时，即时，
易知的解集为，，的解集为，
所以在，单调递增，在单调递减；
②当时，即，恒成立，
所以在上单调递增；
③当时，即，
易知的解集为，，的解集为，
所以在，单调递增，在单调递减；
④当，即时，
由可得：，由，可得：，
所以在单调递增，在单调递减；
综上：时，在，单调递增，在单调递减；
时，在上单调递增；
时，，单调递增，在单调递减；
时，在单调递增，在单调递减；
（3）由（2）得当时，在上递增，，
此时在上无零点，不合题意；
当时，在上递减，在上递增，，取时，
证明不等式，，
设，，则，，
设，，则，
则在上单调递增，则，即在上恒成立，
则上单调递增，则，即，，
用替换得，
则，
，
，
，使得符合题意；
综上，的取值范围为．