山西省太原市2023-2024学年高二下学期期中学业诊断数学试卷(含答案)

这是一份山西省太原市2023-2024学年高二下学期期中学业诊断数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．等差数列中,,,则的公差( )
A.3B.2C.-2D.-3
2．已知函数,则( )
A.-2B.-1C.0D.1
3．等比数列中,,,则的前n项和( )
A.B.C.D.
4．函数的单调递增区间是( )
A.B.C.D.
5．已知是等差数列,,,则( )
A.6B.9C.18D.27
6．已知函数的图象如下图所示,则下列结论正确的是( )
A.,,,B.,,,
C.,,,D.,,,
7．已知,分别是等差数列和等比数列,其前n项和分别是和,且,,,则( )
A.9B.9或18C.13D.13或37
8．已知函数在处有极小值,则的极大值为( )
A.1B.1或3C.D.4或
二、多项选择题
9．已知等差数列的前n项和为,且,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.是递增数列D.是递增数列
10．已知函数,则下列结论正确的是( )
A.有两个极值点B.的极小值为
C.在上单调递减D.函数无零点
11．已知数列满足,则下列结论正确的是( )
A.B.是递增数列
C.是等比数列D.是递增数列
12．已知是定义在R上的奇函数,当时,,且,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.当时,D.当时,
三、填空题
13．曲线在处的切线方程为______________.
14．已知数列中,,,则______________.
15．已知递增等比数列的前n项和为,且,,,则数列的前n项和为______________.
16．函数的最小值为_____________.
四、解答题
17．已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)求在区间上的最大值与最小值.
18．已知递增等比数列满足,是与的等差中项.
(1)求的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和.
19．已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)若函数恰有两个零点,求实数m的取值范围.
20．已知数列中,,,是的前n项和,且满足,等比数列中,,.
(1)求的通项公式;
(2)设,数列的前n项和为,求使成立的n的最大值.
21．已知函数.
(1)若恒成立,求实数k的取值范围;
(2)设,满足,证明：.
参考答案
1．答案：A
解析：由,得,,
故选：A.
2．答案：C
解析：,
则.
故选：C
3．答案：B
解析：设等比数列的公比为q,由,则,由,则,
解得,所以.
故选：B.
4．答案：D
解析：,由,得,
所以函数的单调递增区间是.
故选：D.
5．答案：C
解析：设等差数列的公差为d,由,,
得,解得,
所以.
故选：C
6．答案：C
解析：,
,
,
由图可知,,
在和单调递减,单调递增,
故的解集为,
所以二次函数开口向下,,
且的根为,,
故,,
所以,.
故选：C.
7．答案：B
解析：设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,
则,,
由得,即,①
,
即,
解得或,
代入①得或,
则或9,
故选:B.
8．答案：C
解析：因为,
所以,
由,即,解得或,
当时
令,解得或,
所以当或时,当时,
所以在,上单调递增,在上单调递减,
所以在处取得极小值,在处取得极大值,
则;
当时
令,解得或,
所以当或时,当时,
所以在,上单调递增,在上单调递减,
所以在处取得极大值,在处取得极小值,不符合题意,故舍去;
综上可得;
故选：C.
9．答案：ACD
解析：由得,,即,
因为,所以,,故A正确;
因为为增数列,且,,所以时最小,
所以是递增数列,故C正确;
因为,故B错误;
因为,
所以,即为公差为1的等差数列,
所以是递增数列,故D正确,
故选：ACD.
10．答案：BD
解析：定义域为,
,令,得或（舍去）,
当时,,所以在上单调递减,
当时,,所以在上单调递增,
所以是的极小值点,极小值为,故B正确,A错误,C错误;
,即函数无零点,故D正确;
故选：BD.
11．答案：ACD
解析：对于AB,依题意,,,A正确,B错误;
对于C,,
而,因此是以为首项,为公比的等比数列,C正确;
对于D,由选项C知,,显然数列是递增数列,
因此数列是递增数列,D正确.
故选：ACD
12．答案：BC
解析：设,
由是定义在R上的奇函数知,则时,为偶函数,
且时,,
故在单调递减,
由偶函数的对称性知,在单调递增,
故,即,故,B选项正确;
当时,,故,C选项正确;
当时,,故,D选项错误;
由B,D选项知,,故,A选项错误.
故选：BC.
13．答案：
解析：当时,,
,则,
所以曲线在处的切线方程为,即,
故答案为：.
14．答案：
解析：由,可得,,
,,
可见数列的周期为3,因,则.
故答案为：.
15．答案：
解析：由为递增等比数列,所以,且,
由,得,,解得或（舍去）,
将代入,得,所以,
所以,,
设数列的前n项和为,
故答案为：.
16．答案：
解析：函数的定义域为,且,
令,则,函数在上单调递增.
,,所以,存在,使得,
则,.
当时,,则,此时函数单调递减;
当时,,则,此时函数单调递增.
所以,函数在处取得极小值,亦即最小值,
即.
故答案为：1.
17．答案：(1)极大值为17,极小值为-10
(2)最大值为17,最小值为-35
解析：(1),令得,或,
当时,,在单调递增,
当时,,在单调递减,
当时,,在单调递增,
所以的极大值为,极小值为.
(2)由(1)得,在和上单调递增,在上单调递减,
因为,所以在区间上的最大值为17;
因为,所以在区间上的最小值为-35.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为是与的等差中项,,
所以,即,解得或,
因为为递增等比数列,所以,
所以.
(2),
.
19．答案：(1)答案见解析;
(2).
解析：(1),
因为,所以,
令,即,解得,令,即,
解得,
所以递减区间为,递增区间为和.
(2)函数恰有两个零点,则有两个根,即与有两个交点,
由,,,,
由(1)画出图象,
由图象可知,.
20．答案：(1)
(2)6
解析：(1)当时,由,
得,
两式相减得,
因为,所以,
当时,,
则数列的奇数项是以为首项,以4为公差的等差数列,
则,
则数列的偶数项是以为首项,以4为公差的等差数列,
则,
综上：;
(2)由,,解得,
则,,
则,
,
两式相减得,
,
所以,
由,
当时,,
当时,,
所以使成立的n的最大值为6.
21．答案：(1);
(2)证明见解析.
解析：(1)函数的定义域为,求导得,
令,,求导得,即函数在上递增,
则,即,于是,
由,得;由,得,因此函数在上单调递减,在上单调递增,
,解得,
所以实数k的取值范围.
(2)由(1)知,函数在上单调递减,在上单调递增,
而,,由,得,
令,,
求导得,
设,求导得,
设,,求导得,令,,
求导得,当时,,当时,,
函数,即在上递减,在上递增,
,函数在上递增,
于是,即,函数在上递增,
当时,则有,即,
因此,函数在上递减,则,
从而,即,显然,
又函数在上单调递增,则,所以.