山西省太原市2023-2024学年高二下学期期末学业诊断数学试题（解析版）

这是一份山西省太原市2023-2024学年高二下学期期末学业诊断数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了 已知离散型随机变量，则， 以下说法正确的是， 已知一个袋中装有等内容，欢迎下载使用。
一､选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 观察下列散点图，关于两个变量的相关关系推断正确的是（ ）
A. （1）为正相关，（2）不相关，（3）负相关
B. （1）为正相关，（2）负相关，（3）不相关
C. （1）为负相关，（2）不相关，（3）正相关
D. （1）负相关，（2）正相关，（3）不相关
【答案】A
【解析】第一个图点的分布比较集中，且随的增加，而增加，是正相关．
第二个图点的分布比较分散，不相关．
第三个图点的分布比较集中，且随的增加，而减少，是负相关．
故选：A．
2. 已知离散型随机变量，则（ ）
A. 8B. 2C. 1.6D. 0.8
【答案】B
【解析】因为离散型随机变量，
所以.
故选：B
3. 有5名同学要去参加3个兴趣小组，每名同学可自由选择其中1个兴趣小组，则他们不同的选法种数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题设，5名同学可分5步完成，任何一个同学有3种选择方法，故他们不同的选法数为：，
故选：D.
4. 以下说法正确的是（ ）
A. 等高堆积条形图可以直观反映两个分类变量之间是否具有关联性
B. 用独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误
C. 残差平方和越大，则相应模型的拟合效果越好
D. 决定系数越小，则相应模型的拟合效果越好
【答案】A
【解析】对于A，等高堆积条形图可以直观反映两个分类变量之间是否具有关联性，A正确；
对于B，用独立性检验推断的结论可靠，会犯随机性错误；B错误；
对于C，残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好，C错误；
对于D，决定系数越大，则相应模型的拟合效果越好，D错误.
故选：A
5. 北京时间2024年4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各3人，每个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排2人，后排4人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数为（ ）
A. 24B. 48C. 360D. 720
【答案】B
【解析】依题意，排前排2人有种方法，排后排4人有种方法，
由分步乘法计数原理得不同排法种数是.
故选：B
6. 已知随机变量均服从两点分布，且，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】依题意，，而，则；
，同理，
，
因此.
故选：C
7. 一般地，多项选择题有四个选项，其中有两个或三个选项正确，其赋分规则是：选对部分正确选项得部分分，选对全部正确选项得满分6分，有错误选项得0分.某道多项选择题有四个选项，其中有三个选项正确，答题时只能选一个､两个或三个选项.小明随机作答，则他得0分的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】不妨设四个选项为其正确选项为，
该考生随机作答的所有选择结果构成的样本空间为,,,,,,,,,,,,,，
由上，得0分的事件有 ,,,,,,
所以得0分的概率为，
故选：D
8. 已知展开式中的系数为28，则该展开式的各项系数和为（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】D
【解析】根据的展开式通项，
当与配对时，，故系数为,
当与配对时，，故的系数为，
所以，故；
故令，则各项的系数和为．
故选：D．
二､多选题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 使用经验回归方程进行预测时，下列结论正确的是（ ）
A. 经验回归方程只适用于所研究的样本的总体
B. 经验回归方程一般都有时效性
C. 解释变量取值离样本数据的范围越远，经验回归方程的预报效果越好
D. 经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值
【答案】AB
【解析】对于A，经验回归方程只适用于所研究的样本的总体，A正确；
对于B，经验回归方程适用于有相关关系的两个变量，两者的变化可能会随时间的推移，
互相影响的情况不同，因此经验回归方程一般都有时效性，B正确；
对于C，解释变量的取值范围会影响经验回归方程的适用范围，
解释变量的取值离样本数据的范围越远，经验回归方程的预报效果越差，C错误；
对于D，经验回归方程得到的是响应变量的预报值，不是响应变量的精确值，D错误；
故选：AB
10. 已知一个袋中装有（除颜色外完全相同）4个红球，3个白球.现从袋中不放回连续摸球两次，每次摸出一个球.记事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到红球”，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】依题意，，，
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：BC
11. 已知某校高二年级数学考试成绩中，男生成绩服从正态分布，女生成绩服从正态分布，则下列结论正确的是（ ）
A. 和的分布密度曲线相比，的分布密度曲线更“瘦高”
B. 成绩低于74分的男生人数在全体男生中的比例小于成绩低于74分的女生人数在全体女生中的比例
C. 成绩高于80分的男生人数在全体男生中的比例等于成绩高于80分的女生人数在全体女生中的比例
D. 成绩高于90分的男生人数在全体男生中的比例高于成绩低于62分的女生人数在全体女生中的比例
【答案】AC
【解析】根据题意，男生成绩服从正态分布，其均值，标准差，
女生成绩服从正态分布，其均值，标准差，
对于A，因为，所以和的分布密度曲线相比的分布密度曲线更“瘦高”，故A正确；
对于B，，，
所以，
又因为，
则有，
即成绩低于74分的男生人数在全体男生中的比例大于成绩低于74分的女生人数在全体女生中的比例，故B错误；
对于C，因为，所以，
因为，所以，
根据正态分布性质，，
所以，
故成绩高于80分的男生人数在全体男生中的比例等于成绩高于80分的女生人数在全体女生中的比例，故C正确；
对于D，因为，，
所以
，
因为，，
所以，
根据正态分布性质，，
故，故D错误，
故选：AC．
12. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】对于A，当时，得，所以A错误，
对于B，因为，
所以，
所以其展开式的通项公式为，
当时，，所以B正确，
对于C，，
令，则，
令，则，
所以两式相减化简得，所以C正确，
对于D，由，
得，
令，得，
所以，所以D正确，故选：BCD
三､填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 已知，则__________.
【答案】4
【解析】，故或（舍去）.
14. 已知变量之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为.若，则__________.
【答案】
【解析】由，得，
则，所以.
故答案为：
15. 某电器由三个元件按下图方式连接而成，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，各个元件能否正常工作相互独立.当元件1正常工作，且元件2或元件3正常工作时，该电器正常工作.现有200台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过1000小时的台数为__________.
【答案】75
【解析】依题意，元件1、元件2、元件3使用寿命超过1000小时的概率均为，
一台这样的电器使用寿命超过1000小时，是元件1使用寿命超过1000小时，
并且元件2、元件3至少一个使用寿命超过1000小时，
因此一台这样的电器使用寿命超过1000小时的概率为，
显然200台这样的电器，使用寿命超过1000小时的台数，，
所以200台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过1000小时的台数为75.故答案为：75
16. 为备战2024法国巴黎奥运会，某运动队要从6名运动员中选4名参加接力赛训练.现已选定1人跑第1棒或第4棒，在剩下的5人中有2人只能跑第2，3棒，还有1人不能跑第4棒，则此训练的不同方法种数为__________.
【答案】60
【解析】设六人中确定甲跑第1棒或第4棒，乙、丙只能跑第2，3棒，丁不能跑第4棒，
当甲排第4棒时，乙、丙均不参与，则丁及其他两人必参加，有种；
乙、丙都参与有，其他3人任选1人安排在第1棒有，则种；
乙、丙有一人参与且在第2、3棒任选一棒有，最后在3人任选2人安排余下的两棒有，则种；
当甲排第1棒时，乙、丙均不参与，
则丁及其它两人必参加，有种；
乙、丙都参与，则丁必不能参与，有种；
乙、丙有一人参与且在第2、3棒任选一棒有，
则第4棒在除丁外其他两人选一个有，余下一棒在余下可参与的两人任选一个有，
则种；
综上，合适的选择方法种数为种．
故答案为：60
四､解答题（本题共5小题，共52分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 求展开式中常数项和的系数.
解：二项式展开式的通项公式，
由，得，，
由，得，，
所以展开式中常数项是，的系数是.
18. 某校化学课题组为改进某项实验技术，减少实验时间，从而提高实验效率.从该校高二化学社团选取40名学生，并将他们平均分成两个实验组.第一组学生用原方法做实验，第二组学生用新方法做实验.现统计两组同学完成实验的时间（单位：min）如下：
第一组完成实验的时间（单位：min）
第二组完成实验的时间（单位：）
（1）记这40名学生完成实验时间的中位数为，根据上述信息完成实验方法和实验时间样本数据的列联表；
（2）依据小概率值的独立性检验，分析新方法的实验效率是否比原方法高.
附：；
解：（1）先把数据从小到大排序
中位数，然后找数据把表格填写完毕.
（2）零假设：新方法的实验效率不比原方法高，
即新方法跟实验效率无关.
根据列联表得，
根据小概率值的独立性检验，可推断不成立，即认为新方法的实验效率比原方法高，即新方法跟实验效率有关.
19. 某市为了解党员对党史知识的掌握情况，在该市随机选取100名党员进行调查，其中不同年龄段的人数分布如下表：
（1）已知年龄在的女性党员有3人，现从该年龄段这10人中随机选择3人进行座谈，用表示这3人中女性党员的人数，求的分布列和数学期望；
（2）若用样本的频率近似代替概率，现从该市党员中随机抽取20名党员进行调查，用表示其中年龄在内的人数，求当取最大值时的值.
解：（1）由题意得服从超几何分布，其中，
所以，，
，，
所以的分布列为
所以；
（2）由题意可得从该市党员中随机抽取1名党员，其年龄在的概率为，
则，即，
所以，
令，得，
令，得，
所以，
因为，所以当时，最大.
20. 在一个抽奖游戏中，主持人在编号分别为的空箱（外观相同）中随机选择一个箱子放入奖品，并将箱子都关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是：1.抽奖人有两次选择箱子的机会.第一次在三个箱子中随机选择一个，在开箱之前，主持人只打开另外两个箱子中的一个空箱子（若此时两个箱子都是空的，则从中随机选取一个），并给抽奖人第二次选择箱子的机会，然后，主持人按照抽奖人第二次的选择打开箱子.2.若奖品在打开的箱子里，则奖品由抽奖人获得；否则，抽奖人未获得奖品.3.游戏结束.已知抽奖人第一次选择了1号箱.
（1）求主持人打开的空箱子是3号箱的概率；
（2）若主持人打开的空箱子是3号箱，请问抽奖人是坚持选择1号箱，还是改选2号箱？请你给出建议，并说明理由.
解：（1）设 “奖品在第号箱子里” ，2，，
“主持人打开3号箱”，
由全概率公式，得
；
（2）因为，
，
所以，
即建议抽奖人改选2号箱．
21. 山西某地打造旅游特色村，鼓励当地村民将自己闲置房改造成民宿出租，增加农民收入.为了解在旅游淡季民宿的出租情况，随机选取6间民宿进行调查，统计它们在淡季的100天里的出租情况，得到每间民宿租金（单位：元/日）与其出租率（出租天数）的对应关系表和散点图如下：
（1）请根据散点图判断，与哪个更适合此模型（不用证明），并根据下表数据（表中），求其相应的经验回归方程（保留小数点后一位）.
（2）已知该地一年旅游淡季按100天计算，在此期间，民宿无论是否出租，每天都要支出租金的的费用.若民宿出租，则每天需要再支付租金的的开支.请用（1）中结论的模型，计算租金为多少元时，该民宿在这100天内的收益最大.
附：；对于一组数据，
其经验回归方程为.
解：（1）由散点图知，应选更合适.
由，得，则，
，
所以.
（2）依题意，
，求导得，
令，得，解得，
当时，，随着的增大而增大，当时，，随着的增大而减小，
所以当元时，民宿在这100天内的收益最大.1
0
1
0
8
9
10
12
14
14
16
16
17
17
18
18
18
19
19
20
21
21
22
22
7
8
9
9
9
10
10
11
11
12
12
13
13
14
14
16
16
18
19
21
实验方法
实验时间
合计
大于
不大于
原方法
新方法
合计
0.10
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
实验方法
实验时间
合计
大于
不大于
原方法
14
6
20
新方法
5
15
20
合计
19
21
40
年龄
小于30
大于等于70
人数
5
10
25
35
15
10
0
1
2
3
租金
88
128
188
288
388
488
出租率
0.9
0.7
0.5
0.3
0.2
0.15