湖南省娄底市新化县2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份湖南省娄底市新化县2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴.
故选：B.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题，将代入，等式成立，所以“”是“”的充分条件；
求解，得到，故“”是“”的不必要条件.
故选：A.
3. 当时，下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，若，则，所以A错误，
对于B，若，则，所以B错误，
对于C，若，则，所以C错误，
对于D，因为，所以，所以，所以D正确.
故选：D.
4. 下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，因为与对应法则不一致，不是同一函数；
对于B，因为定义域为，而的定义域为R，
所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；
对于C，因为定义域为，而的定义域为，
所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；
对于D，，的定义域均为R，对应关系也相同，值域也相同，故能表示同一函数.
故选：D.
5. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】要使函数有意义，需要，解得，即得函数定义域为：.
故选：B.
6. 已知，且，且，下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A项，根据对数的运算可知，，故A错误；
对于B项，根据对数的运算可知，，故B错误；
对于C项，根据换底公式可知，，故C正确；
对于D项，根据对数的运算可知，，故D错误.
故选：C.
7. 已知函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数的图象是由函数的图象向下或向上平移个单位得到的，
由函数的图象可得函数为单调递减函数，则，
令得，则，
则函数的大致图象为A选项.
故选：A.
8. 已知函数对任意，都有成立，又函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A. －3B. －1C. 1D. 3
【答案】A
【解析】因为对任意，都有，所以函数的图象关于直线对称，
即，则，
又函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，
即函数为奇函数，
所以，所以，
所以8是函数的一个周期，
故.
故选：A．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（ ）
A. ，B. 所有的正方形都是矩形
C. ，D. 至少有一个实数x，使
【答案】AC
【解析】A.原命题的否定为：，，是全称量词命题；
因为，所以原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；
B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以该选项不符合题意；
C. 原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程，，
所以，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；
D. 原命题的否定为：对于任意实数x，都有，如时，，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.
故选：AC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值是3
B. 的最大值是5
C. 的最小值是2
D. 的最大值是
【答案】ABD
【解析】选项A，因为，
所以，
当且仅当时取等号，故A正确.
选项B，因为，所以，
当且仅当时取等号，故B正确.
对于C，，
当且仅，即时，等号不成立，
令，则在上单调递增，
所以时取得最小值为，故选项C错误；
对于D，当时，，
当且仅当，即时等号成立，所以最大值为，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 若，则的最小值为
C. 函数在上有3个零点
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】由函数的图象关于直线对称可得，；
解得，；
又，所以，可得；
对于A，由，可得，；
当时，，所以函数的图象关于点对称，即A正确；
对于B，因为，所以，中一个为函数的最大值，一个是最小值，
因此，因此B正确；
对于C，当时，，
易知函数在只有2个零点，因此C错误；
对于D，因为，
所以
；
所以，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ______________.
【答案】
【解析】.
13. 已知扇形的周长为8，中心角为2弧度，则该扇形的面积为___________.
【答案】4
【解析】设扇形半径为，弧长为，则由题意得：，解得：，，
所以该扇形面积为.
14. 若函数同时满足：（ⅰ）对于定义域上的任意，恒有；（ⅱ）对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数中：①；②；③；④.能被称为“理想函数”的有_________（填相应的序号）.
【答案】①
【解析】由对于定义域上的任意，当时，恒有，得在其定义域上单调递减，
对于①，定义域为R，，函数是R上的减函数，①是；
对于②，的定义域为R，不恒为0，②不是；
对于③，的定义域为R，不恒为0，③不是；
对于④，函数在其定义域上不单调，④不是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）化简：；
（2）已知，求的值．
解：（1）原式.
（2）原式.
16. 已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围．
解：（1）由题设，则，
或，则.
（2）由，
若时，，满足；
若时，；
综上，.
17. 已知且满足不等式．
（1）求实数a的取值范围，并解不等式．
（2）若函数在区间有最小值为，求实数的值．
解：（1）由且满足不等式可得，解得，
由可得，解得，
所以原不等式的解集为.
（2）因为，所以函数在定义域单调递减，
所以函数在区间有最小值为，
解得.
18. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若时，恒成立，求实数取值范围；
（3）将函数的图像的横坐标缩小为原来的，再将其横坐标向右平移个单位，得到函数的图像．若，函数有且仅有5个零点，求实数的取值范围．
解：（1）因为，
所以的最小正周期.
（2）当时，可得，
当，即时，取得最小值，
因为时，恒成立，所以，
即实数的取值范围为.
（3）由题意，函数，
因为，所以，
又因为函数有且仅有5个零点，则满足，解得，
所以实数的取值范围．
19. “函数图像关于原点对称”的充要条件是“函数对定义域内的任意都满足”.
（1）若定义在上的函数图像关于原点对称，且当时，，求函数的解析式；
（2）类比上述结论，得到以下真命题：“函数图像关于点对称”的充要条件是“函数对定义域内的任意都满足”.若函数的图像关于对称，且当时，，
（i）证明：函数在上单调递增；
（ii）关于的方程在上有四个不同的零点，求实数的取值范围.
解：（1）因为定义在上的函数图像关于原点对称，所以函数是奇函数，
当时，，当时，，
所以.
（2）（i）设是上的任意两个实数，且，
，
因为，所以，
所以，
因此函数在上单调递增.
（ii）设是上的任意两个实数，且，
，
因为，所以，
因此函数在上单调递减.
因为函数的图像关于对称，所以函数在上也是单调递减，
因此当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
因为，函数的图像关于对称，
所以，，
因此当时，，令，
当时，方程有有两个不等实根，且一个在上，一个在上，
要想关于方程在上有四个不同的零点，
只需方程在上有两个不等实根，
设，则有：，
且，且，解得：，
故实数的取值范围为：.