湖南省娄底市新化县2023-2024学年高二(上)期末考试数学试卷(解析版)

这是一份湖南省娄底市新化县2023-2024学年高二(上)期末考试数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直线斜率为，则由，知，即,
故选:B．
2. 向量，，若，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D.
【答案】B
【解析】由题设，故.
故选：B
3. 在数列中，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，，，
，……
故为周期数列，一个周期为3，
故.
故选：C
4. 如图所示，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.若，则x+y+z等于（ ）
A. ﹣1B. 0C. D. 1
【答案】C
【解析】

，
，
∴x＝﹣1，y＝1，z＝，
∴x+y+z＝
故选：C．
5. 已知双曲线的左，右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则双曲线的方程是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知，，解得，，
所以双曲线的方程是．故选：D．
6. 已知函数，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】
.故选：D
7. 设点，抛物线上的点P到y轴的距离为d．若的最小值为2，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】D
【解析】抛物线，则焦点，准线，
最小时，即最小，根据抛物线的定义，，
所以只需求的最小值即可，当为线段与抛物线交点时，
最小，且最小值为，解得.故选：D
8. 《推背图》是唐朝贞观年间唐太宗李世民命天文学家李淳风和相士袁天罡推算大唐气运而作，此著作对后世诸多事件都进行了准确的预测推背图以天干地支的名称进行排列，共有60象，其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2023年是“癸卯”年，也是毛泽东同志诞辰130周年，那么据此推算，毛泽东同志诞辰的年份是（ ）
A. 癸已年B. 癸丑年C. 辛丑年D. 辛卯年
【答案】A
【解析】依题意可知，天干的周期为10，地支的周期为12，
因为，所以毛泽东同志诞辰的年份的天干也是癸；
因为，所以毛泽东同志诞辰的年份的地支为巳，
所以毛泽东同志诞辰的年份是“癸巳年”.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 零向量没有方向
B. 空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小
C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D. 同向且等长的有向线段表示同一向量
【答案】BD
【解析】对于A：零向量的方向是任意的，A错误；
对于B：空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小，B正确；
对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，
所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确.
故选：BD.
10. 直线中，已知．若与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则实数对可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】因为，
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为，
则，得，
结合选项可知，满足题意.故选：AC.
11. 已知曲线，则下列说法正确的为（ ）
A. 若该曲线是双曲线方程，则，或
B. 若则该曲线为椭圆
C. 若该曲线离心率为，则
D. 若该曲线为焦点在y轴上双曲线，则离心率
【答案】AD
【解析】对于A，若该曲线是双曲线方程，则,
解得，或，A正确；
对于B，当时，曲线方程为，表示圆，B错误；
对于C，若该曲线离心率为，则曲线表示椭圆，
当焦点在x轴上时，，解得，
当焦点在y轴上时，，解得，C错误；
对于D，若该曲线为焦点在y轴上双曲线，则，解得，
，
因为，则，所以，
所以，D正确.
故选：AD
12. 数学家笛卡尔研究了许多优美的曲线，如笛卡尔叶形线D在平面直角坐标系中的方程为．当时，以下四个结论正确的是（ ）
A. 曲线D经过第三象限
B. 曲线D关于直线轴对称
C. 对任意，曲线D与直线一定有公共点
D. 对任意，曲线D与直线一定有公共点
【答案】BD
【解析】当时， 方程为，
当时，，故第三象限内的点不可能在曲线上，故A错误；
将点代入曲线方程得，故曲线关于直线对称，故B正确；
当，联立，
其中，
将代入得，即，则方程组无解，
故曲线与直线无公共点，故C错误；
联立，得，
设， ，
当时， 在单调递增， 单调递减，
则值域为，所以有解成立；
当时，成立；
当时， ，单调递增，
又 ，
所以成立，
所以曲线与直线一定有公共点，故D正确.
故答案为：BD
第II卷（非选择题共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 经过，两点的直线的方程为___________.
【答案】
【解析】直线的斜率，
所以直线方程为.
故答案为：.
14. 已知向量，则______________.
【答案】或
【解析】，
所以，解得或者，
故答案为：或
15. 设函数，则曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】，故，
又，故曲线在点处的切线方程为，
即.
故答案为：.
16. 斐波那契数列在很多领域都有广泛应用，它是由如下递推公式给出的：，当时，．若，则的值为___________．
【答案】
【解析】由已知得，且，
所以，
，，
，
累加整理可得，
又因为，
即是该数列第项，
所以.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.17题10分，其余各题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知直线经过点．
（1）若与直线：垂直，求的方程；
（2）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程．
解：（1）由题可知，的斜率为，
设的斜率为，因为，所以，则，
又经过点，所以的方程为，即；
（2）若在两坐标轴上的截距为0，即经过原点，设的方程为，
将代入解析式得，解得，
故的方程为，
若在两坐标轴上的截距不为0，则设的方程为，
由，得，
故的方程为，
综上，的方程为或.
18. 已知圆．
（1）求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径：
（2）若直线与圆交于A，B两点，且，求的值．
解：（1）由，得，
则圆的标准方程为，
圆的圆心坐标，半径为．
（2）由，得圆心到直线的距离为，
则圆心到直线的距离，得或．
19. 已知数列满足.
（1）求证：为等比数列；
（2）求数列的前项和.
解：（1）因为，所以，
又，故为等比数列，首项为1，公比为2；
（2）由（1）可知，，故，
，
故
，
令①，
则，
其中②，
①-②得，
，
故，
.
20. 如图，正三棱柱的所有棱长均为2，点分别为的中点．

（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
解：（1）取的中点，连接，
分别为的中点，
，且，
又且，
且，
四边形为平行四边形，则，
平面平面，
平面．

（2）取的中点，则．
以为原点，以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
．

所以，
设平面的法向量为．
则即
取，则．
又，
设直线与平面所成的角为，则，
故与平面所成角的正弦值为．
21. 已知椭圆的一个焦点为，，，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于点．记和的面积分别为和．当时，求直线的方程．
解：（1）依题意，椭圆的半焦距，所以，解得．
所以．
所以椭圆的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，其方程为．
此时，或．
所以，，即，不合题意．
当直线的斜率存在时，设其方程为．
由 得．
设，则，．
因为，，
所以
．
令，
解得．
所以直线的方程为，或．
22. 已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且关于的不等式在上恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围．
解：（1）根据题意可知的定义域为，
，令，得．
当时，时，，时；
当时，时，，时．
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）依题意，，即在上恒成立，
令，则．
对于，，故其必有两个零点，且两个零点的积为，
则两个零点一正一负，设其正零点为，
则，即，
且在上单调递减，在上单调递增，
故，即．
令，
则，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
又，故，
显然函数在上是关于的单调递增函数，
则，所以实数的取值范围为．