2024-2025学年湖南省娄底市新化县高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省娄底市新化县高二上学期期末考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过A(−1,2)，B(0,3)两点的直线的倾斜角为( )
A. π6B. π4C. π3D. π2
2.已知等差数列an中，a4=4，则a2+a3+a7的值是( )
A. 6B. 9C. 12D. 15
3.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别为棱AA1,BB1的中点，则异面直线BE与D1F所成角的正切值为( )
A. 52B. 2 55C. 5D. 55
4. 已知点P(x,y)的坐标满足 x−12+y2− (x+1)2+y2=± 2，则动点P的轨迹是( )
A. 椭圆B. 双曲线C. 两条射线D. 双曲线的一支
5.已知在四面体O−ABC中，a=OA，b=OB，c=OC，OM=13MA，N为BC的中点，若MN=xa+yb+zc.则x+y+z=( )
A. 13B. 34C. 12D. 3
6.设函数fx满足limΔx→0fx0−2Δx−fx0Δx=2，则f′x0=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
7.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线C上的两点P，Q均在第一象限，且|PQ|=2，|PF|=3，|QF|=4，则直线PQ的斜率为( )
A. 1B. 2C. 3D. 5
8.若数列an满足a2=2，且∀m,n∈N∗，am+n=aman，则a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a2024=( )
A. 21013−2B. 22023−1C. 21012−2D. 21012−1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列an的公差和首项都不等于0，且a3，a5，a8成等比数列，则下列说法正确的是( )
A. a2+a6+a10a3+a4=73B. a2+a6+a10a3+a4=37
C. d=2a1D. a1=2d
10.已知双曲线C:x24−y2b2=1(b>0)的右焦点为F，直线l:x+by=0是C的一条渐近线，P是l上一点，则( )
A. C的虚轴长为2 2B. C的离心率为 62
C. PF的最小值为2D. 直线PF的斜率不等于− 22
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G分别为A1B1，B1C1，B1B的中点，若点P在线段EF上运动，则下列结论正确的为( )
A. AC1与EF为共面直线
B. 平面ACD1//平面EFG
C. 三棱锥P−AD1C的体积为定值
D. AC1与平面A1BC所成角的正切值为 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列an的前n项和为Sn，a6+a7=1，S5=55，则公差为 ．
13.已知长方体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，AB=4，AA1=3，E为棱C1D1的中点，则AB⋅AE= ．
14.已知F是椭圆C的右焦点，O为坐标原点，P是C上的一点，若PF=2OF，且∠OFP=120 ∘，则C的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知三点O0,0,A−1,−1,B2,0，记▵AOB的外接圆为⊙C．
(1)求⊙C的方程；
(2)若直线l:x−y−1=0与⊙C交于M,N两点，求▵CMN的面积．
16.(本小题15分)
已知函数fx=2xlnx+2f′1x．
(1)求f′1的值；
(2)求fx在点e2,fe2处的切线方程．
17.(本小题15分)
记Sn为数列an的前n项和，已知a1=−12,2Sn+n2=2nan+n
(1)求数列an的通项an；
(2)求Sn最小值及取最小值时n的值．
(3)求数列an+132n的前n项和Tn．
18.(本小题17分)
如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60∘，点M,N分别是边BC，CD的中点，AC∩BD=O1,AC∩MN=G.沿MN将▵CMN翻折到▵PMN的位置，连接PA,PB,PD，得到如图2所示的五棱锥P−ABMND．
(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；
(2)当四棱锥P−MNDB体积最大时，求点B到面PDG的距离；
(3)在(2)的条件下，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QDN与平面PMN所成角的余弦值为 2929？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且过点P(1,32)，设M．F分别是椭圆E的左、右焦点．
(1)是椭圆E的标准方程；
(2)若椭圆E上至少有个不同11的点Pi(i=1,23,…)，使得FP1，FP2，FP3，…组成公差为d的等差数列，求公差d的取值范围
(3)若过右焦点F的直线交椭圆E于A，B两点，过左焦点M的直线交椭圆E于C，D两点，且AB⊥CD，求AB+CD的最小值．
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.B
5.B
6.B
7.C
8.A
9.AD
10.ABD
11.BCD
12.−3
13.8
14. 3−12
15.解：(1)设⊙C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
由题意可得F=04+2D+F=01+1−D−E+F=0，解得D=−2E=4F=0,
所以⊙C的方程为x2+y2−2x+4y=0，
化为标准方程可得x−12+y+22=5．
(2)由(1)可得圆心C1,−2，半径r= 5，
所以圆心C到直线l:x−y−1=0的距离为d=1+2−1 2= 2，
且MN=2 r2−d2=2 52− 22=2 3，
因此▵CMN的面积为S=12MN⋅d=12×2 3× 2= 6．

16.解：(1)因为fx=2xlnx+2f′1x，
所以f′(x)=2lnx+2+2f′(1)，
代入x=1得：f′1=2ln1+2+2f′1=2+2f′1，所以f′1=−2．
(2)由(1)可得fx=2xlnx−4x，则f′(x)=2lnx−2
所以fe2=2e2lne2−4e2=0，f′e2=2lne2−2=2，
所以切线方程为y−0=2(x−e2)，即2x−y−2e2=0．

17.解：(1)由题意知2Sn+n2=2nan+n①，
当n≥2时，2Sn−1+(n−1)2=2(n−1)an−1+n−1②，
①−②：2an+2n−1=2nan−2(n−1)an−1+1化简得2(n−1)an−2(n−1)an−1=2(n−1)，
即an−an−1=1，
所以数列an为以−12为首项，1为公差的等差数列，
所以数列an的通项an=−12+(n−1)×1=n−13．
(2)Sn=(a1+an)n2=(−12+n−13)n2=12n2−252n=12x−2522−6258，
所以当n=12或n=13时，Snmin=−78．
(3)记bn=an+132n，则bn=n2n，
所以Tn=121+222+323+⋯+n2n①，
①×12：12Tn=122+223+324+⋯n−12n+n2n+1②，
①−②:12Tn=121+122+123+⋯+12n−n2n+1
12Tn=121−12n1−12−n2n+1
化简得：Tn=2−n+22n

18.解：(1)折叠前，因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
由于M,N分别是边BC，CD的中点，所以MN//BD，
所以MN⊥AC，
折叠过程中，MN⊥GP,MN⊥GA,GP∩GA=G,GP,GA⊂平面PAG，
所以MN⊥平面PAG，
所以BD⊥平面PAG，
由于BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAG．
(2)当平面PMN⊥平面MNDB时，四棱锥P−MNDB体积最大，
由于平面PMN∩平面MNDB=MN，GP⊂平面PMN，GP⊥MN，
所以GP⊥平面MNDB，由于AG⊂平面MNDB，所以GP⊥AG，
由此以G为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
依题意可知P0,0, 3,D 3,−2,0,B 3,2,0,N0,−1,0,PB= 3,2,− 3，
设平面PDG的法向量为m=x1,y1,z1，
则m⋅GP= 3z1=0m⋅GD= 3x1−2y1=0，故可设m=2, 3,0，
所以P到平面PDG的距离为m⋅PBm=4 3 7=4 217．
(3)存在，理由如下：
A3 3,0,0，PA=3 3,0,− 3，
设PQ=λPA0≤λ≤1，则GQ=GP+PQ=GP+λPA=0,0, 3+3 3λ,0,− 3λ=3 3λ,0, 3− 3λ，
平面PMN的法向量为n1=1,0,0，
DQ=3 3λ− 3,2, 3− 3λ,DN=− 3,1,0，
设平面QDN的法向量为n2=x2,y2,z2，
则n2⋅DQ=3 3λ− 3x2+2y2+ 3− 3λz2=0n2⋅DN=− 3x2+y2=0,
故可设n2=λ−1, 3λ− 3,3λ+1，
设平面QDN与平面PMN所成角为θ，
由于平面QDN与平面PMN所成角的余弦值为 2929，
所以csθ=n1⋅n2n1⋅n2=λ−1 λ−12+ 3λ− 32+3λ+12= 2929，
解得λ=12或λ=3(舍去)，
所以当Q是PA的中点时，平面QDN与平面PMN所成角的余弦值为 2929．

19.解：(1)由题意ca=121a2+94b2=1a2=b2+c2，由a>b>0，故解得a=2b= 3c=1,
∴椭圆标准方程是x24+y23=1；
(2)设P是椭圆上的点，则FPmin=a−c=2−1=1，FPmax=2+1=3，
∵等差数列FP1，FP2，FP3，…至少有11项，
若d>0，则1+10d≤3，解得0