江苏省常州市2024-2025学年高一下学期4月期中质量调研数学试题（解析版）

这是一份江苏省常州市2024-2025学年高一下学期4月期中质量调研数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 在中，设，若，则， 设是方程的两根，且，则， 在中，，，，则的最大值为等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】复数，则.
故选：B.
2. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】对于A，，，由于，所以与共线，它们不可以作为基底；
对于B，，，根据零向量与平面内任意向量共线，可知与不可以作为基底；
对于C，，，根据，可知与不共线，它们可以作为基底；
对于D，，，由于，所以与共线，它们不可以作为基底．
故选：C．
3. 中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】由正弦定理可得：，代入得：，
解得，因为，所以，即，
故选：A.
4. 在中，设，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】在中，；①
在中，；②
①+②，得
因为，所以，
即
故选：D.
5. 设中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ）
A. 锐角三角形B. 等腰直角三角形
C. 钝角三角形D. 直角三角形
【答案】D
【解析】由，
利用正弦定理：，
整理得，
因为，所以，故，
故．
所以为直角三角形.
故选：D．
6. 设是方程的两根，且，则（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】B
【解析】因为是方程的两根，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
则，
所以.
故选：B.
7. 在正六边形中，是正六边形内部以及边界上任意一点，且，则的最大值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
如图，过作于，
设正六边形的边长为，则，，
则，
因为，
所以，
又，
由于是正六边形内部以及边界上任意一点，所以，
所以，即，所以，
故的最大值为.
故选：C.
8. 在中，，，，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，，则，，
在中，
有，
即，即，
有，
故，，
，
则
，
其中，，
则当，即时，有最大值，
由，则，由，则，
故可取，故有最大值.
故选：D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知两个不共线的单位向量的夹角为，则下列结论正确的是（ ）
A. 向量在上的投影向量为B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】，两个单位向量的夹角为，故根据投影向量定义可得，向量在上的投影向量为，故A正确；
向量的平方等于模的平方，所以，故B正确；
是不共线的单位向量，
故利均为非零向量，
，故C正确；
，故不正确.
故选：ABC.
10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（ ）
A. 外接圆的面积为B. 若，则
C. 面积的最大值为D. 周长的最大值为
【答案】BCD
【解析】对于A，由题意知，，故设外接圆的半径为R，则，即得，则外接圆的面积为，A错误；
对于B，若，则，则，
B正确；
对于C，由余弦定理可得，即，
当且仅当时等号成立，则，
故面积的最大值为，C正确；
对于D，由，得，
则，当且仅当时等号成立，
即得，故周长的最大值为，D正确，
故选：BCD
11. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的有（ ）
A. 的一个对称中心为
B. 若实数满足，则
C. 函数的最大值为
D. 若平面向量，则的取值范围为
【答案】BCD
【解析】因为函数，所以，
对于A，，所以不是的对称中心，故A不正确；
对于B， ，
若实数满足，则，
所以，即，故B正确；
对于C，由B选项可得，
由于，则函数的最大值为，故C正确；
对于D，由平面向量，可得：
由于，则，所以，即的取值范围为，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则___________.
【答案】3
【解析】∵实系数一元二次方程的一个虚根为，
∴其共轭复数也是方程的根.
由根与系数的关系知，，
∴ ，.
故答案：
13. 在中，，，，若中点，则长为________.
【答案】
【解析】在中，，，
所以，则，
由余弦定理得：，故，
由余弦定理得：，
若为中点，则在中，，
由余弦定理得：，
故.
故答案为：.
14. 已知单位圆上不同的三点A，B，C，则的最小值为________.
【答案】
【解析】以圆心为坐标原点，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
设，且，，
则，
则
，
故当时，取得最小值，
由于，则当时，取得最小值，
此时，或，，
故的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数（）．
（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．
解：（1）因为复数为纯虚数，所以，解之得，．
（2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以，
解之得，得．
所以实数的取值范围为（2，3）．
16. 已知向量，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求最小值.
解：（1）已知，，则，.
因为，所以.
可得： ，解得 .
（2）.
根据向量模的计算公式可得：
.
被开方数看作关于的二次函数，对进行配方：
因为，所以，则.
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.
17. 已知函数部分图象如图所示.
（1）求的单调递增区间；
（2）已知，，求的值.
解：（1）由函数部分图象可得，
可得函数的最小正周期，
所以，可得，
又，结合图象可得，
所以，
因为，所以，
所以，
令，解得，
可得的单调递增区间为；
（2）由于，可得，
因为，所以，
可得，
当时，
，不符合；
当时，
，符合，
则，
综上，.
18. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.
（1）求；
（2）若，，
①的平分线交于点，求线段的长；
②若，点P，Q是边上的两个动点，且，设的面积为，求的最小值.
解：（1）因为，所以，
由正弦定理得：，即，
由余弦定理得：，
因为，所以；
（2）①因为，，所以，
即，解得，
设边上的角平分线长为，
则，
即，故，即，解得，
即设边上的角平分线长为；
②因为，，所以或，
因为，所以，
所以，即，则，
如图，设，

则在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由正弦定理得，所以，
所以的面积为
，
因为，所以，.
故当，即时，
19. 对于一组复数（且），如果存在，使得，其中，那么称是该复数组的“长复数”.
（1）设，，若是复数组，，的“长复数”，求实数的取值范围；
（2）若，，复数组是否存在“长复数”?给出你的结论并说明理由；
（3）若，，是否，对于，都能满足复数组，，中的每一个复数均为“长复数”?若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意可得：，又，
故，，，
故，
解得；
（2）存在“长复数”，且“长复数”为，理由如下：
由题意可得，
若存在“长复数”，只需要，
又，
故，即，，
当或时，符合要求，故存在“长复数”，且“长复数”为；
（3）由题意，得，，即，
即，解得，
同理，所以，解得，
故，
因为，所以或.